精品解析：2024年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考二模数学试题

初三数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数小的是（ ） A. B. C. D. 2. 国家能源局发布的2023年全国电力工业统计数据显示，截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约亿千瓦.数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（　　） ①线段AB的长②△PAB的周长③△PAB的面积④∠APB的度数 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4. 《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于29“面”的值说法正确的是（ ） A. 是4和5之间的实数 B. 是5和6之间的实数 C. 是6和7之间的实数 D. 是7和8之间的实数 5. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄垂直于滚轮连杆，即．若，，连杆与底座的夹角为，则该椭圆机手柄顶端到底座的距离为（ ） A. B. C. D. 7. “经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行同位角相等 D. 两点确定一条直线 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 10. 要使分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______． 11. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 12. 如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为______． 13. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 14. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 若，求的值． 16. 有某种零件共个，其中既有正品又有次品．已知从这个零件中随机取出一件，取得的零件为次品的概率为． （1）这个零件中有正品______件； （2）如果从这个零件中随机取出个零件，用画树状图（或列表）的方法，求取出的个零件都是正品的概率 17. 将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． （1）求证：四边形为菱形； （2）在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 18. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮”．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，求甲种农机具最多能购买多少件？ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹， 图① 图② 图③ （1）在图①中，作四边形，使四边形为中心对称图形； （2）在图②中，作四边形，使四边形为轴对称图形； （3）在图③中，作四边形，使四边形为轴对称图形． 20. 张老师为了解她所教1班、2班学生本学期课外名著阅读情况，分别从两班各随机抽取20名同学对他们本学期课外名著阅读数量进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是______度；并补全条形统计图； （2）对于1班和2班各抽取的20名同学的数据：已知两个班的平均数均为6本，1班的方差为，请你计算2班的方差，并判断哪个班阅读情况更稳定； （3）从2班抽取的20个数据中选取n个数据，与1班的20个数据组成一组新数据，若新数据的中位数小于原1班20个数据的中位数．则n的最小值为______． 21. 用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工个零件时，的值为______． 22. 【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； （3）若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 23. 如图，为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为． （1）线段的长为______； （2）当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围； （3）作点关于直线的对称点，作直线. 当点在边上时，若，求线段的长； 当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. （1）求此抛物线对应的函数关系式： （2）当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： （4）作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，根据数轴得到的范围，根据其范围进行比较即可判定求解，掌握实数与数轴的关系是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得， ∴选项中比实数小的是， 故选：． 2. 国家能源局发布的2023年全国电力工业统计数据显示，截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约亿千瓦.数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选B． 3. 如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（　　） ①线段AB的长②△PAB的周长③△PAB的面积④∠APB的度数 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由点A、B为定点可得出线段AB的长为定值；由直线l∥AB可得出△PAB的面积为定值．综上即可得出结论． 【详解】解：∵点A、B为定点， ∴线段AB的长为定值； ∵直线l∥AB， ∴直线l到线段AB的距离为定值， ∴△PAB的面积为定值． ∴不会随点P的移动而变化的是①③． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的面积以及平行线之间的距离，由点A、B为定点结合直线l∥AB，找出不变的量是解题的关键． 4. 《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于29“面”的值说法正确的是（ ） A. 是4和5之间的实数 B. 是5和6之间的实数 C. 是6和7之间的实数 D. 是7和8之间的实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，由题意可知29“面”是面积为29的正方形的边长，即，估算出的值即可作出判断，理解题意掌握无理数的估算方法是解题关键． 【详解】解：， ， 29“面”是5和6之间的实数， 故选：B． 5. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案． 【详解】解：由题意画出草图，如图， 平台上至还需再放这样的正方体2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 6. 如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄垂直于滚轮连杆，即．若，，连杆与底座的夹角为，则该椭圆机手柄顶端到底座的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用 点作于点，交于点，在和中分别求出和即可．正确作出辅助线构造直角三角形并熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，点作于点，交于点， ∴， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴该椭圆机手柄顶端到底座的距离为． 故选：A． 7. “经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行同位角相等 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可． 【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确； 结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确； 作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解．理解和掌握函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 10. 要使分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：因为在实数范围内有意义， 所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是知道要使得分式有意义，分母不为0． 11. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：6． 12. 如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴正五边形每个外角的度数为：， ∴正五边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正边形， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据翻折的性质可知，根据勾股定理得，再根据等角对等边得，然后利用三角形的面积即可求解． 【详解】解：根据两次翻折可知：，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 若，求的值． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，先利用整式的混合运算化简代数式，再将整体代入求值． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 16. 有某种零件共个，其中既有正品又有次品．已知从这个零件中随机取出一件，取得的零件为次品的概率为． （1）这个零件中有正品______件； （2）如果从这个零件中随机取出个零件，用画树状图（或列表）的方法，求取出的个零件都是正品的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率． （1）根据概率公式先求出次品的件数，再用总件数减去次品的件数，即可得出该批产品正品的件数； （2）根据题意画出树状图或列表，然后求得所有等可能的结果与取出件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案； 解题的关键：注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：根据题意得： 该批产品中有次品有：（件）， ∴该批产品有正品有：（件）， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 结果共有种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共种， ∴（两件都是正品）， ∴取出的个零件都是正品的概率是． 