第04讲 二元一次方程组及其应用-2023-2024学年苏科版七年级下册数学期末专题复习《精讲·精练·精测》

苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第04讲 二元一次方程组及其应用 一、知识精讲 考点1：二元一次方程的概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，并且含未知项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是 ax+by=c(a≠0，b≠0). 2.二元一次方程的解 适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 考点2：二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 易错提醒 （1） 二元一次方程组中未知数的个数是指两个方程一共有两个未知数，而不是指每个方程中有两个未知数，切记； （2） 二元一次方程组的解是一对数，写的时候必须用花括号括起来； （3） 二元一次方程组的解通常是唯一的，但也有无解的情况和无数多解得情况，一般考试不做要求。 考点3：二元一次方程组的解法 1. 解法1：代入消元法；解法2：加减消元法. 2. 二元一次方程组的解法中心思想是消元。 考点4：二元一次方程组的应用 1. 二元一次方程组的应用的解题步骤： 设元，找等量关系，列方程（2个），解方程组，检验，写答案。 2.利用二元一次方程组解决问题的关键是从问题中找出两个等量关系。 二、方法精讲 问题1：二元一次方程组中蕴含的数学思想和方法有什么？ 问题2：二元一次方程组重点题型有哪些？ 三、 题型精讲与精练 题型1：利用代入法和加减法解方程组 例1．解方程组： (1)； (2)． 【考点精练】 1．解方程组： (1)； (2)． 2．解下列方程组： (1) (2) 3．解方程组： (1)； (2)． 4．解方程组： (1)； (2)． 题型2： 方程组应用 例2．（方案问题）某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【考点精练】 1．（方案问题）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？ 2．（行程问题）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 3．（年龄问题）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    4．（古代问题）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 题型3： 含参数的方程组问题 例3. 已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【考点精练】 1． 已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 2．已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 3．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，求，的值． 4．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 题型4：方程组与不等式的结合 例4．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【考点精练】 1． 若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 2．已知x，y满足关系式． (1)若x，y满足，求y的取值范围； (2)若x，y满足，且，求a的取值范围． 3．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 4．关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 四、 检 测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．用代入法解方程组，消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 4．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 5．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 6．关于x、y的方程组的解是，则的值是（    ）． A．4 B．9 C．5 D．11 7．若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 8．如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．在学校组织的篮球比赛中．积分规则：胜场记分，负场记分，且每场比赛都要分出胜负，七年级某队在场比赛中共得到分，若设该队胜场，负场，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 12．已知二元一次方程组，则 ． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为 ，这个定值为 ． 15．已知关于，的二元一次方程组（是常数）不论取什么实数，代数式（是实数）的值始终不变，则的值为 ． 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．解二元一次方程组 (1)； (2) 18．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 19．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)求此方程组的解（用含a的代数式表示）； (2)若，求a的取值范围． 20．数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第04讲 二元一次方程组及其应用 一、知识精讲 考点1：二元一次方程的概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，并且含未知项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是 ax+by=c(a≠0，b≠0). 2.二元一次方程的解 适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 考点2：二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 易错提醒 （1） 二元一次方程组中未知数的个数是指两个方程一共有两个未知数，而不是指每个方程中有两个未知数，切记； （2） 二元一次方程组的解是一对数，写的时候必须用花括号括起来； （3） 二元一次方程组的解通常是唯一的，但也有无解的情况和无数多解得情况，一般考试不做要求。 考点3：二元一次方程组的解法 1. 解法1：代入消元法；解法2：加减消元法. 2. 二元一次方程组的解法中心思想是消元。 考点4：二元一次方程组的应用 1. 二元一次方程组的应用的解题步骤： 设元，找等量关系，列方程（2个），解方程组，检验，写答案。 2.利用二元一次方程组解决问题的关键是从问题中找出两个等量关系。 二、方法精讲 问题1：二元一次方程组中蕴含的数学思想和方法有什么？ 问题2：二元一次方程组重点题型有哪些？ 三、 题型精讲与精练 题型1：利用代入法和加减法解方程组 例1．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组： （1）运用加减消元法求解：得，将代入①可解得，从而得出方程组的解； （2）运用加减消元法求解：得，将代入②可解得，从而得出方程组的解． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得： 解得，， 所以，方程组的解为：； （2）解： 得：， 解得：， 将代入②得： 解得，， 所以，方程组的解为：． 【考点精练】 1．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 2．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 3．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，正确去分母，去括号化简方程是求解本题的关键． （1）先化简，再加减消元求解即可． （2）先化简，再加减消元化简即可． 