专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题01 集合与常用逻辑用语 【考点1 集合的含义和表示】 【考点2 集合的基本关系】 【考点3 集合的交并补运算】 【考点4 子集的个数求解】 【考点5 集合中的求参问题】 【考点6 韦恩图的应用】 【考点7 集合的新定义问题】 【考点8 充分条件与必要条件的判定】 【考点9 充分条件与必要条件的应用】 【考点10 全称量词与特称量词命题】 知识点1 集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． （2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． （3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集的记法． 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A． （2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． （4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 知识点4充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点5 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 知识点6 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 【考点1 集合的含义和表示】 方法技巧点拨： 解决集合含义问题的关键有三点． （1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件． （3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【典例1】（2024•乐山三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2024•雁峰区校级模拟）若a∈{1，2，a2}，则a的取值集合为（　　） A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2} 【典例3】（2024•湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B的所有元素之和为（　　） A．6 B．3 C．2 D．0 【典例4】（2024•杨浦区校级三模）已知集合P＝{1，2}，Q＝{1，3}，M＝{x|x∈P或x∈Q}，则M＝（　　） A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3} 【典例5】（2024•宝鸡模拟）若集合A＝{x∈R|ax2﹣2x+1＝0}中只有一个元素，则实数a＝（　　） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【考点2 集合的基本关系】 方法技巧点拨： 1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【典例1】（2024•利通区校级模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，若A⊆B，则a＝（　　） A．2 B．3 C．1 D．1或2 【典例2】（2024•浏阳市校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【典例3】（2024•汕头模拟）已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{﹣1，0，1，2}，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】（2024•岳麓区校级模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．（2024，+∞） B．[2024，+∞） C．（﹣∞，2024] D．（﹣∞，2024） 【考点3 集合的交并补运算】 【典例1】（2024•兴庆区校级模拟）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则A∩B＝（　　） A．[﹣1，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[﹣1，2] 【典例2】（2024•榆阳区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4） 【典例3】（2024•蜀山区校级模拟）设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．（1，3） B．[1，3] C．（3，4） D．[3，4） 【典例4】（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{3} B．{﹣3，﹣1，1，2，3} C．{﹣3，﹣2，0，2，3} D．{﹣3，2} 【典例5】（2024•袁州区校级模拟）已知集合A＝{3，5，7，9}，B＝{x|x＝2a﹣3，a∈A}，C＝{5，6，8}，则（A∩B）∪C＝（　　） A．{3} B．{3，5，6，8} C．{5，6，7，8} D．{3，5，6，7，8} 【考点4子集的个数求解】 方法技巧： 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【典例1】（2024•全国一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【典例2】（2024•西秀区校级一模）已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，P＝A∩B，则集合P的子集共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【典例3】（2024•海陵区校级模拟）若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m的取值范围为（　　） A．[﹣1，0） B．（﹣1，0] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0] 【典例4】（2024•秦淮区校级二模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，则A的子集个数为（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 【考点5 集合中的求参问题】 【典例1】（2024•青羊区校级模拟）已知集合A＝{x|3x2﹣2x﹣1＜0}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B． C．[1，+∞） D． 【典例2】（2024•河南模拟）已知集合A＝{﹣5，﹣4，0，2}，B＝{x|﹣5＜x＜a﹣2}，若A∩B中有2个元素，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣2，2] D．（2，4） 【典例3】（2024•开封模拟）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁UA）∪B＝R，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【典例4】（2024•广东模拟）若集合A＝{x|3x2﹣8x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，则A﹣B＝（　　） A． B． C． D．