精品解析：2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试题

九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 包含 3. 刚刚过去的“五一”假期，南京全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量约为108250000人次．用科学记数法表示108250000是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，O是的外心，，垂足分别为D，E，F，连接的中点H，I，J，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 16的平方根是_______，27的立方根是_______． 8. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 9. 分解因式：___________． 10. 计算的结果是___． 11. 无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为______． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 13. 用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为____． 14. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______． 15. 一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是______． 16. 如图，正方形边长为12，E为上一点，．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 19. 如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 20. 某年A，B两座城市四季平均气温（单位：）如表所示： 城市 春 夏 秋 冬 A 19 11 B 15 30 24 11 （1）分别计算A，B两座城市的年平均气温； （2）通过计算方差，比较哪座城市四季的平均气温较为接近． 21. 桌上放着4张纸牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2张是“大王”． （1）随机翻开1张纸牌，翻开的牌是“大王”的概率为 ． （2）随机翻开2张纸牌，求翻开的2张牌中至少有1张是“大王”的概率． 22. （n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． （1）按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； （2）结合图中思路，解释该方法合理性． 23. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶B的仰角为，求山的高度．（参考数据：．） 24. 晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． （1）当影子长为时，求此时小凯到路灯距离； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由； （3）小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 25. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 已知二次函数（m为常数，）． （1）当时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知，，若该函数图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 27. 用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？ （1）有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注． （2）任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案： ①求证：； ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图． （3）如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数负数，则最小的数在负数里面找，而负数比较大小时，绝对值越大则越小． 【详解】解：∵ ∴四个数中，最小的数是， 故选：A． 2. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 包含 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：A． 3. 刚刚过去的“五一”假期，南京全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量约为108250000人次．用科学记数法表示108250000是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选： D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可算出的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解． 【详解】解：一个正边形的内角和为， ∴，解得，， ∵正六边形的外角和为， ∴每个外角的度数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式，正多边形外角和为的计算方法是解题的关键． 6. 如图，O是的外心，，垂足分别为D，E，F，连接的中点H，I，J，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查三角形外心的定义和性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，由三角形的外心的定义可知，垂直平分垂直平分垂直平分，则，所以，则，求得，所以，由H，I，J分别是的中点，可证明，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵O是的外心，，垂足分别为D，E，F， ∴垂直平分垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 16的平方根是_______，27的立方根是_______． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】此题考查平方根，立方根的定义． (1)根据平方根的定义求解即可． (1)根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：，3． 8. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 9. 分解因式：___________． 【答案】ab（a+b）（a﹣b）． 【解析】 【详解】分析：先提公因式ab，再把剩余部分用平方差公式分解即可. 详解：a3b﹣ab3，=ab（a2﹣b2），=ab（a+b）（a﹣b）． 点睛：此题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，分解因式掌握一提二用，即先提公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解. 10. 计算的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得出此时无人机到起飞点的距离为， 故答案为：50． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 13. 用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质等，先画出图形，再根据勾股定理求出对角线长，即可求解． 【详解】解：拼成的四边形有如下四种可能： 设角所对的直角边长为a，则斜边长为，另一直角边长为． 第一种情况：作交的延长线于点E，易知， 则， ，， ， 两条对角线的比值， 第二种情况：作交的延长线于点E，可得矩形， 令，则， ， ， ， ， 两条对角线比值； 第三种情况：四边形为矩形， 两条对角线的比值； 第四种情况：为等边三角形，， 两条对角线的比值； ， 即在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案． 【详解】解：∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交， ∴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴和是方程的解，解得， 若，则，，则， ∴， 故答案为：． 15. 一次函数图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，能够明确题意，求得直线l与y轴的交点是解题的关键．设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则，利用勾股定理求得，即可求得C 点的坐标，进一步求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式，进一步求得过点A垂直于的直线解析式，即可求得直线l的表达式． 