【详解】（1）解：原方程组去分母，去括号得： ． ①②得：． ． 代入①得：． 原方程组的解为：． （2）原方程组去分母，去括号得： ． ①②得：． ． 代入②得：． 原方程组的解为：． 4．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法和换元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）先设，，求出m，n，再利用m，n的值建立二元一次方程组，再求解即可． 【详解】（1）解： 由②得：③， 将③代入①得：， 解得： 将代入③得：， 所以原方程组的解为； （2）解：设，，则 原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：； ， 两式相加得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为． 题型2： 方程组应用 例2．（方案问题）某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生 (2)最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可； （2）①根据（1）所求可得方程，求出方程的非负整数解即可得到两种方案，求出两种方案的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生， 由题意得， 解得， 每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生； （2）解：由题意得，， ∴， ∵都是整数， ∴一定是整数， ∴y一定是4的倍数， ∴或， ∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆； 方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）， ∵， ∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元． 【考点精练】 1．（方案问题）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？ 【答案】按方案裁剪张，方案裁剪7张组合，最多可以做个盒子 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．选择方案与方案组合，设按方案裁剪张，按方案裁剪张，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设计1：选择方案与方案组合， 设按方案裁剪张，按方案裁剪张， 根据题意可得：， 解得：， 可做盒子： (个)， 答：按方案裁剪张，方案裁剪张组合，最多可以做个盒子； 设计2：选择裁剪方案、方案组合， 设按方案裁剪张，按方案裁剪张， 根据题意可得：， 解得：， 可做盒子： (个)， 答：按方案裁剪张，方案裁剪张组合，最多可以做个盒子． 2．（行程问题）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 3．（年龄问题）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 4．（古代问题）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【答案】公鸡买4只，母鸡买18只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设公鸡买x只，母鸡买y只，根据用一百钱买一百只鸡列方程组求解即可． 【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只， 依题意，得，                 解得：， 答：公鸡买4只，母鸡买18只． 题型3： 含参数的方程组问题 例3. 已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法和加减消元法，即可． （1）根据题意，得到，解出方程组的解，即可； （2）根据（1）中方程组的解，代入，求出，的值，即可． 【详解】（1）∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解 ∴ 令 由得，， 解得：； 把代入式，则 解得：； ∴方程组的解为：． （2）∵方程组的解为：， ∴把代入中， ∴， 化简得：， 由得，； 由得，， 解得：； 把代入式，则， 解得：； ∴． 【考点精练】 1． 已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 2． 【答案】． 3． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案． 4． 【详解】解：， 5． 由得③， 6． ∴， 7． 由得，解得， 8． 将代入③得，解得， 9． ∴， 10． 将代入①得， 11． 解得． 2．已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是利用整体代入法，用含的代数式表示，的解． （1）将方程组的两个式子进行相减，得到，再整体代入的值，即可得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用代入消元法解方程组，解得，，再将，的值代入计算即可； （3）根据方程组的解，，列举的解为自然数时，求的值，再将的值代入的解，判定是否满足自然数条件即可． 【详解】（1）解：， 由得，， ， ， 解得． （2）解：由题意，得， ， 解得，， ， 当取不同实数时，的值不变，都为． （3）解：由（2）得，， 当时，， ， 当时，， 此时，，为非自然数， ，的自然数解是． 3．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，求，的值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据甲把方程组中的看成了，可得是方程组的解，即可求出b和c的值，根据乙看错了方程组中的，可知是方程的解，将x、y、c的值代入，即可求出a的值； （2）根据，，得出原方程组，再用加减消元法求解即可； （3）把，，代入关于，的二元一次方程组得，令，，由（2）可得：，则，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， 把代入， ， 解得，， 由于乙看错了方程组中的，得解为． 可知是方程的解， 把代入得， ∵， ∴，解得， 综上：，，； （2）解：当，，时，原方程组可变为， ，得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：把，，代入关于，的二元一次方程组得， 令，， 则， 由（2）可得：， ∴， 得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为， 即，． 4．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了6 (2) 【分析】（1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了6； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 题型4：方程组与不等式的结合 例4．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，根据不等式的解集求参数： （1）先利用加减消元法求出方程组的解为，进而得到，解不等式组即可得到答案； （2）先把原不等式变形为，根据解集为得到，进而求出，据此可得答案． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵x为非正数，y为负数， ∴，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， ∵其解集为， ∴， 解得 ∴． 结合m取整数，可得， 即当时，不等式的解集为． 【考点精练】 1． 若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即的取值范围为． 2．已知x，y满足关系式． (1)若x，y满足，求y的取值范围； (2)若x，y满足，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的性质； （1）由得，根据求解即可； （2）联立和，求解出的值，根据，求解关于a的不等式即可． 【详解】（1）由得， ∵， ∴． ∴， 即y的取值范围是； （2）联立和，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 3．