精品解析：河南省百师联盟2023-2024学年高二下学期五月大联考数学试卷

百师联盟高二五月大联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列前项和为，若，则（ ）． A B. C. D. 3. 在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 正四面体中，与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为（ ） A B. C. D. 6. 已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（ ） A. B. 样本数据的残差为 C. D. 7. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量等可能取，如果，则 B. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 D. 已知随机变量，则 10. 如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______. 13. 已知函数()存在两个极值点，，且，则的取值范围为______；的取值范围为______. 14. 设，为双曲线：（，）的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知正项数列前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 16. 某汽车生产企业对其生产四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示. 评分款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础1 2 2 3 1 0 基础2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华1 1 3 5 4 1 豪华2 0 0 3 5 3 （1）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关，说明理由； 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 （2）为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量表示其中基础版1车主的人数，求的分布列和期望 附：；，，，. 17. 如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥体积． 18. 设椭圆左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点.已知椭圆的离心率为的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）. （1）判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由； （2）已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方； （3）若，求函数（）最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 百师联盟高二五月大联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】用分步乘法计数原理，第一步从3件次品中选2件次品，第二步从5件正品中选3件正品，由此可得． 【详解】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法， 再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种. 故选：C. 2. 已知等差数列前项和为，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列前项和公式计算． 【详解】， 故选：C． 3. 在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角）， 由题意对于直线上任意一点，存在，使得， 则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即， 因为在直线上，所以满足 设，所以， 即所在直线方程为， 而圆的圆心，半径分别为， 若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解. 4. 正四面体中，与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出线面角的平面角，利用三角形重心性质和勾股定理即可求出正弦值. 【详解】 正四面体，高为，则为底面正三角形的重心， 设为，就是与平面所成的角， 在中，设正四面体棱长为， 由为底面正三角形的重心，有， ，所以. 故选：A. 5. 先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，分别求和，结合条件概率运算求解. 【详解】记“两个骰子的点数之和为10”为事件A，“第一个骰子掷出的点数为5”为事件B， 事件A包含，共有个基本事件，即， 事件包含，共有1个基本事件，即， 所以所求概率为. 故选：C. 6. 已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（ ） A. B. 样本数据的残差为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由回归方程必过样本中心点可知，只需求出样本中心就可以求出，进一步由直线方程的知识求出即可判断；对于B，由残差的定义即可判断；对于CD，由最小二乘法的意义即可判断. 【详解】对于A选项，由已知可得，，， 根据经验回归方程，可知，所以. 根据已知，可求出， 则直线方程为，整理可得， 所以，故A选项错误； 对于B项，由已知，经验回归方程为， 样本数据的预测值为， 所以样本数据的残差为，故B项错误； 对于C、D选项，根据最小二乘法的意义，可知， 故D项正确. 故选：D. 7. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点与双曲线的右焦点及及渐近线方程，设，由导数求得点处切线的斜率，得出的关系，再根据三点共线的斜率性质构造方程即可得解. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，且； 双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为， 由题意可知，在点M处的切线平行的渐近线应为， 设，则，得， 又点共线，即点共线， 所以，解得，所以 故选：D. 【考点定位】本题考查抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查运算求解能力． 这一方程形式为导数法研究提供了方便，本题“切线”这一信号更加决定了“求导”是“必经之路”．根据三点共线的斜率性质构造方程，从而确定抛物线方程形式，此外还要体会这种设点的意义所在． 8. 若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程转化为，令，利用导数求函数单调性和极值，确定关于的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数的取值范围. 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量等可能取，如果，则 B. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 D. 已知随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据随机变量的分布列的性质逐项进行分析即可求解. 【详解】A.设随机变量等可能取，则， 所以，则，故A正确； B.若随机变量的概率分布规律为， 则，其中是常数，则，故B错误； C.根据题意可得，又因为联立即可解得，故C正确； D.因为随机变量，所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AD 【解析】 【分析】，通过计算判断选项A；定义法求异面直线所成的角判断选项B；建立空间直角坐标系，向量法求线面角判断选项CD. 【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，设，则，（）， A选项，为定值，故A对； B选项，正方体中，，即有， 异面直线与所成的角与直线与所成的角为同一个角， 即异面直线与所成的角的平面角为，故B错； C选项，，，， ，，， 则，，平面的法向量为， 设直线与平面所成的二面角的平面角为， 则， 则，故C错； D选项，由C选项可知直线与平面所成角为，故D对. 