（1，3] 【典例5】（2024•铜川三模）已知集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，若A⊇B，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（3，+∞） D．[3，+∞） 【考点6 韦恩图的应用】 【典例1】（2024•延边州模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，6}，A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1，2，4，6} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2，3，6} 【典例2】（2024•邵阳模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣1≤x≤6} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＞6} D．{x|x＜﹣1或x＞6} 【典例3】（2024•沙坪坝区校级模拟）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A．∁U（A∪B） B．A∪∁UB C．∁UA∩（∁UB） D．（∁UA）∪（∁UB） 【典例4】（2024•浙江模拟）若全集U，集合A，B及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（　　） A．∁U（A∩B） B．∁U（A∪B） C．（∁UA）∩B D．A∩（∁UB） 【典例5】（2024•芝罘区校级模拟）若集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|x2≥1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|x＞0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|0＜x＜1或x≥3} 【考点7 集合的新定义问题】 方法技巧： （1）看清集合中的元素． （2）对集合进行化简使问题变得简单明了． （3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图． 【典例1】（2024•南通模拟）定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为 　　． 【典例2】（2024•河北模拟）已知函数y＝ln（x2﹣3x+2）的定义域为集合A，值域为集合B，则∁BA＝（　　） A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，l]∪[2，+∞） C．（1，2） D．[1，2] 【典例3】（2024•深圳校级模拟）定义两集合M，N的差集：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（　　）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【典例4】（2024•山东一模）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【典例5】（2024•雨花区校级一模）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若u≥v＞0，且u⊗v与v⊗u都是集合的元素，则u⊗v＝　　． 【考点8 充分条件与必要条件的判定】 方法技巧 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 【典例1】（2024•通州区校级三模）已知a＞0，b＞0，则“a2+b2＞2”是“a+b＞2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2024•船营区校级一模）已知向量，，则“x＝3”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】（2024•古蔺县校级模拟）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（2024•碑林区校级模拟）在△ABC中，“∠ACB是钝角”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5】（2024•蓟州区校级一模）“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点9 充分条件与必要条件的应用】 方法技巧 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验． 【典例1】（2024•和平区二模）若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（　　） A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 【典例2】（2024•辽宁三模）已知正实数a，b，则“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【典例3】（2024•河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3 【典例4】（2024•新县校级模拟）已知曲线C：＝1（m≠0），则“m∈（0，4）”是“曲线C的焦点在x轴上”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5】（2024•顺义区模拟）若函数f（x）＝则“x1+x2＞0”是“f（x1）+f（x2）＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点10全称量词与特称量词命题】 方法技巧： （1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． （2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 【典例1】（2024•凉山州模拟）已知命题“+m≤0”是假命题，则m的取值范围为（　　） A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2] 【典例2】（2024•昌乐县校级模拟）“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】（2024•莲湖区校级二模）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（3，+∞） C．（2，+∞） D． 【典例4】（2024•重庆模拟）若命题∃x∈R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m的取值范围为 　 　． 一．选择题（共11小题） 1．（2024•平罗县校级三模）已知集合A＝{x|x2＝x}，则﹣1与集合A的关系为（　　） A．﹣1∈A B．﹣1∉A C．﹣1⊆A D．﹣1⊂A 2．（2024•莲湖区校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|0＜x＜9}，则A∪B＝（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，9） C．（0，7） D．（0，9） 3．（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则{﹣3，2}＝（　　） A．（∁UA）∩B B．（∁UA）∪B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 4．（2024•河南模拟）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2a}，若A⊆B，则a的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，1] D．