专题02 不等式（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题02 不等式 【考点1 不等式的性质】 【考点2 大小比较】 【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】 【考点4利用基本不等式求参数】 【考点5 一元二次不等式求解】 【考点6 根据一元二次不等式解求参数】 【考点7 不等式恒成立问题】 【考点8 基本不等式的其他应用】 【考点9 不等式与线性规划综合】 知识点1不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a． （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c． （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c． （4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc． （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． （7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 知识点2两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 知识点3 基本不等式 （1）基本不等式：≤． （2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0． （3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． （4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点4 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同号)． （3）ab≤ (a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 知识点5 三个“二次”的关系 判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 知识点6 分式不等式与绝对值不等式 （1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． （2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． （3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)． 【考点1 不等式的性质】 方法技巧： 判断不等式的常用方法． （1）利用不等式的性质逐个验证． （2）利用特殊值法排除错误选项． （3）作差法． （4）构造函数，利用函数的单调性． 【典例1】（2024•淮北模拟）已知a，b∈R，下列命题正确的是（　　） A．若ab＝1，则a+b≥2 B．若，则a＞b C．若a＞b，则ln（a﹣b）＞0 D．若a＞b＞0，则 【典例2】（2024•郫都区校级模拟）已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（　　） A．a2＞b2+1 B．2a＞2b+1 C．a2＞4b D．＞b+1 【典例3】（2024•固始县校级三模）若a，b∈R，且a＞b，则（　　） A． B．a2b＞ab2 C．a2＞ab＞b2 D． 【典例4】（2024•东城区一模）已知a，b∈R，ab≠0，且a＜b，则（　　） A． B．ab＜b2 C．a3＜b3 D．lg|a|＜lg|b| 【典例5】（多选）（2024•合肥模拟）已知实数a，b满足0＜a＜b＜1，则（　　） A． B．a+b＞ab C．ab＜ba D． 【考点2 大小比较】 【典例1】（2024•李沧区校级模拟）设，b＝log2sin2，c＝2sin2，则下列关系正确的是（　　） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 【典例2】（2024•青羊区校级模拟）若lna＝﹣1，eb，3c＝ln3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【典例3】（2024•博爱县校级三模）函数，记，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【典例4】（2024•李沧区校级模拟）设a＝log73，，c＝30.7，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【典例5】（多选）（2024•柳州三模）若a＞b，则（　　） A．a3﹣b3＞0 B．ln（a﹣b）＞0 C．ea﹣b＞1 D．|a|﹣|b|＞0 【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】 技巧一:凑项 【典例1】（2024•林芝市一模）已知x＞1，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 技巧二:凑系数 【典例1】（2024•成都三模）若正实数a，b满足a2+b2＝m，则a+b的最大值为（　　） A． B． C． D．2m 技巧三: 分离 【典例1】（2024•安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【典例2】（2024•新余二模）已知x，y为正实数，且x+y＝2，则的最小值为（　　） A．12 B． C． D． 【典例3】（2024•山东模拟）设正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为（　　） A． B．17 C． D．16 技巧四:换元 【典例1】（2024•苏州模拟）已知a，b∈R，a+b＝4，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 技巧五:函数的单调性 【典例1】（2024•一模拟）已知函数f（x）＝log2（﹣x），若对任意的正数a，b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 【典例2】（2024•新县校级模拟）已知m，n∈R，且m+2n＝2，则m•2m+n•22n+1的最小值为　　． 技巧六:整体代换 【典例1】（2024•安徽模拟）已知m，n∈（0，+∞），，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（2024•江苏模拟）设x＞0，y＞0，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【典例3】（2024•龙华区校级二模）已知x＞0，y＞0，且，则的最小值为 　　． 技巧七：利用sin²a+cos²a=l转换式子 【典例1】（2024•昭通模拟）的最小值为　　． 技巧八:解决二元函数的最值问题 【典例1】（2024•凉山州模拟）已知正数x，y满足x+2y＝1，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2024•松江区校级模拟）设实数x、y满足|x+y|＝1，则xy的最大值是 　　． 【考点4利用基本不等式求参数】 【典例1】（2024•江西模拟）已知集合M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|ex﹣a＞0}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，e] D．（﹣∞，e） 【典例2】（2024•思明区校级模拟）已知，若2∈A，则m的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【典例3】（2024•天河区二模）若实数m满足log2（﹣m）＜m+1，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，0） 【典例4】（2024•昌乐县校级模拟）若正数a，b满足ab＝a+b+3，则a+b的取值范围是（　　） A．[6，+∞） B．[9，+∞） C．（0，6] D．（0，9） 【考点5 一元二次不等式求解】 【典例1】（2024•河北模拟）已知集合A＝{x∈N|x≤5}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（　　） A．{2} B．{0，1，3，4，5} C．{0，4，5} D．{4，5} 【典例2】（2024•原州区校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x∈N|x＜3}，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【典例3】（2024•东城区校级三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2+3x+2＞0}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁UA D．∁UA⊆B 【考点6 根据一元二次不等式解求参数】 【典例1】（2024•河池二模）已知A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2024•永寿县校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{x∈N|0≤log2（x+1）＜2}，则A∪B的真子集的个数为（　　） A．16 B．15 C．14 D．8 【典例3】（2024•济宁一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　 　． 【考点7 不等式恒成立问题】 【典例1】（2023秋•滨州期末）已知不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，5] D．[5，+∞） 【典例2】（多选）（2024•广东模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝8，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2≥32 D． 【典例3】（多选）（2023秋•湖北期末）设x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＜0恒成立的充分不必要条件可以是（　　） A．﹣4＜a≤0 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3＜a＜0 D．﹣4＜a＜1 【考点8 基本不等式的其他应用】 【典例1】（2024•梅县区校级一模）在△ABC中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【典例2】（2024•古蔺县校级模拟）在△ABC中，若C＝，则sinAsinB的最大值是 　　． 【考点9 不等式与线性规划综合】 【典例1】（2024•汉中模拟）若实数x，y满足约束条件则z＝2x+3y的最小值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【典例2】（2024•大通县二模）若实数x，y满足约束条件则z＝x+4y的最大值为（　　） A． B．6 C．13 D．15 一．选择题 1．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{x|1＜x2＜9}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2）∪（2，3） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2） 2．（2024•大兴区校级模拟）若集合A＝{x∈N|2x＜4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{1} 3．（2024•香坊区校级模拟）已知集合，B＝{x|log2x≥1}，则（∁UA）∩B＝（　　） A．[2，3] B．（2，3） C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞） 4．（2024•袁州区校级三模）已知集合M＝{x|lgx＞0}，，则M∩N＝（　　） A．（1，2] B．（4，+∞） C．（1，2）∪[4，+∞） D．（1，2]∪[4，+∞） 5．（2024•郊区校级三模）已知，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．a2+b2≤6 D．ab≥3 6．（2024•思明区校级模拟）已知集合，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 7．（2024•江苏模拟）若集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，则A∩B＝（　　） A．（1，3] B．（2，3] C．（1，6] D．（2，6] 8．（2024•临汾模拟）若0＜x＜1，则的最小值是（　　） A．1 B．4 C． D． 9．（2024•雨城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 10．（2024•安徽模拟）已知全集U＝R，集合，，则M∩N等于（　　） A．[﹣1，1） B．[0，1） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣1） 11．（2024•济南校级模拟）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A．24 B．25 C． D． 12．（2024•玄武区校级二模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈N|2﹣x＞0}，则A∩B＝（　　） A．{3，4} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4} 13．（2024•揭阳二模）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1在（2，6）上不单调，则a的取值范围为（　　） A．（2，6） B．（﹣∞，2]∪[6，+∞） C．（4，12） D．（﹣∞，4]∪[12，+∞） 14．（2024•商洛模拟）在不等式组表示的平面区域内任取一点P（x，y），则满足y≥x﹣2的概率为（　　） A． B． C． D． 15．（2024•4月份模拟）若函数f（x）＝|x2﹣（m﹣2）x+1|在上单调，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 16．（2024•高碑店市校级模拟）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（　　） A．5＜m≤6 B．5≤m≤6 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7 17．（2024•西安模拟）已知x，y满足约束条件，则z＝﹣3x+6y的最大值为（　　） A．18 B．14 C．10 D．﹣30 18．（2024•榆阳区校级模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y﹣1的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共1小题） 19．（2024•河东区一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则的最小值为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 【考点1 不等式的性质】 【考点2 大小比较】 【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】 【考点4利用基本不等式求参数】 【考点5 一元二次不等式求解】 【考点6 根据一元二次不等式解求参数】 【考点7 不等式恒成立问题】 【考点8 基本不等式的其他应用】 【考点9 不等式与线性规划综合】 知识点1不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a． （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c． （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c． （4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc． （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． （7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 知识点2两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 知识点3 基本不等式 （1）基本不等式：≤． （2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0． （3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． （4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点4 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同号)． （3）ab≤ (a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 知识点5 三个“二次”的关系 判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 知识点6 分式不等式与绝对值不等式 （1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． （2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． （3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)． 【考点1 不等式的性质】 方法技巧： 判断不等式的常用方法． （1）利用不等式的性质逐个验证． （2）利用特殊值法排除错误选项． （3）作差法． （4）构造函数，利用函数的单调性． 【典例1】（2024•淮北模拟）已知a，b∈R，下列命题正确的是（　　） A．若ab＝1，则a+b≥2 B．若，则a＞b C．若a＞b，则ln（a﹣b）＞0 D．若a＞b＞0，则 【答案】D 【解答】解：当a＜0，b＜0时，A显然错误； 当a＝﹣1，b＝1时，B显然错误； 当a＝2，b＝1时，C显然错误； 若a＞b＞0，则＞， 所以a+＞b+，D正确． 故选：D． 【典例2】（2024•郫都区校级模拟）已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（　　） A．a2＞b2+1 B．2a＞2b+1 C．a2＞4b D．＞b+1 【答案】D 【解答】解：非零实数a，b满足a＞|b|+1⇔a2＞b2+2|b|+1＞b2+1，A一定成立； a＞|b|+1≥b+1⇒2a＞2b+1，B一定成立； 又b2+1≥2|b|，故a2＞4|b|≥4b，C一定成立； 令a＝5，b＝3，即可推得D不一定成立． 故选：D． 【典例3】（2024•固始县校级三模）若a，b∈R，且a＞b，则（　　） A． B．a2b＞ab2 C．a2＞ab＞b2 D． 【答案】D 【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A，B显然错误； 当a＜0，b＜0时，C显然错误； 由a＞b可得2a＞a+b＞2b， 即a＞＞b，D正确． 故选：D． 【典例4】（2024•东城区一模）已知a，b∈R，ab≠0，且a＜b，则（　　） A． B．ab＜b2 C．a3＜b3 D．lg|a|＜lg|b| 【答案】C 【解答】解：A项，当a＝﹣1，b＝1时，不等式不成立，错误； B项，当b＝1，a＝1，则ab﹣b2＝1﹣1＝0，则ab＝b2，错误； C项，a＜b，则a3＜b3，正确； D项，当a＝﹣10，b＝10时，lg|a|＝lg|b|＝lg10＝1，错误． 故选：C． 【典例5】（多选）（2024•合肥模拟）已知实数a，b满足0＜a＜b＜1，则（　　） A． B．a+b＞ab C．ab＜ba D． 【答案】BCD 【解答】解：因为0＜a＜b＜1， 所以a﹣b＜0，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0， 对于，故A错误； 对于B，a+b﹣ab＝a+b（1﹣a）＞0，则a+b＞ab，故B正确； 对于C，令， 当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 因为0＜a＜b＜1，则f（a）＜f（b），得，即blna＜alnb， 所以lnab＜lnba， 因为y＝lnt在t＞0时单调递增，所以ab＜ba，故C正确； 对于D，因为函数g（x）＝2x﹣在R上单调递增， 因为0＜a＜b＜1， 所以g（a）＜g（b），即， 所以，故D正确． 故选：BCD． 【考点2 大小比较】 【典例1】（2024•李沧区校级模拟）设，b＝log2sin2，c＝2sin2，则下列关系正确的是（　　） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 【答案】B 【解答】解：∵0＜sin2＜1， ∴，∴； ∵log2sin2＜log21＝0，∴b＜0； ∵2sin2＞20＝1，∴c＞1， ∴c＞a＞b． 故选：B． 【典例2】（2024•青羊区校级模拟）若lna＝﹣1，eb，3c＝ln3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【答案】A 【解答】解：，， 设，，则x≥e时，f′（x）≤0， ∴f（x）在[e，+∞）上单调递减， ∴f（e）＞f（3）＞f（4），即， ∴a＞c＞b． 故选：A． 【典例3】（2024•博爱县校级三模）函数，记，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】B 【解答】解：因为，可得f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为减函数， 则c＝f（log5）＝f（﹣log52）＝f（log52），a＝f（）＝f（）， 又由0＜log52＜log5； 3﹣0.5， 故有b＜a＜c． 故选：B． 【典例4】（2024•李沧区校级模拟）设a＝log73，，c＝30.7，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】D 【解答】解：0＝log71＜a＝log73＜log77＝1， 0， c＝30.7＞30＝1， ∴b＜a＜c． 故选：D． 【典例5】（多选）（2024•柳州三模）若a＞b，则（　　） A．a3﹣b3＞0 B．ln（a﹣b）＞0 C．ea﹣b＞1 D．|a|﹣|b|＞0 【答案】AC 【解答】解：由于函数y＝x3是R上的增函数，所以当a＞b时，a3＞b3，可得a3﹣b3＞0成立，故A项正确； 当a＝b+1时，ln（a﹣b）＝ln1＝0，所以ln（a﹣b）＞0不成立，故B项不正确； 因为a＞b即a﹣b＞0，且函数y＝ex是R上的增函数，所以ea﹣b＞e0＝1，故C项正确； 当a＞b时，取a＝﹣1，b＝﹣2，此时|a|﹣|b|＝﹣1＜0，故D项不正确． 故选：AC． 【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】 技巧一:凑项 【典例1】（2024•林芝市一模）已知x＞1，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：因为x＞1，所以＝2（x﹣1）++2≥+2＝6， 当且仅当2（x﹣1）＝，即x＝2时等号成立， 所以的最小值是6． 故选：C． 技巧二:凑系数 【典例1】（2024•成都三模）若正实数a，b满足a2+b2＝m，则a+b的最大值为（　　） A． B． C． D．2m 【答案】A 【解答】解：若正实数a，b满足a2+b2＝m， 则a+b≤2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号． 故选：A． 技巧三: 分离 【典例1】（2024•安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y＝1， ∴＝，当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为：． 故选：D． 【典例2】（2024•新余二模）已知x，y为正实数，且x+y＝2，则的最小值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为x，y为正实数，且x+y＝2， 则＝＝＝（）（x+y） ＝（13++）（13+2）＝， 当且仅当2x＝3y，即y＝，x＝时取等号． 故选：C． 【典例3】（2024•山东模拟）设正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为（　　） A． B．17 C． D．16 【答案】C 【解答】解：正实数a，b满足a+2b＝1， 则＝＝ ＝++8+8＝8+4，当且仅当＝且a+2b＝1，即a＝，b＝时取等号． 故选：C． 技巧四:换元 【典例1】（2024•苏州模拟）已知a，b∈R，a+b＝4，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为a+b＝4， 令a＝2+t，b＝2﹣t， 则＝+＝+＝， 令u＝5+t2，则u≥5， 上式可化为g（u）＝＝＝，当且仅当u＝，即u＝4时取等号． 故选：D． 技巧五:函数的单调性 【典例1】（2024•一模拟）已知函数f（x）＝log2（﹣x），若对任意的正数a，b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【解答】解：f（x）＝log2（﹣x）， 因为﹣x＞﹣x≥x﹣x＝0，所以定义域为：R， 因为：f（x）＝log2（﹣x），f（x）＝log2（），所以：f（x）为减函数 因为f（x）＝log2（），：f（﹣x）＝log2（+x），所以：f（x）＝﹣f（﹣x），f（x）为奇函数， 因为：f（a）＝f（3b﹣1）＝0，所以：f（a）＝f（1﹣3b），a＝1﹣3b，即a+3b＝1， 所以+＝（+）（a+3b）＝++6， 因为：+≥2＝6， 所以+＝（+）（a+3b）＝++6≥12，（当且仅当a＝，b＝时，等号成立）， 故选：C． 【典例2】（2024•新县校级模拟）已知m，n∈R，且m+2n＝2，则m•2m+n•22n+1的最小值为　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2n＝2﹣m ∴f（m）＝m•2m+n•22n+1＝m•2m+（2﹣m）•22﹣m 令g（m）＝m•2m，h（m）＝（2﹣m）•22﹣m 当m≤0时，h（m）为增函数，且h（m）≥h（0）＝8 g（m）＝﹣|m|•2﹣|m|由于从y＝x与y＝2x的图象易知，|m|≤2|m|，所以|m|•2﹣|m|≤1， g（m）＝﹣|m|•2﹣|m|≥﹣1 f（m）＝g（m）+h（m）≥﹣1+8＝7 当m≥2时，由g（m）与h（m）关于x＝1对称，同上可得f（m）≥7 当 0＜m＜2时，g（0）＝h（2）＝0，g（2）＝h（0）＝8 g'（m）＝（mln2+1）2m＞0，h'（m）＝﹣[（2﹣m）ln2+1]22﹣m＜0 且g'（m），h'（m）均为单调递增 当0＜m＜1时，g'（m）＜g'（1）＝2（ln2+1），h'（m）＜h′（1）＝﹣2（2ln2+1）， f′（m）＝g'（m）+h'（m）＜0单调递减 当1≤m＜2时，同理，可得f′（m）＝g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）＝0单调递增（当m＝1时等号成立） 所以当m＝1时，f（m）取最小值， 即当m＝1，n＝时，m•2m+n•22n+1的最小值为4 故答案为：4 技巧六:整体代换 【典例1】（2024•安徽模拟）已知m，n∈（0，+∞），，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∀m，n∈（0，+∞），， 则， 当且仅当且，即m＝1，n＝3时等号成立． 故选：B． 【典例2】（2024•江苏模拟）设x＞0，y＞0，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：因为x＞0，y＞0，， 则＝（x+）（）＝（3+）（3+2）， 当且仅当2xy＝，即xy＝，此时x＝，y＝2﹣时取等号． 故选：C． 【典例3】（2024•龙华区校级二模）已知x＞0，y＞0，且，则的最小值为 　16　． 【答案】16． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最小值为16． 故答案为：16． 技巧七：利用sin²a+cos²a=l转换式子 【典例1】（2024•昭通模拟）的最小值为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：令t＝sin2x，则＝， ＝（）[t+（1﹣t）]＝5+≥9， 当且仅当时取等号， 故答案为：9． 技巧八:解决二元函数的最值问题 【典例1】（2024•凉山州模拟）已知正数x，y满足x+2y＝1，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由x+2y＝1，可得＝＝＝， 因为x，y是正数，所以，当且仅当x＝时，等号成立． 因此＝，当x＝，y＝时，则的最大值为． 故选：C． 【典例2】（2024•松江区校级模拟）设实数x、y满足|x+y|＝1，则xy的最大值是 　　． 【答案】 【解答】解：因为|x+y|＝1，所以x+y＝±1， 所以（x+y）2＝x2+y2+2xy≥2xy+2xy＝4xy， 即1≥4xy，当且仅当x＝y＝时，等号成立， 所以xy≤， 所以xy的最大值是． 故答案为：． 【考点4利用基本不等式求参数】 【典例1】（2024•江西模拟）已知集合M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|ex﹣a＞0}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，e] D．（﹣∞，e） 【答案】A 【解答】解：由lnx＜0得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}， 因为M⊆N，所以a＜ex对∀x∈（0，1）恒成立， 所以a≤1． 故选：A． 【典例2】（2024•思明区校级模拟）已知，若2∈A，则m的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解答】解：因为， 若2∈A，则， 解得﹣． 故选：A． 【典例3】（2024•天河区二模）若实数m满足log2（﹣m）＜m+1，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，0） 【答案】D 【解答】解：当m＝﹣1时，log2（﹣m）＝m+1，故A错误； 当m＞0时，对数函数无意义，故B错误； 当m＝﹣2时，log2（﹣m）＞m+1，故C错误． 故选：D． 【典例4】（2024•昌乐县校级模拟）若正数a，b满足ab＝a+b+3，则a+b的取值范围是（　　） A．[6，+∞） B．[9，+∞） C．（0，6] D．（0，9） 【答案】A 【解答】解：由题意知a，b为正数，且ab＝a+b+3， 所以，化简得（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥6， 当且仅当a＝b＝3时取等号，所以a+b∈[6，+∞），故A正确． 故选：A． 【考点5 一元二次不等式求解】 【典例1】（2024•河北模拟）已知集合A＝{x∈N|x≤5}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（　　） A．{2} B．{0，1，3，4，5} C．{0，4，5} D．{4，5} 【答案】C 【解答】解：集合A＝{x∈N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}， 集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}， 故A∩B＝{0，4，5}． 故选：C． 【典例2】（2024•原州区校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x∈N|x＜3}，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【答案】B 【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣3≤x≤1}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}， B＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}， 则A∩B＝{0，1}． 故选：B． 【典例3】（2024•东城区校级三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2+3x+2＞0}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁UA D．∁UA⊆B 【答案】D 【解答】解：B＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＞﹣1或x＜﹣2}， 全集U＝R，A＝{x|x＜1}， 则∁UA＝{x|x≥1}， 故∁UA⊆B． 故选：D． 【考点6 根据一元二次不等式解求参数】 【典例1】（2024•河池二模）已知A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A， 则，解得≤a＜， 所以a的取值范围是[，）． 故选：A． 【典例2】（2024•永寿县校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{x∈N|0≤log2（x+1）＜2}，则A∪B的真子集的个数为（　　） A．16 B．15 C．14 D．8 【答案】B 【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}＝{x∈Z|﹣2＜x＜1}＝{﹣1，0}， 集合B＝{x∈N|0≤log2（x+1）＜2}＝{x∈N|1≤x+1＜4}＝{x∈N|0≤x＜3}＝{0，1，2}， 所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}，它的真子集有24﹣1＝15（个）． 故选：B． 【典例3】（2024•济宁一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　[3，+∞）　． 【答案】[3，+∞）． 【解答】解：由题意得A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，A⊆B，所以，则a≥3，即a∈[3，+∞）． 故答案为：[3，+∞）． 【考点7 不等式恒成立问题】 【典例1】（2023秋•滨州期末）已知不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，5] D．[5，+∞） 【答案】A 【解答】解：若不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立， 则x2+4≥ax对于任意的x∈[1，3]恒成立， 即x+≥a对于任意的x∈[1，3]恒成立， ∵当x∈[1，3]时，x+∈[4，5] 故a≤4 即实数a的取值范围是（﹣∞，4] 故选：A． 【典例2】（多选）（2024•广东模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝8，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2≥32 D． 【答案】ACD 【解答】解：a+b＝8， 对于A，＝4，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，故A正确； 对于B，a+b+a+b＝16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立， 故，故B错误； 对于C，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣2ab≥64﹣＝32，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，故C正确； 对于D，a＞0，b＞0，a+b＝8， 则＝≥，当且仅当，即a＝，b＝时，等号成立，故D正确． 故选：ACD． 【典例3】（多选）（2023秋•湖北期末）设x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＜0恒成立的充分不必要条件可以是（　　） A．﹣4＜a≤0 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3＜a＜0 D．﹣4＜a＜1 【答案】BC 【解答】解：当a＝0时，不等式为﹣3＜0，满足题意； a≠0时，则必有a＜0且Δ＝（﹣2a）2+4a×3＜0， 解得﹣3＜a＜0， 故a的取值范围为﹣3＜a≤0， 由题意知所选不等式ax2﹣2ax﹣3＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣3，0]的真子集， 故选项B，C满足条件． 故选：BC． 【考点8 基本不等式的其他应用】 【典例1】（2024•梅县区校级一模）在△ABC中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解答】解：∵， ∴＝＝+， ∵P为BE上任一点，∴m+3n＝1． ∴＝（m+3n）＝3+3++≥＝12，当且仅当m＝3n＝时取等号． 故选：D． 【典例2】（2024•古蔺县校级模拟）在△ABC中，若C＝，则sinAsinB的最大值是 　　． 【答案】． 【解答】解：在△ABC中，C＝，则sinA＞0，sinB＞0， 由基本不等式得sinAsinB≤， ∵A+B＝，sinB＝cosA， ∴sinAsinB≤＝＝，等号当sinA＝sinB＝成立， 则sinAsinB的最大值是． 故答案为：． 【考点9 不等式与线性规划综合】 【典例1】（2024•汉中模拟）若实数x，y满足约束条件则z＝2x+3y的最小值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得，则A（1，﹣1）． 化目标函数z＝2x+3y为y＝﹣xz． 由图可知，当直线y＝﹣xz过A时，直线在y轴上的截距最大小，z有最小值为2×1+3×（﹣1）＝﹣1． 故选：C． 【典例2】（2024•大通县二模）若实数x，y满足约束条件则z＝x+4y的最大值为（　　） A． B．6 C．13 D．15 【答案】C 【解答】解：实数x，y满足约束条件， 则表示的可行域如图阴影部分所示． 当直线z＝x+4y经过点A时，z取得最大值， 由，解得x＝5，y＝2， 所以zmax＝5+4×2＝13． 故选：C． 一．选择题 1．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{x|1＜x2＜9}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2）∪（2，3） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2） 【答案】D 【解答】解：A＝{x|1＜x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3}， ， 所以A∩B＝（﹣2，﹣1）∪（1，2）． 故选：D． 2．（2024•大兴区校级模拟）若集合A＝{x∈N|2x＜4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{1} 【答案】C 【解答】解：集合A＝{x∈N|2x＜4}＝{0，1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 则A∩B＝{0，1}． 故选：C． 3．（2024•香坊区校级模拟）已知集合，B＝{x|log2x≥1}，则（∁UA）∩B＝（　　） A．[2，3] B．（2，3） C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞） 【答案】A 【解答】解：集合＝{x|x＞3或x＜﹣1}， 则∁UA＝{x|﹣1≤x≤3}， B＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}， 故（∁UA）∩B＝[2，3]． 故选：A． 4．（2024•袁州区校级三模）已知集合M＝{x|lgx＞0}，，则M∩N＝（　　） A．（1，2] B．（4，+∞） C．（1，2）∪[4，+∞） D．（1，2]∪[4，+∞） 【答案】D 【解答】解：M＝{x|lgx＞0}＝{x|x＞1}，或x≤2}， 所以M∩N＝{x|x＞1}∩{x|x≥4或x≤2}＝（1，2]∪[4，+∞）． 故选：D． 5．（2024•郊区校级三模）已知，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．a2+b2≤6 D．ab≥3 【答案】C 【解答】解：对于选项A， ＝，当且仅当且即时，等号成立， 所以，，故A正确； 对于选项B，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，解得，故B正确； 对于选项C，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故C错误； 对于选项D，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故D正确． 故选：C． 6．（2024•思明区校级模拟）已知集合，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 【答案】A 【解答】解：由，得，则， 所以A⊆B，A正确，B错误； A∩B＝{x|0＜x＜3}，A∪B＝{x|0＜x＜}，C，D错误． 故选：A． 7．（2024•江苏模拟）若集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，则A∩B＝（　　） A．（1，3] B．（2，3] C．（1，6] D．（2，6] 【答案】D 【解答】解：集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}， B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}， 故A∩B＝{x|2≤x≤6}． 故选：D． 8．（2024•临汾模拟）若0＜x＜1，则的最小值是（　　） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：因为0＜x＜1，所以1﹣x＞0， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值． 故选：D． 9．（2024•雨城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：因为x＞0，y＞0，且，两边同时乘以x，可得＝x﹣3， 所以＝2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（+）﹣3＝9+1++﹣3≥7+2＝13， 当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号， 所以的最小值为13． 故选：D． 10．（2024•安徽模拟）已知全集U＝R，集合，，则M∩N等于（　　） A．[﹣1，1） B．[0，1） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣1） 【答案】B 【解答】解：由，即（x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜1， 所以M＝{x|﹣3＜x＜1}， 又， 所以M∩N＝{x|0≤x＜1}． 故选：B． 11．（2024•济南校级模拟）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【解答】解：因为x，y为正实数，且x+y＝1， 所以 ＝， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25． 故选：B． 12．（2024•玄武区校级二模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈N|2﹣x＞0}，则A∩B＝（　　） A．{3，4} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4} 【答案】B 【解答】解：由题意可得A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x＜2}＝{0，1}， 则A∩B＝{0，1}． 故选：B． 13．（2024•揭阳二模）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1在（2，6）上不单调，则a的取值范围为（　　） A．（2，6） B．（﹣∞，2]∪[6，+∞） C．（4，12） D．（﹣∞，4]∪[12，+∞） 【答案】C 【解答】解：，则， 得4＜a＜12，即a的范围（4，12）． 故选：C． 14．（2024•商洛模拟）在不等式组表示的平面区域内任取一点P（x，y），则满足y≥x﹣2的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图为△OAB及其内部， 其中O（0，0），A（6，0），B（3，3）， 所以S△AOB＝×6×3＝9． 设直线y＝x﹣2与直线y＝0，x+y﹣6＝0分别交于点C（2，0），D（4，2）， 所以满足y≥x﹣2的平面区域为四边形OCDB及其内部， 所以S四边形OCDB＝S△AOB﹣S△CAD＝9﹣×4×2＝5， 所以满足y≥x﹣2的概率为P＝． 故选：C． 15．（2024•4月份模拟）若函数f（x）＝|x2﹣（m﹣2）x+1|在上单调，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设g（x）＝x2﹣（m﹣2）x+1，则方程g（x）＝0的根的判别式Δ＝（m﹣2）2﹣4＝m2﹣4m． ①当Δ≤0时，即0≤m≤4时，g（x）≥0恒成立，故f（x）＝g（x）＝x2﹣（m﹣2）x+1， 若f（x）在上单调，则g（x）函数图象的对称轴， 即或，解得0≤m≤1或3≤m≤4； ②当Δ＞0时，m＜0或m＞4， （i）当m＜0时，g（x）＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且它们都是负数，设x1＜x2， 若f（x）在上单调，则，即g（）＝，解得； （ii）当m＞4时，g（x）＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且它们都是正数，设x1＜x2， 若f（x）在上单调，则，即g（）＝，解得． 综上所述，或，即实数m的取值范围是． 故选：C． 16．（2024•高碑店市校级模拟）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（　　） A．5＜m≤6 B．5≤m≤6 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7 【答案】C 【解答】解：关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0， 可化为（x﹣m）（x﹣3）＜0， 该不等式的解集中恰有3个正整数， 故不等式的解集为{x|3＜x＜m}，且6＜m≤7； 故选：C． 17．（2024•西安模拟）已知x，y满足约束条件，则z＝﹣3x+6y的最大值为（　　） A．18 B．14 C．10 D．﹣30 【答案】B 【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示： 平移目标函数z＝﹣3x+6y，知直线y＝x+z过点A时，z取得最大值， 由，解得（，）， 所以z的最大值为zmax＝﹣3×+6×＝14． 故选：B． 18．（2024•榆阳区校级模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y﹣1的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，3） 由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z﹣1过A时，z有最大值为2×1+3﹣1＝4． 故选：D． 二．填空题（共1小题） 19．（2024•河东区一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则的最小值为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：若a＞0，b＞0，ab＝2， 则＝＝＝2（b+）＝4， 当且仅当b＝，即b＝1时取等号． 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$