精品解析：广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检查（二）数学试题

东莞市东华高级中学2023-2024年第二学期期中教学质量检查（二） 高一数学 命题人：张程 审题人：朱效东 本试卷共22题 满分150分 考试用时：120分钟 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上用2B铅笔将该选项信息点涂黑． 1. 设全集，集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知向量满足，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图所示，在棱长为1正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 8. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请在答题卡上用2B铅笔将该选项信息点涂黑． 9. 设，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 向量，的夹角为 10. 已知内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 11. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ） A B. C. 在上单调递减 D. 方程在内恰有4个互不相等的实根 12. 正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是（ ） A. 棱长为 B. 两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60° C. 表面积为 D. 外接球的体积为 三、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知函数是奇函数，则______． 14. 已知的内角所对的边分别为，若，则=______． 15. 在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为____________． 16. 已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题，每小题12分，共70分．请在答题卡上作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知平面向量，且， （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若． （i）求的值； （ii）求的面积． 19. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面ACE； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 20. 在锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值． 21. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值． 22. 设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域． （1）已知，若，求 （2）非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增．已知．请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？ （3）设二元函数定义域为，如果存在实数满足： ①，都有，②，使得． 那么，我们称是二元函数的最小值．求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东莞市东华高级中学2023-2024年第二学期期中教学质量检查（二） 高一数学 命题人：张程 审题人：朱效东 本试卷共22题 满分150分 考试用时：120分钟 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上用2B铅笔将该选项信息点涂黑． 1. 设全集，集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，根据集合的交集的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，， 故， 故=， 故选：A 2. 已知i为虚数单位，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案. 【详解】∵， ∴， 故. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题. 3. 已知向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得. 【详解】向量满足，则，当且仅当同向时取等号； ，当且仅当反向时取等号， 所以的取值范围是. 故选：B 4. 已知平面，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性. 【详解】由于，所以， 若 ，则，，故充分性成立， 若，，设，， 则存在直线使得，所以，由于，故， 同理存在直线使得，所以，由于，故， 由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立， 故选：C 5. 已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得. 【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，即，得，于是是的中点，， 因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内， 所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，. 故选：B 6. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线可得线线平行即可求证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】如下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为，． 故选：C． 8. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比， 设， 当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为， 则， 两式相比得：，即， 故， 故圆轨道半径增加的倍数大约是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请在答题卡上用2B铅笔将该选项信息点涂黑． 9. 设，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 向量，的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出的坐标，根据向量模的坐标表示判断A，根据数量积的坐标表示判断B，根据向量共线的坐标表示判断C，利用夹角公式判断D. 【详解】因为，， 所以， 则，故A错误； ，所以，故B正确； ， 又，所以，解得，故C正确； 又，，， 所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或，即或， 即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D错误． 故选：AB． 11. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 方程在内恰有4个互不相等的实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的图象性质确定的值，从而可判断A，B；得的解析式后根据其单调性与图象可判断C，D. 【详解】由题意可得，将代入可得，所以， 又，所以或， 根据图象可知点在其递减区间上，故，故A不正确； 将代入可得，结合图象可得，所以， 且，故，则，故，故B正确； 则，当时， ，则在上单调递减，故C正确； 当时，则，从而可得在上的图象如下： 由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根，故D正确. 故选：BCD 12. 正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是（ ） A. 棱长为 B. 两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60° C. 表面积为 D. 