1.4基本不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

第四节　基本不等式 课程目标 1.掌握基本不等式≤（a，b≥0） 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基础知识 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是　　　　　　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　　　　　时取等号； （3）其中叫做正数a，b的　　　　平均数，叫做正数a，b的　　　　平均数. 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）. 基础知识 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝x＋的最小值是2.（　　） （2）x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.（　　） （3）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　　） 2.设a＞0，则4a＋的最小值为（　　） A.4 　B.5 C.6　 D.7 3.(多选)下面结论不正确的有(　　). A.不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B.函数y=|x|+的最小值是2 C.函数f(x)=sinx+的最小值为4 D.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件 4.函数y＝x（4－x）的最大值为　　　　. 5.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　　　　. 常用结论 1.＋≥2（a，b同号）. 2.ab≤（）2（a，b∈R）. 3.≥（）2（a，b∈R）. 4.≥≥＞0（a＞0，b＞0）. 结论运用 1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则的最大值为（　　） A.9　 B.18 C.36　 D.81 2.函数f（x）＝（x＞0）的最小值是　　　　 A.2 　B.3 C.4　 D.5 聚焦考点 课堂演练 考点1 利用基本不等式求最值 法1　配凑法 【典例1】　（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　　　　； （2）函数f（x）＝的最小值为　　　　. 方法技巧 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 法2　常数代换法 【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为　　　　. （2）知非负实数x,y满足+=1,则x+y的最小值为(　　). A. B. C. D. 方法技巧 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 法3　消元法 【典例3】已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　　　　. 变式 已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，则x＋y的最小值是（　　） A.1　 B.4 C.7　 D.3＋ 方法技巧 消元法求最值的思路 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 跟踪训练 1.(多选)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是(　　). A.xy的取值范围是(0,9] B.x+y的取值范围是[2,3) C.x+2y的最小值是4-3 D.x+4y的最小值是3 2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为　　　　，＋的最小值为　　　　. 考点2 基本不等式的综合应用 【典例4】　（2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（　　） A.（－4，1） B.（－∞，0）∪（3，＋∞） C.（－∞，－1）∪（4，＋∞） D.（－1，4） 方法技巧 利用基本不等式解题的策略 （1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解； （2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解； （3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围. 跟踪训练 　若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.[1，＋∞）　 B.［－，＋∞） C.［，＋∞）　 D.［，＋∞） 考点3 利用基本不等式解决实际问题 【典例5】　单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A.131　 B.149 C.150　 D.145 方法技巧 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 跟踪训练 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　） A..两种方案一样　 B.第二种方案划算 C第一种方案划算　 D.无法确定 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节　基本不等式 课程目标 1.掌握基本不等式≤（a，b≥0）. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 课程目标 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是　a＞0，b＞0　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　a＝b　时取等号； （3）其中叫做正数a，b的　算术　平均数，叫做正数a，b的　几何　平均数. 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）. 课程目标 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝x＋的最小值是2.（　×　） （2）x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.（　×　） （3）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　×　） 2.设a＞0，则4a＋的最小值为（　　） A.4　 B.5 C.6　 D.7 解析：A　因为a＞0，所以4a＋≥2 ＝4，当且仅当4a＝，即a＝时等号成立， 所以4a＋的最小值为4.故选A. 3.(多选)下面结论不正确的有(　　). A.不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B.函数y=|x|+的最小值是2 C.函数f(x)=sinx+的最小值为4 D.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件 解析　对于A,使a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,而使≥成立的条件是a,b都是非负数,故A不正确;对于B,|x|+≥2=2,故B正确;对于C,sinx∈[-1,1],所以C不正确;对于D,“x>0且y>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故D不正确. 4.函数y＝x（4－x）的最大值为　　. 解析：y＝x（4－x）≤（）2＝，当且仅当x＝4－x，即x＝时等号成立. 5.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　1　. 解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋（x≥0）的最小值为1. 常用结论 1.＋≥2（a，b同号）. 2.ab≤（）2（a，b∈R）. 