故选：AD. 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用的单调性及不等式的同向同正可乘性即可判断；对于B，利用的单调性及基本不等式判断；对于C，由选项的不等式两边同时除以，可以看出构造()，借用的单调性即可判断；对于D，结合选项C，借助不等式，运用不等式的传递性判断. 【详解】对于A，因为，可知在上单调递增，且， 则，所以，故A正确； 对于B，因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，故B正确； 对于C，令()，则， 可知在上单调递增，因为，所以， 即，所以，故C正确； 对于D，由C可知，且， 所以， 令，则， 在上单调递增，， 所以，所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，当时，可求得的系数. 【详解】根据二项式的展开式(，)可知， 令，得，，所以的系数为. 故答案为：12. 13. 已知函数()存在两个极值点，，且，则的取值范围为______；的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的导函数，和在上有2个不同的交点，即可求出的取值范围；再由正弦函数的对称性得到，，即可得到，看作关于的函数，可令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，从而得解. 【详解】∵，，∴， ∵存在两个极值点，，且， ∴在上有2个不相等的实数根， ∴和在上有2个不同的交点，所以，即； 当时，函数的图象关于直线对称， ∴，，，， ∴ ， 令，， 则，∴在上单调递减， 所以，∴的取值范围为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的难点在于第二个空，关键是根据正弦函数的对称性，把化作关于一个未知数的函数，再借助导数求解单调性，得到原函数的值域. 14. 设，为双曲线：（，）的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过解三角形知识得出，将其代入双曲线方程，结合离心率公式即可得解. 【详解】如图所示，，， 过点作轴，垂足为，则， 在中，，， 即有，， 故点的坐标为， 代入双曲线方程得，即为， 的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知正项数列前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）() （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）把（1）中数列的通项公式代入，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 ∵①， 当，时，有②， 由①－②得，即， ∵正项数列，，∴，， ∴数列是首项为2，公差为3的等差数列， ∴（）. 【小问2详解】 由（1）得， 则（）， ∴. 16. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示. 评分款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础1 2 2 3 1 0 基础2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华1 1 3 5 4 1 豪华2 0 0 3 5 3 （1）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关，说明理由； 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 （2）为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量表示其中基础版1车主的人数，求的分布列和期望 附：；，，，. 【答案】（1）表格见解析，能，理由见解析 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据题意写出列联表，再结合公式求解判断即可； （2）根据超几何分布计算概率，进而求得分布列和期望. 【小问1详解】 由题意，列联表如下： 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 零假设：汽车的性能与款式无关， 则， 我们推断不成立，即认为汽车的性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【小问2详解】 样本评分不大于2的基础版车主共有12人，其中基础版1车主有4人， 由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 17. 如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角； （3）先利用向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积. 【小问1详解】 因为是等边三角形，是的中点， 所以 ．平面， 又平面平面，平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 记的中点为，易知两两互相垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则 令，此时 ． 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为，， 则 ． 由平面几何知识，易知在直角梯形中， 所以． 18. 设椭圆左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点.已知椭圆的离心率为的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及三角形周长求出即得. （2）假定存在符合题意的点并设出坐标，设直线的方程，与椭圆方程联立借助韦达定理、斜率坐标公式，结合已知列式计算即得. 【小问1详解】 依题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 假设轴上存在一点符合题意， 由题意，设直线， 由消去得， ，， 显然直线的斜率存在，且为， 同理，直线的斜率为， 于是， 由为的一条内角平分线，得， 即，显然此式对任意非零的实数都成立， 因此，解得， 所以轴上存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线. 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解. 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）. （1）判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由； （2）已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方； （3）若，求函数（）的最小值. 【答案】（1）在区间上为凸函数，理由见解析 （2），证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，判断是否小于恒成立； （2）求出，根据凸函数的定义转化为恒成立问题，分离参数求解即可；把“函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方”转化为，利用导数求解的单调性和最值即可； （3）令，，根据导数、、的范围确定的单调性及最值，得到，再去绝对值即可. 【小问1详解】 由可得， ∴，∵，∴， ∴在区间上为凸函数. 【小问2详解】 ①由，， 得，. 因为函数是上的凸函数，故在上恒成立， 即，在上恒成立， 故，故，所以实数的范围是. ②证明如下： 设切点为，则切线方程为，， 令， ， 依题意，只需证明即可； ，， 故函数在上为减函数，又， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴，则恒成立，即得证. 【小问3详解】 令，， 则，， 当时，，， 所以在恒成立， 故在上单调递减，所以， 即，所以， 故函数（）最小值为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的策略： （1）通常需要构造新的函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）先分离变量，再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，先考虑用分离常数法，若参数分离不易求解时，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$