【详解】解：如图， 设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线l与y轴的交点为D，B关于直线l的对称点为C， 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线l为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴直线l为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线l的函数表达式是， 过点A作，交y轴于点E， 则， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线为， ∴直线l的函数表达式是或． 故答案为或． 16. 如图，正方形边长为12，E为上一点，．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点G，使得，连接，过点E作，垂足为H，证明，得到，从而易证，得到，易得点三点共线，则点F在直线上运动，当时，有最小，证明，得到，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：在上取点G，使得，连接，过点E作，垂足为H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定角， 点三点共线，则点F在直线上运动，当时，有最小， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题是分式的混合运算，先对括号里面的进行通分，然后按同分母的分式加减进行计算，再把分子分母能因式分解的进行因式分解，再把除法变换为乘法（乘以倒数），最后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 18. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由①得； 由②得． ∴该不等式组的解集为． 19. 如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）当时，四边形是菱形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形； （2）由，，得到，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：在中，是边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：满足条件时四边形为菱形． 理由：若时，为等腰三角形， 为中线， ， 即， 平行四边形为菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 20. 某年A，B两座城市四季的平均气温（单位：）如表所示： 城市 春 夏 秋 冬 A 19 11 B 15 30 24 11 （1）分别计算A，B两座城市的年平均气温； （2）通过计算方差，比较哪座城市四季的平均气温较为接近． 【答案】（1）， （2）城市A方差：，城市B方差：，城市B四季的平均气温较为接近 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数和求方差，解题的关键在于能够熟练掌握两者的求解方法． （1）分别把两个城市四季的平均气温相加，再除以4即可得到答案； （2）根据（1）求得的结果求出两个城市的方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ∵ ∴城市B四季的平均气温较为接近． 21. 桌上放着4张纸牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2张是“大王”． （1）随机翻开1张纸牌，翻开的牌是“大王”的概率为 ． （2）随机翻开2张纸牌，求翻开的2张牌中至少有1张是“大王”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列表格求概率． （1）直接根据概率公式计算； （2）先列表，再根据概率公式计算． 【小问1详解】 一共有4张牌，“大王”有2张，所以翻开的牌是“大王”的概率是. 故答案为：； 【小问2详解】 解：记这4张纸片为A，a，B，b（设B，b为大王）．列表如下： A a B b A a B b 随机翻开2张纸牌，共有12种可能出现的结果，即、、、,,、,,、,，,这些结果出现的可能性相同．所有的结果中，满足抽到的2张牌中至少有1张是大王的结果有10种，所以P（至少1张是大王）． 22. （n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． （1）按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； （2）结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】（1）6.6 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【小问1详解】 解：由新定义可得： ； 【小问2详解】 解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴ 的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴ ． ∴ ， 即． 23. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶B的仰角为，求山的高度．（参考数据：．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题．设．解直角三角形，分别求出，，根据，求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：过D作，垂足为F，，垂足为E， 设． 在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴． 解得 ． ∴． 答：山的高度为． 24. 晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． （1）当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由； （3）小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，可得，可得； （3）由，求出，再由求出即可 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 25. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质， 方法①：作直径，，且；作半径平分；此时，过A，B分别作，的垂线，即，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，此时，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，可知，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，即，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 方法①：作直径，，且；作半径平分；过A，B分别作，的垂线，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，点P即为所求． 26. 已知二次函数（m为常数，）． （1）当时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； 【小问2详解】 解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； 【小问3详解】 ∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 27. 用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？ （1）有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注． （2）任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案： ①求证：； ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形示意图． （3）如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）图①沿一条对角线分割即可；②作角，点在边上，沿着进行裁剪即可； （2）①连接，三角形的中位线定理，得到，，证明，即可得出结论；②根据题意，拼接成矩形即可； （3）取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线． 【小问1详解】 解：如图①，即为满足题意的分割线； 如图②，即为满足题意的分割线． 图①中，，则， ∴，， ∴是两个全等的含30度角的直角三角形， 故可以组成一个等边三角形； 图②可组成如图所示的等边三角形； 【小问2详解】 ①证明：连接． ∵ D，E分别为的中点， ∴为的中位线． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ②如图所示，矩形即为所求． 【小问3详解】 如图，取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，对学生的空间想象能力要求高，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$