（0，] 5．（2024•晋城三模）已知集合A＝{x∈Z|x+1＞0}，B＝{x|x≤a}，若A∩B中有2个元素，则a的取值范围是（　　） A．[2，4） B．[1，2） C．[2，4] D．[1，2] 6．（2024•长沙三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B（A∩B）＝（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1]∪[1，2） 7．（2024•洪山区校级模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|log2x≤1}，则A∩B＝（　　） A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2] D．（1，2] 8．（2024•碑林区校级模拟）满足M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024•南通模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）≤2}，则集合A∩B的子集个数为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 10．（2024•重庆模拟）已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{0，1，4} C．{﹣1，1，4} D．{﹣1，0，1，4} 11．（2024•凉山州模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB＝（　　） A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k∈Z} C．{x|x＝2k+3，k∈Z} D．∅ 二．填空题（共4小题） 12．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数m＝　 　． 13．（2024•泰安模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝x+a，x∈A}，若B∩C＝∅，则实数a的取值范围是　 　． 14．（2024•松江区校级模拟）已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|3x+2y＝8}，则A∩B＝　 　． 15．（2024•南通模拟）已知X为包含v个元素的集合（v∈N*，v≥3）．设A为由X的一些三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称（X，A）组成一个v阶的Steiner三元系．若（X，A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 　 　． 三．解答题（共1小题） 16．（2024•海淀区校级模拟）设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N*．如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A具有性质P（k）． （1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明理由； （2）若集合A＝{a1，a2，⋯，a12}⊆{1，2，⋯，20}，求证：A不可能具有性质P（3）； （3）若集合A⊆{1，2，⋯，2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元素个数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 【考点1 集合的含义和表示】 【考点2 集合的基本关系】 【考点3 集合的交并补运算】 【考点4 子集的个数求解】 【考点5 集合中的求参问题】 【考点6 韦恩图的应用】 【考点7 集合的新定义问题】 【考点8 充分条件与必要条件的判定】 【考点9 充分条件与必要条件的应用】 【考点10 全称量词与特称量词命题】 知识点1 集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． （2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． （3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集的记法． 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A． （2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． （4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 知识点4充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点5 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 知识点6 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 【考点1 集合的含义和表示】 方法技巧点拨： 解决集合含义问题的关键有三点． （1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件． （3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【典例1】（2024•乐山三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}， 则集合C＝{0，1，2，3}，即元素个数为4个． 故选：C． 【典例2】（2024•雁峰区校级模拟）若a∈{1，2，a2}，则a的取值集合为（　　） A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2} 【答案】C 【解答】解：当a＝1时，a2＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当a＝2时，则a∈{1，2，4}，符合题意， 当a＝a2时，有a＝1或a＝0，已知当a＝1时符合题意， 当a＝0时，则a∈{1，2，0}，符合题意， 故a的取值集合为{0，2}． 故选：C． 【典例3】（2024•湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B的所有元素之和为（　　） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解答】解：因为A*B＝{0，2，4}，所以集合A*B的所有元素之和为6． 故选：A． 【典例4】（2024•杨浦区校级三模）已知集合P＝{1，2}，Q＝{1，3}，M＝{x|x∈P或x∈Q}，则M＝（　　） A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3} 【答案】D 【解答】解：∵P＝{1、2}，Q＝{1、3}， M＝{x|x∈P或x∈Q}，故D正确； 故选：D． 【典例5】（2024•宝鸡模拟）若集合A＝{x∈R|ax2﹣2x+1＝0}中只有一个元素，则实数a＝（　　） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解答】解：当a＝0时，由ax2﹣2x+1＝0可得，满足题意； 当a≠0时，由ax2﹣2x+1＝0只有一个根需满足Δ＝（﹣2）2﹣4a＝0， 解得a＝1． 综上，实数a的取值为0或1． 故选：D． 【考点2 集合的基本关系】 方法技巧点拨： 1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【典例1】（2024•利通区校级模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，若A⊆B，则a＝（　　） A．