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】(1) (2)、0 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 【详解】（1）， ①②得：， ， ， ， 解得； （2）关于的不等式的解集为， ， ， ， ， 满足条件的的整数值是、0． 4．关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 【答案】k的值为，0，1，2，3． 【详解】解： ①＋②，得，∴． ∵，∴，解得． 解不等式③，得．解不等式④，得． ∵关于x的不等式组有解，∴． 综上所述，． 故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3． 四、 检 测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，先将解的值代入到方程组中，可得到有关和的一个二元一次方程，再根据加减消元法可得到和的值，计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 根据得：，解得：， 根据得：，解得：， ∴， 故选：D． 2．用代入法解方程组，消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．把代入，判断出用代入法消去y后所得到的方程是哪个即可． 【详解】解：把代入得：， ∴． 故选：A． 3．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 4．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解是10和15的公约数是关键．先把m看成已知数，解出x，y的值，再根据x，y都是整数和m为正整数确定m的值即可. 【详解】解：， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵x，y为整数， ∴或， 解得或或或2， ∵m为正整数， ∴ ∴， 故选：A. 5．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据与互为相反数得到，代入方程组中计算即可求出的值．本题考查了二元一次方程组的解，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是关键． 【详解】解：由与互为相反数，得到，即， 代入方程组得：， 由解得：， 把代入， 得：， 解得：． 故选：A． 6．关于x、y的方程组的解是，则的值是（    ）． A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 7．若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程和利用平方差公式分解因式，学生们熟练掌握二元一次方程的计算和平方差公式的计算即可． 把代入原方程组得，解出与，再进一步即可求出答案． 【详解】解：把代入原方程组 得， ∴两个方程相加得：即， 两个方程相减得：， ∴， 故答案选D． 8．如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出，解出a，b的值，再代入即可 【详解】解：根据题意得出：， 解得：， ， 故选：C 9．我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两，构建方程组即可．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：由题意， ∵若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子， ∴． 故选：B． 10．在学校组织的篮球比赛中．积分规则：胜场记分，负场记分，且每场比赛都要分出胜负，七年级某队在场比赛中共得到分，若设该队胜场，负场，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设该队胜场，负场，根据题意列出方程组即可，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组． 【详解】设该队胜场，负场，根据题意得： ， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，根据，将x看成已知数，进行移项，再系数化1，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 12．已知二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察并用整体法求解．根据方程组，直接由②①即可得出答案． 【详解】解：原方程组为， 由②①得． 故答案为：． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组，令，则可得关于s，t的二元一次方程组的解是，进而得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：令，则方程组即为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴关于s，t的二元一次方程组的解是 ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为 ，这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 解得：， 把代入， 得：， 若不论a为何值，代数式的值都为定值， ， 故k的值为， 代入代数式得：， 故答案为：，． 15．已知关于，的二元一次方程组（是常数）不论取什么实数，代数式（是实数）的值始终不变，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，先把方程①化为，再把两个方程相加可得，再比较即可得到答案． 【详解】解：将， ①得：③， 得： ， 化简，得． 代数式的值始终不变， ． 故答案为：． 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，y的二元一次方程，求出x，y的值即可得出结论． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． ∴最左下角的数为， ∴最中间的数为，或为； 最右下角的数为：，可为； ∴ 解得， ∴， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．解二元一次方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法解方程组，是解题的关键． （1）代入消元法解方程组即可； （2）原方程组变形后，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得： 解得： 把代入②得： ∴原方程组的解为； （2）原方程组，整理得 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 18．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． 19．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)求此方程组的解（用含a的代数式表示）； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法进行求解即可； （2）将代入不等式可得，解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∴， ①③得：， ②③得：， ∴方程组的解为； （2）∵， ∴， 解得． 20．数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)这个公共解为； (3)；． 【分析】（1）把代入，求解即可； （2）由方程的解与a无关，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （3）化简整理用含x，y的代数式表示a，之后将两种情况下的x、y代入a，可得，再根据题意得到，解之即可求解． 【详解】（1）解：∵是该方程的一个解， ∴， 解得：； （2）解：原方程整理得， 由题意得，方程的解与a无关， ∴， 解得， ∴这个公共解为； （3）解：， 即， ∴， ∴； 当，时，， 此时，即， ∴， 当，时，， 此时，即， ∴， ∴， ∵m恰好有4个整数解， ∴4个整数解为， ∴， 解得． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$