3.≥（）2（a，b∈R）. 4.≥≥＞0（a＞0，b＞0）. 结论运用 1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则的最大值为（　　） A.9　 B.18 C.36　 D.81 解析：A　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以由结论4知≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故的最大值为9. 2.函数f（x）＝（x＞0）的最小值是　4　 A.2　 B.3 C.4 　D.5 解析：C　由结论1知＝x＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝1时，等号成立，故f（x）的最小值为4.故选C. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 利用基本不等式求最值 法1　配凑法 【典例1】（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　24　； （2）设x>0,则3-3x-的最大值是(　　). A.3 B.3-2 C.-1 D.3-2 解析：（1）y＝6x（4－x）≤6（）2＝24，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，y＝3x（8－2x）有最大值24. （2）因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以-≤-2,则3-3x-≤3-2. 方法技巧 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 法2　常数代换法 【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为　4　. （2）知非负实数x,y满足+=1,则x+y的最小值为(　　). A. B. C. D. 解析：（1）因为a＋b＝1，所以＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋（＋）≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号. （2）非负实数x,y满足+=1,有3x+y>0,2y+2>0,则x+y=[(3x+y)+(2y+2)]-=[(3x+y)+(2y+2)]-=-≥·2=,当且仅当=,即3x+y=2y+2时取“=”,由3x+y=2y+2,+=1,得x=,y=0,所以当x=,y=0时,x+y的最小值为. 方法技巧 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 法3　消元法 【典例3】已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　6　. 解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值. 法二　由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，所以a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值. 法三　因为ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又因为a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 变式 已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，则x＋y的最小值是（　　） A.1　 B.4 C.7　 D.3＋ 解析：C　由x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，得（x－2）·（y－1）＝4，所以x＋y＝（x－2）＋（y－1）＋3≥2＋3＝7，当且仅当时，等号成立. 方法技巧 消元法求最值的思路 　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 跟踪训练 1.(多选)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是(　　). A.xy的取值范围是(0,9] B.x+y的取值范围是[2,3) C.x+2y的最小值是4-3 D.x+4y的最小值是3 解析：对于A,因为x>0,y>0,所以x+y≥2,当且仅当x=y时取等号,由x+y+xy-3=0,得3-xy=x+y,即3-xy≥2,解得0<≤1,即0<xy≤1,A错误; 对于B, 由x>0,y>0,3-(x+y)=xy≤,当且仅当x=y时取等号,得(x+y)2+4(x+y)-12≥0,所以x+y≥2,又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3,即2≤x+y<3,故B正确; 对于C,因为x>0,y>0,x+y+xy-3=0,得x==-1+,所以x+2y=-1++2y=+2(y+1)-3≥4-3,当且仅当=2(y+1),即y=-1时等号成立,C正确; 对于D,由C选项知x==-1+,则x+4y=-1++4y=+4(y+1)-5 ≥2-5=3,当且仅当=4(y+1),即y=0时等号成立,但y>0,所以x+4y>3(等号取不到),故D错误. 2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为　2　，＋的最小值为　　. 解析：∵a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×（）2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝（＋）·＝（5＋＋）≥·（5＋2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为. 考点2 基本不等式的综合应用 【典例4】　（2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（　　） A.（－4，1） B.（－∞，0）∪（3，＋∞） C.（－∞，－1）∪（4，＋∞） D.（－1，4） 解析：C　因为两个正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选C. 方法技巧 利用基本不等式解题的策略 （1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解； （2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解； （3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围. 跟踪训练 　若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.[1，＋∞）　 B.［－，＋∞） C.［，＋∞）　 D.［，＋∞） 解析：B　依题意得，当x＞0时，2a＋1≥＝恒成立，又因为x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得实数a的取值范围为［－，＋∞）.故选B. 考点3 利用基本不等式解决实际问题 【典例5】　单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A.131　 B.149 C.150 D.145 解析：B　由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B. 方法技巧 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 跟踪训练 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　） A.两种方案一样　 B.第二种方案划算 C.第一种方案划算 D.无法确定 解析：B　任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价：＝≥；第二种方案的均价：＝≤.所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故选B. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$