外接球的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断A正确；可以找到一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到B错误；根据该几何体每种面（正三角形和正方形）各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出C正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到D错误. 【详解】如图所示： 该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半， 故该等腰直角三角形的直角边长度为1，从而该几何体的每条棱的长度都是，A正确； 若为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱， 则，平行于，异面且， 这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，B错误； 该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，边长均为， 故每个正方形的面积都是，每个正三角形的面积都是， 故表面积为，C正确； 设正方体的中心为，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点， 故到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的倍，即. 这意味着以为球心，半径为的球是该几何体的外接球， 从而外接球的体积，D错误. 从而全部正确的结论是AC. 故选：AC. 三、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知函数是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 14. 已知的内角所对的边分别为，若，则=______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理得, 因为，所以， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，得， 故答案为： 15. 在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】取的中点，连接，则梯形为过三点的截面，然后求解其面积即可. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以‖，， 因为‖，，所以‖，， 所以四点共面，即过三点的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4， 所以， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故答案为：18 16. 已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象特征可得，再由对数的运算性质得，然后代入可求得结果. 【详解】的图象如图所示， 因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ， 所以，， 所以， 因为， 所以，得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于中档题. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题，每小题12分，共70分．请在答题卡上作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知平面向量，且， （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解； （2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可. 【小问1详解】 解：设，， ，又， ， 或， 或. 【小问2详解】 解：，，设与的夹角为. 故， 在上的投影向量为. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理， 则，又，则. 【小问2详解】 （i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 19. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面ACE； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得三棱锥的体积． 【小问1详解】 连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点, 所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 正方体中，易知平面， 所以 . 20. 在锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和辅助角公式化简可得，即可求解； （2）方法一：由余弦定理可得①、，可分别用3种思路（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用极限思想）求出的取值范围，进而利用换元法构造函数，结合导数求解即可；方法二： 可分别用2种思路（思路1：齐次化不等式处理；思路2：正弦定理函数处理）求出；方法三：如图，则，确定当A,O,D三点共线时等号成立，求出即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理得 ， 又， 所以， 由整理得，即， 解得，又， 所以，即； 【小问2详解】 由余弦定理，得①， 由得，即， 解得． 下面用三种方法求的取值范围． 思路1：用余弦定理切入． 因为为锐角三角形，所以，即， 将①代入得， 同理，由，得， 故． 思路2：用正弦定理切入． 因为为锐角三角形，所以 解得， 由正弦定理得． 思路3：用极限方法求解． 因为为锐角三角形， 当时，；当时，； 故． 接下来换元构造函数求最值． 设，则． 设，则， 由得，又， 所以，由得， 所以在单调递增，在单调递减， 故． 所以． 方法二：思路1，齐次化不等式处理 由得， 两边平方得， 令，则， 则，当即时等号成立， 故的最大值为． 思路2：正弦定理函数处理 由，得， 两边平方得． 又因为，则， 代入得． 又因为为锐角三角形， 所以，解得， 当即时，的最大值为， 所以． 方法三：设的中点为外接圆的圆心为O，则， 所以， ，所以， ， 所以，所以． 所以，当且仅当A,O,D三点共线时等号成立，此时为锐角三角形． 21. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】（1）侧面积，体积 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）确定圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积与体积公式计算即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，确定当三点共线时取得最小值.求出，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 圆柱的底面半径，高， 圆柱的侧面积． 圆柱体积． 【小问2详解】 由题意知，平面，又平面， 所以，而平面， 所以平面，又平面， 故平面平面； 【小问3详解】 将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上． 当三点共线时取得最小值，为. ∵，， ，， ∴在三角形中，由余弦定理得， ∴的最小值等于． 22. 设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域． （1）已知，若，求 （2）非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增．已知．请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？ （3）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有，②，使得． 那么，我们称是二元函数的最小值．求 的最大值． 【答案】（1）； （2）单调递增，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可； （2）根据二元函数在定义域上沿方向单调递增的定义求解即可； （3）根据的最大值的含义结合柯西不等式或对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由已知有， 则； 【小问2详解】 ， ， 又， ， 故在上沿向量方向单调递增； 【小问3详解】 由题意可类似的知道的最大值的含义， ，其中， （或者直接使用柯西不等式， ，当且仅当时取等号．） 故，当时取等号，（或当时取等号）， 又，根据对勾函数单调性易知 当或2时，函数取最大值为． 【点睛】关键点点睛：此题关键是理解好二元函数的定义，结合函数的单调性，三角函数的运算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$