2 B．3 C．1 D．1或2 【答案】C 【解答】解：因为集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，A⊆B，所以a﹣2＝0或a﹣1＝0． 当a﹣2＝0时，a＝2，此时B＝{1，0，1}，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当a﹣1＝0时，a＝1，此时B＝{1，﹣1，0}，满足题意．故a＝1． 故选：C． 【典例2】（2024•浏阳市校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}， 若A⊆B，则a＝0． 故选：B． 【典例3】（2024•汕头模拟）已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{﹣1，0，1，2}，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：因为集合M＝{x∈N|log2x≤1}＝{2，1}，N＝{﹣1，0，1，2}， 若M⊆A⊆N，则A中一定有元素1，2， 则A的个数为22＝4． 故选：D． 【典例4】（2024•岳麓区校级模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．（2024，+∞） B．[2024，+∞） C．（﹣∞，2024] D．（﹣∞，2024） 【答案】B 【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[2024，+∞）． 故选：B． 【考点3 集合的交并补运算】 【典例1】（2024•兴庆区校级模拟）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则A∩B＝（　　） A．[﹣1，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[﹣1，2] 【答案】B 【解答】解∵0＜x﹣1≤1⇒1＜x≤2， ∴A＝（1，2]， ∵B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3] ∴A∩B＝（1，2]， 故选：B． 【典例2】（2024•榆阳区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4） 【答案】D 【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞0}， ∴A∩B＝（0，4）． 故选：D． 【典例3】（2024•蜀山区校级模拟）设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．（1，3） B．[1，3] C．（3，4） D．[3，4） 【答案】B 【解答】解：∵集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}＝{x|1≤x＜4}， ∴∁UA＝{x|x≤3}， ∴（∁RA）∩B＝{x|1≤x3}＝[1，3]． 故选：B． 【典例4】（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{3} B．{﹣3，﹣1，1，2，3} C．{﹣3，﹣2，0，2，3} D．{﹣3，2} 【答案】D 【解答】解：∵全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}， ∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}， ∴∁U（A∪B）＝{﹣3，2}． 故选：D． 【典例5】（2024•袁州区校级模拟）已知集合A＝{3，5，7，9}，B＝{x|x＝2a﹣3，a∈A}，C＝{5，6，8}，则（A∩B）∪C＝（　　） A．{3} B．{3，5，6，8} C．{5，6，7，8} D．{3，5，6，7，8} 【答案】D 【解答】解：由题得B＝{3，7，11，15}， 所以A∩B＝{3，7}， 又C＝{5，6，8}， 所以（A∩B）∪C＝{3，5，6，7，8}． 故选：D． 【考点4子集的个数求解】 方法技巧： 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【典例1】（2024•全国一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解；由题意得B＝{﹣1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23﹣1＝7． 故选：C． 【典例2】（2024•西秀区校级一模）已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，P＝A∩B，则集合P的子集共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【解答】解：因为A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，又B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}， 所以B＝{﹣1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}， 则集合P的子集共有22＝4个． 故选：C． 【典例3】（2024•海陵区校级模拟）若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m的取值范围为（　　） A．[﹣1，0） B．（﹣1，0] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0] 【答案】A 【解答】解：根据题意，设集合A中有n个元素， 因为集合A有15个真子集，则2n﹣1＝15，解可得n＝4， 即集合A中有4个元素， 而集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}，必有﹣1≤m＜0，即m的取值范围为[﹣1，0）． 故选：A． 【典例4】（2024•秦淮区校级二模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，则A的子集个数为（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【解答】解：题意可得：A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为23＝8． 故选：C． 【考点5 集合中的求参问题】 【典例1】（2024•青羊区校级模拟）已知集合A＝{x|3x2﹣2x﹣1＜0}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B． C．[1，+∞） D． 【答案】C 【解答】解：由3x2﹣2x﹣1＜0，解得， 则， 又B＝{x|x≥a}，且A∩B＝∅， 则a≥1， 故实数a的取值范围为[1，+∞）． 故选：C． 【典例2】（2024•河南模拟）已知集合A＝{﹣5，﹣4，0，2}，B＝{x|﹣5＜x＜a﹣2}，若A∩B中有2个元素，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣2，2] D．（2，4） 【答案】A 【解答】解：由A∩B中有2个元素可知：﹣4∈B，0∈B，2∉B， 可得0＜a﹣2≤2，解得2＜a≤4， 所以实数a的取值范围为（2，4]． 故选：A． 【典例3】（2024•开封模拟）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁UA）∪B＝R，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】A 【解答】解：∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，+∞）， B＝{x|x＞a}＝（a，+∞）， ∴∁UA＝（﹣∞，1）， 又（∁UA）∪B＝R， ∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A． 【典例4】（2024•广东模拟）若集合A＝{x|3x2﹣8x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，则A﹣B＝（　　） A． B． C． D．（1，3] 【答案】C 【解答】解：由3x2﹣8x﹣3≤0得，则， 又A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，则A﹣B＝． 故选：C． 【典例5】（2024•铜川三模）已知集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，若A⊇B，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（3，+∞） D．[3，+∞） 【答案】D 【解答】解：∵集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}， 若A⊇B，则m⩾3， 即m的取值范围为[3，+∞）． 故选：D． 【考点6 韦恩图的应用】 【典例1】（2024•延边州模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，6}，A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1，2，4，6} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2，3，6} 【答案】C 【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示（∁UB）∩A， ∁UB＝{1，3}，所以（∁UB）∩A＝{1}． 故选：C． 【典例2】（2024•邵阳模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣1≤x≤6} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＞6} D．{x|x＜﹣1或x＞6} 【答案】D 【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}， 则A∪B＝{x|﹣1≤x≤6}， ∴∁U（A∪B）＝{x|x＜﹣1或x＞6}． 故选：D． 【典例3】（2024•沙坪坝区校级模拟）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A．∁U（A∪B） B．A∪∁UB C．∁UA∩（∁UB） D．（∁UA）∪（∁UB） 【答案】D 【解答】解：U是全集，A，B是U的子集， 故图中阴影部分表示的集合为∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）． 故选：D． 【典例4】（2024•浙江模拟）若全集U，集合A，B及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（　　） A．∁U（A∩B） B．∁U（A∪B） C．（∁UA）∩B D．A∩（∁UB） 【答案】C 【解答】解：图中阴影表示的集合的元素属于集合B，但是不属于集合A，即为（∁UA）∩B． 故选：C． 【典例5】（2024•芝罘区校级模拟）若集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|x2≥1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|x＞0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|0＜x＜1或x≥3} 【答案】C 【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1或x≥1}， ∴A∩B＝{x|1≤x＜3}， 故选：C． 【考点7集合的新定义问题】 方法技巧： （1）看清集合中的元素． （2）对集合进行化简使问题变得简单明了． （3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图． 【典例1】（2024•南通模拟）定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为 　18　． 【答案】18． 【解答】解：∵A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}， ∴z＝0×2×（0+2）＝0，z＝0×3×（0+3）＝0，z＝1×2×（1+2）＝6，z＝1×3×（1+3）＝12， ∴A⊙B＝{0，6，12}， ∴集合A⊙B所有元素之和为18． 故答案为：18． 【典例2】（2024•河北模拟）已知函数y＝ln（x2﹣3x+2）的定义域为集合A，值域为集合B，则∁BA＝（　　） A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，l]∪[2，+∞） C．（1，2） D．[1，2] 【答案】D 【解答】解：由题可得：x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2， 故A＝（﹣∞，1）∪（2，+∞），B＝R， 所以∁BA＝[1，2]． 故选：D． 【典例3】（2024•深圳校级模拟）定义两集合M，N的差集：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（　　）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解答】解：因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}， 所以A﹣B＝{2}， 所以A﹣（A﹣B）＝{3，5}， 则 A﹣（A﹣B）的子集个数是4个． 故选：B． 【典例4】（2024•山东一模）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：由题意知，C（A）＝2， ∵A*B＝1， A*B＝， ∴C（B）＝1或C（B）＝3， 即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根， 若（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0， 则x2+ax＝0或x2+ax+2＝0， 若x2+ax＝0，则x＝0或x+a＝0， 当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意； 当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a， 若C（B）＝3，则有以下两种情况， ①当x2+ax+2＝0有两个相等的实数根时， Δ＝a2﹣8＝0， 解得a＝±2， 当a＝2时，B＝{0，﹣，﹣2}， C（B）＝3，符合题意； 当a＝﹣2时，B＝{0，，2}， C（B）＝3，符合题意； ②当x2+ax+2＝0有两个不相等的实数根时， 则﹣a是x2+ax+2＝0的一个根， 即（﹣a）2+a•（﹣a）+2＝0， 无解； 综上所述，S＝{0，2，﹣2}； 故C（S）＝3， 故选：B． 【典例5】（2024•雨花区校级一模）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若u≥v＞0，且u⊗v与v⊗u都是集合的元素，则u⊗v＝　　． 【答案】． 【解答】解：由u⊗v与v⊗u都是集合的元素， 不妨设＝，，n1，n2∈Z， 因为u≥v＞0，所以， 因为， 所以＝λ•∈（0，1）， 因为n2∈Z， 所以n2＝1， 即， 所以∈（）， 所以∈（），∈（2，4）， 则＝×＝∈（1，2）， 因为n1∈Z， 所以n1＝3，＝． 故答案为：． 【考点8 充分条件与必要条件的判定】 方法技巧 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 【典例1】（2024•通州区校级三模）已知a＞0，b＞0，则“a2+b2＞2”是“a+b＞2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：设圆a2+b2＝2与直线a+b＝2的距离为d， d＝＝， 则圆a2+b2＝2与直线a+b＝2相切，则“a+b＞2”能推出“a2+b2＞2”，故必要性成立． 当a＝1.5，b＝0.3时，满足“a2+b2＞2”，但不能推出“a+b＞2”，充分性不成立． 故选：B． 【典例2】（2024•船营区校级一模）已知向量，，则“x＝3”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：根据题意，向量，， 当x＝3时，＝（3，3），＝（6，6），必有∥， 反之，若∥，则有2x2＝18，解可得x＝±3， 故“x＝3”是“”的充分不必要条件； 故选：A． 【典例3】（2024•古蔺县校级模拟）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为|x﹣2|＜1，则1＜x＜3， 又x2+x﹣2＞0，则x＜﹣2或x＞1， 根据充分条件、必要条件相关知识可得，1＜x＜3是x＜﹣2或x＞1的充分不必要条件， 故选：A． 【典例4】（2024•碑林区校级模拟）在△ABC中，“∠ACB是钝角”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：等价于， 平方得，即， 显然A，B，C不共线，原条件等价于∠ACB是钝角， 在△ABC中，“∠ACB是钝角”是“”的充要条件． 故选：C． 【典例5】（2024•蓟州区校级一模）“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：∵lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2， ∴lg|a|+a2＜lg|b|+b2， 令f（x）＝lg|x|+x2， 显然函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（a）＜f（b），∴0＜|a|＜|b|， 故“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的充分不必要条件． 故选：A． 【考点9 充分条件与必要条件的应用】 方法技巧 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验． 【典例1】（2024•和平区二模）若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（　　） A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 【答案】A 【解答】解：不等式x2＜1等价于﹣1＜x＜1， 使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则（﹣1，1）是A的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 【典例2】（2024•辽宁三模）已知正实数a，b，则“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解答】解：根据题意，对于正实数a、b， 当a+2b≤2时，取a＝，，此时a+2b＝≤2，但a2+4b2＝＝＞2，a2+4b2≤2不成立； 当a2+4b2≤2时，由于（a+2b）2≤2（a2+4b2）≤4，所以a+2b≤2成立． 综上所述，“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的必要不充分条件． 故选：B． 【典例3】（2024•河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3 【答案】D 【解答】解：因为|x﹣3|＜2， 所以﹣2＜x﹣3＜2，解得1＜x＜5， 由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合． 故选：D． 【典例4】（2024•新县校级模拟）已知曲线C：＝1（m≠0），则“m∈（0，4）”是“曲线C的焦点在x轴上”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：对于曲线C：＝1（m≠0）， 当m∈（0，4）时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，充分性成立； 若曲线C的焦点在x轴上，则m＜4且m≠0，不能推出m∈（0，4），必要性不成立． 因此，“m∈（0，4）”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件． 故选：A． 【典例5】（2024•顺义区模拟）若函数f（x）＝则“x1+x2＞0”是“f（x1）+f（x2）＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：根据题意，f（x）＝， 对任意x∈R，满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x）在R上为单调增函数． 若x1+x2＞0，则x1＞﹣x2，可得f（x1）＞f（﹣x2），即f（x1）＞﹣f（x2），可得f（x1）+f（x2）＞0， 因此，“x1+x2＞0”是“f（x1）+f（x2）＞0”的充分条件； 反之，若f（x1）+f（x2）＞0，则f（x1）＞﹣f（x2），可得f（x1）＞f（﹣x2），所以x1＞﹣x2，即x1+x2＞0． 因此，“x1+x2＞0”是“f（x1）+f（x2）＞0”的必要条件． 综上所述，“f（x1）+f（x2）＞0”充要条件． 故选：C． 【考点10 全称量词与特称量词命题】 方法技巧： （1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． （2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 【典例1】（2024•凉山州模拟）已知命题“+m≤0”是假命题，则m的取值范围为（　　） A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2] 【答案】B 【解答】解：因为命题“+m≤0”是假命题， 所以∃x∈R，sin2x+2sin（+x）+m＞0是真命题， 即∃x∈R，1﹣cos2x+2cosx+m＞0是真命题， 整理得m+2＞（cosx﹣1）2有解， 所以m+2＞（cosx﹣1）2min＝0， 所以m+2＞0，即m＞﹣2． 故选：B． 【典例2】（2024•昌乐县校级模拟）“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：必要性：设f（x）＝asinx+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a＞1； 当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1． 故a＞1或a＜﹣1； 充分性：取，当a＜﹣1时，asinx0+1＜0成立． ∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【典例3】（2024•莲湖区校级二模）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（3，+∞） C．（2，+∞） D． 【答案】A 【解答】解：因为命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，所以∀x∈[2，6]，f（x）＞﹣2a+3恒成立， 则ax2﹣2ax+2a﹣3＞0，对∀x∈[2，6]恒成立， 令h（x）＝ax2﹣2ax+2a﹣3，则二次函数的对称轴为直线x＝1， 要使得∀x∈[2，6]，h（x）＞0恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围是． 故选：A． 【典例4】（2024•重庆模拟）若命题∃x∈R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m的取值范围为 　{m|m≤﹣3或m≥1}　． 【答案】{m|m≤﹣3或m≥1}． 【解答】解：由题意，不等式﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0有解，即不等式x2+2mx﹣2m+3≤0有解， 设f（x）＝x2+2mx﹣2m+3，则函数图象开口向上，要使不等式f（x）≤0有解， 则函数f（x）图象与x轴有交点，则Δ＝4m2﹣4（﹣2m+3）≥0， 化简得m2+2m﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥1． 故答案为：{m|m≤﹣3或m≥1}． 一．选择题（共11小题） 1．（2024•平罗县校级三模）已知集合A＝{x|x2＝x}，则﹣1与集合A的关系为（　　） A．﹣1∈A B．﹣1∉A C．﹣1⊆A D．﹣1⊂A 【答案】B 【解答】解：因为集合A＝{x|x＝0或1}＝{0，1}， 故A错误，B正确， 又因为元素与集合是属于关系，故C，D错误， 故选：B． 2．（2024•莲湖区校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|0＜x＜9}，则A∪B＝（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，9） C．（0，7） D．（0，9） 【答案】B 【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|0＜x＜9}， 则A∪B＝{x|﹣1＜x＜9}＝（﹣1，9）． 故选：B． 3．（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则{﹣3，2}＝（　　） A．（∁UA）∩B B．（∁UA）∪B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 【答案】D 【解答】解：对于A，由（∁UA）∩B＝{﹣3，2，3}∩{﹣1，1，3}＝{3}，故A错误； 对于B，（∁UA）∪B＝{﹣3，2，3}∪{﹣1，1，3}＝{﹣3，﹣1，1，2，3}，故B错误； 对于C，∁U（A∩B）＝∁U{﹣1，1}＝{﹣3，﹣2，0，2，3}，故C错误； 对于D，因为A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，所以∁U（A∪B）＝{﹣3，2}，故D正确． 故选：D． 4．（2024•河南模拟）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2a}，若A⊆B，则a的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，1] D．（0，] 【答案】A 【解答】解：因为集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2a}， 若A⊆B，则2a≥1，即a≥0． 故选：A． 5．（2024•晋城三模）已知集合A＝{x∈Z|x+1＞0}，B＝{x|x≤a}，若A∩B中有2个元素，则a的取值范围是（　　） A．[2，4） B．[1，2） C．[2，4] D．[1，2] 【答案】B 【解答】解：A＝{x∈Z|x+1＞0}＝{x∈Z|x＞﹣1}， 因为A∩B中只有2个元素，则A∩B＝{0，1}，所以1≤a＜2． 故选：B． 6．（2024•长沙三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B（A∩B）＝（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1]∪[1，2） 【答案】D 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}， ∴A∩B＝（﹣1，1），A∪B＝（﹣2，2）， ∴集合∁A∪B（A∩B）＝（﹣2，﹣1]∪[1，2）． 故选：D． 7．（2024•洪山区校级模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|log2x≤1}，则A∩B＝（　　） A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2] D．（1，2] 【答案】D 【解答】解：解对数不等式log2x≤1得：0＜x≤2，即B＝（0，2]， 又A＝（1，3）， 所以A∩B＝（1，2]， 故选：D． 8．（2024•碑林区校级模拟）满足M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由题意可得{a}⊆M，b，c∉M． 又因为M⊆{a，b，c，d}， 所以M＝{a}或M＝{a，d}． 故选：B． 9．（2024•南通模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）≤2}，则集合A∩B的子集个数为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|1＜x≤5}， 则集合A∩B＝{2，3，4}，元素个数为3个， 故集合A∩B的子集个数为23＝8． 故选：C． 10．（2024•重庆模拟）已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{0，1，4} C．{﹣1，1，4} D．{﹣1，0，1，4} 【答案】B 【解答】解：A＝{x|0≤x≤4}， 图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{0，1，4}． 故选：B． 11．（2024•凉山州模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB＝（　　） A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k∈Z} C．{x|x＝2k+3，k∈Z} D．∅ 【答案】B 【解答】解：因为集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{x|x＝4k+1或x＝4k+3，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}， 所以∁AB＝{x|x＝4k+3，k∈Z}， 故选：B． 二．填空题（共4小题） 12．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数m＝　﹣2　． 【答案】﹣2． 【解答】解：因为B⊆A，所以m2＝m+2或m2＝4，⇒m＝﹣1或m＝±2， 又由集合中元素的互异性可知m+2≠1且m+2≠4且m2≠1，⇒m≠±1且m≠2， 综上m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．（2024•泰安模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝x+a，x∈A}，若B∩C＝∅，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）　． 【答案】（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝x+a，x∈A}， ∴B＝（1，4），C＝（1+a，2+a）， ∵B∩C＝∅， ∴2+a≤1或1+a≥4， ∴a≤﹣1或a≥3， 故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 14．（2024•松江区校级模拟）已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|3x+2y＝8}，则A∩B＝　{（2，1）}　． 【答案】{（2，1）}． 【解答】解：解得， ∴A∩B＝{（2，1）}． 故答案为：{（2，1）}． 15．（2024•南通模拟）已知X为包含v个元素的集合（v∈N*，v≥3）．设A为由X的一些三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称（X，A）组成一个v阶的Steiner三元系．若（X，A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 　7　． 【答案】7． 【解答】解：由题设，令集合X＝{a，b，c，d，e，f，g}，共7个元素， 所以X的三元子集，如下共35个： {a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，f}，{a．b．g}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，c，f}，{a，c，g}，{a，d，e}，{a，d，f}{a，d，g}，{a，e，f}，{a，e，g}，{a，f，g}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b，c，f}，{b，c，g}，{b，d，e}，{b，d，f}，{b，d，g}，{b，e，f}，{b，e，g}，{b，f，g}，{c，d，e}，{c，d，f}，{c，d，g}，{c，e，f}，{c，e，g}，{c，f，g}，{d，e，f}，{d，e，g}，{d，f，g}，{e，f，g}， 因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以A中元素满足： {a，b，c}，{a，d，e}，{a，f，g}，{b，d，f}，{b，e，g}，{c，d，g}，{c，e，f}，共7个； {a，b，c}，{a，d，f}，{a，e，g}，{b，d，e}，{b，f，g}，{c，d，g}，{c，e，f}，共7个； {a，b，c}，{a，d，g}，{a，e，f}，{b，d，e}，{b，f，g}，{c，d，f}，{c，e，g}，共7个； {a，b，d}，{a，c，e}，{a，f，g}，{b，c，f}，{b，e，g}，{c，d，g}，{d，e，f}，共7个； {a，b，d}，{a，c，g}，{a，e，f}，{b，c，e}，{b，f，g}，{c，d，f}，{d，e，g}，共7个； {a，b，d}，{a，c，f}，{a，e，g}，{b，c，e}，{b，f，g}，{c，d，g}，{d，e，f}，共7个； {a，b，e}，{a，c，d}，{a，f，g}，{b，c，f}，{b，d，g}，{c，e，g}，{d，e，f}，共7个； {a，b，e}，{a，c，f}，{a，d，g}，{b，c，d}，{b，f，g}，{c，e，g}，{d，e，f}，共7个； {a，b，e}，{a，c，g}，{a，d，f}，{b，c，d}，{b，f，g}，{c，e，f}，{d，e，g}，共7个； {a，b，f}，{a，c，d}，{a，e，g}，{b，c，e}，{b，d，g}，{c，f，g}，{d，e，f}，共7个； {a，b，f}，{a，c，g}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，e，g}，{c，e，f}，{d，f，g}，共7个； {a，b，g}，{a，c，d}，{a，e，f}，{b，c，e}，{b，d，f}，{c，f，g}，{d，e，g}，共7个； {a，b，g}，{a，c，e}，{a，d，f}，{b，c，d}，{b，e，f}，{c，f，g}，{d，e，g}，共7个； {a，b，g}，{a，c，f}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，e，f}，{c，e，g}，{d，f，g}共7个； 共有15种满足要求的集合A，都只有7个元素． 故答案为：7． 三．解答题（共1小题） 16．（2024•海淀区校级模拟）设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N*．如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A具有性质P（k）． （1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明理由； （2）若集合A＝{a1，a2，⋯，a12}⊆{1，2，⋯，20}，求证：A不可能具有性质P（3）； （3）若集合A⊆{1，2，⋯，2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元素个数的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为B＝{1，2，3，4}， 又1∈N*，2∈N*，3∈N*，4∈N*，但|4﹣2|＝2， 所以集合B不具有性质P（2）， 因为C＝{1，4，7，10}， 又1∈N*，4∈N*，7∈N*，10∈N*， 但|4﹣1|＝3，|7﹣1|＝6，|10﹣1|＝9，|7﹣4|＝3，|10﹣4|＝6，|10﹣7|＝3， 所以集合C具有性质P（2）， （2）证明：将集合{1，2，⋯，20}中的元素分为如下11个集合， {1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}．{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}， 所以从集合{1，2，⋯，20}中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素， 所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3， 所以A不可能具有性质P（3）； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项， 以1，2，3……，11为例． 构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}． ①5，6，7同时选，因为具有性质P（4）和P（7）， 所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11； 则只剩4，8．故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素， 3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个． 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选， 故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素， 4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个， 又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素， 故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个． 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个， 如取1，4，6，7，9． 因为2023＝183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有184×5＝920个． 给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次． 此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；…………； 2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素． 经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$