17. 将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． （1）求证：四边形为菱形； （2）在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 【答案】（1） 证明：分别过作于，于，如图1， ， 由题意可得，，，， 四边形是平行四边形， ， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键． （1）由题意可得，，，所以四边形时平行四边形，所以，分别过作于，于，则，可以证明，得到，所以是菱形； （2）菱形的面积为，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是菱形， ， ， 当越大时，菱形的面积越大， 旋转如图位置时，如图2，此时取最大值， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 18. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮”．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，求甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元 （2）甲种农机具最多能购买件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设购买件乙种农机具需要万元，则购买件甲种农机具需要万元，利用数量总价单价，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同”可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用； （2）设购买件甲种农机具，则购买件乙种农机具，利用总价单价数量，”总价不超过万元”可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设购买件乙种农机具需要万元，则购买件甲种农机具需要万元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（万元）， 答：购买件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元． 【小问2详解】 设购买件甲种农机具，则购买件乙种农机具， 根据题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴满足条件的最大值为． 答：甲种农机具最多能购买件． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹， 图① 图② 图③ （1）在图①中，作四边形，使四边形为中心对称图形； （2）在图②中，作四边形，使四边形为轴对称图形； （3）在图③中，作四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】（1）四边形即为所作， （2）四边形即为所作， （3）四边形即为所作， 【解析】 【分析】（1）取格点点，连接、即可； （2）取格点点，连接、即可； （3）取格点点、，连接，取格点点，连接并延长交于点，连接、即可． 【小问1详解】 解：取格点点，连接、， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形， ∴四边形即为所作； 【小问2详解】 取格点点，连接、， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∵等腰梯形是轴对称图形， ∴四边形即为所作； 【小问3详解】 取格点点、，连接、、，取格点点，连接并延长交于点，交于点，连接、，连接并延长交于点， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即点是的中点， ∴点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形关于对称， ∴四边形为轴对称图形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，过三角形一边的中点平行于三角形的另一边必平分第三边，垂直平分线的性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 20. 张老师为了解她所教1班、2班学生本学期课外名著阅读情况，分别从两班各随机抽取20名同学对他们本学期课外名著阅读数量进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是______度；并补全条形统计图； （2）对于1班和2班各抽取的20名同学的数据：已知两个班的平均数均为6本，1班的方差为，请你计算2班的方差，并判断哪个班阅读情况更稳定； （3）从2班抽取的20个数据中选取n个数据，与1班的20个数据组成一组新数据，若新数据的中位数小于原1班20个数据的中位数．则n的最小值为______． 【答案】（1）72， 条形图如下： （2）2班的方差为6，1班阅读情况更稳定 （3）8 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及方差中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由乘以所占百分比可得，再由总人数减去其他即可得出“9本”的数即可 （2）求出平均数，和方差即可； （3）根据中位数的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：扇形图中“7本”类对应的圆心角度数为， 2班课外名著阅读情况中“9本”的人数为 名， 【小问2详解】 解：2班平均数为（本） 2班的方差为 ∵， ∴1班阅读情况更稳定． 【小问3详解】 解：解：把1班数据按从小到大顺序排列4、4、5、5、5、5、6、6、6、6、6、6、6、6、7、7、7、7、8、8，发现中位数为6本， 加入2班名同学后中位数变小，且最小，则应加入4个5和4个4，此时新数据中位数为本． ∴为8。 21. 用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工个零件时，的值为______． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用， （1）由函数图像列式可得甲和乙的工作效率； （2）当时，设与之间的函数关系式为，再将和代入得到关于、的二元一次方程组，求解可得答案； （3）先求出甲机器提速后的工作效率，然后根据题意列出关于的方程即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程． 【小问1详解】 解：∵（件） ∴乙的工作效率是件， ∵（件） ∴甲机器提速后的工作效率是件， 故答案为：；； 【小问2详解】 设当时，关于的函数解析式为， 将和代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为；； 【小问3详解】 甲机器提速前的工作效率：，甲机器提速后的工作效率：， 依题意，得：， 解得：， ∴甲机器加工个零件时，所需时间为，的值为． 故答案为：． 22. 【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； （3）若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； （3）根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，由（1）得， 点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点G经过的路径为； 故答案为： 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为． （1）线段的长为______； （2）当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围； （3）作点关于直线的对称点，作直线. 当点在边上时，若，求线段的长； 当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）；； （3）；的值为或或． 【解析】 【分析】（）由等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解； （）过点作于点，与相交于点，可得，解直角三角形即可求出的长，再求出，由，即可求出的取值范围； （）由点和点关于对称可推导出为等边三角形，得到，由可得，设，则，得到，解直角三角形得到，即得到，再由，得到，求出即可求解；分三种情况画出图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，∵点和点关于对称， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 分三种情况： 当点在上时，如图，与四边形的面积比为，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点在线段上时，如图，点在线段上，与四边形的面积比为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， 即， ∴； 当点在线段上时，如图，与四边形的面积比为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. （1）求此抛物线对应的函数关系式： （2）当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： （4）作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 【答案】（1） （2）的长度为或 （3）m的取值范围为或 （4）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴先求出，即可求得函数关系式； （2）由和关于原点对称且在同一条直线上可得和在轴上且关于原点对称，将代入表达式中即可求出； （3）用含有的式子表示点 ，根据与原点对称表示出，根据作图的三种情况（见详解）求出的范围； （4）见详解三种情况，解出的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是， 根据对称轴的公式得：，即， 函数的关系式为． 【小问2详解】 和关于原点对称且在同一条直线上， 和在轴上， 点的坐标为， 将代入函数关系式得：，， 或 【小问3详解】 如图，图一和图三之间是只有一个交点，图二这个时刻只有一个交点， 由题可知，，，函数与轴交点为，顶点为， 在轴左侧， ． 由图一得：， 解得（舍），． 由图二可得： 解得（舍），． 由图三得： 解得（舍），． 线段与此抛物线有且只有一个公共点时， m的取值范围为或． 【小问4详解】 有题可知，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，则两个交点的距离恰好是这条边的一半， 如图，为的中点，即恰好是抛物线与轴两个交点， ， 解得： ，． 是中点， ， 或即，， 如图与抛物线交于两个点、，即， 先计算、， 即， 由根与系数关系得： ， 整理得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $