精品解析：2024年河南省信阳市固始县固始县第一初级中学中考二模数学试题

2024年固始县第一初级中学第二次中考模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义来求解的绝对值． 【详解】解：根据绝对值的定义：一个负数的绝对值是它的相反数 因为是负数，所以它的绝对值是它的相反数，即 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 2. 新华社1月日公布：国内生产总值万亿元，按不变价格计算，比上年增长，增速比年加快个百分点．其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：万亿． 故选：． 3. 如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等可得，再根据垂直的定义可得，从而可得的度数． 本题考查了垂线，对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ， 故选：C． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 一批护眼灯的使用寿命 B. 对“天舟七号”货运飞船零部件安全性的检查 C. 对市场上一次性筷子的卫生情况的调查 D. 了解河南省中学生目前的睡眠情况的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：、一批护眼灯的使用寿命，适合采用抽样调查方式，不符合题意； 、对“天舟七号”货运飞船零部件安全性的检查，适合采用普查方式，符合题意； 、对市场上一次性筷子的卫生情况的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意； 、了解河南省中学生目前的睡眠情况的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意； 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，准确分析判断是解题的关键． 根据合并同类项法则可判断选项，根据积的乘方和幂的乘方可判断选项，根据完全平方公式可判断选项，根据同底数幂的乘法可判断选项． 【详解】解：，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； 故选． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，算出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有两个不相等的实数根， 故选：． 7. 如图是由8个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫做主视图）以及俯视图中各层小立方体的个数即可求解． 【详解】由俯视图中各层小立方体的个数得：主视图由3列组成，左边一列由1个小正方形组成，中间一列由3个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成． 如图： 故选：A． 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 9. 如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，，，，．将绕点顺时针旋转，每次旋转，若经过次旋转，则此时点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得点的坐标，根据每4次一循环，可得次后回到开始位置，即点的坐标，即可求解． 【详解】解：依题意，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴, ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴,即， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， 经过次旋转，则此时点的对应点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转及点的坐标、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 10. 如图，菱形中，点E为的中点，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先确定出点Q的轨迹是在以在以E为圆心，1为半径的圆弧上，因此C、Q、E三点共线时， 最小，过点E作延长线的垂线，垂足为点F，解，运用锐角三角形函数和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵折叠，∴， ∴点Q在以E为圆心，1为半径的圆弧上， ∴C、Q、E三点共线时， 最小， 过点E作延长线的垂线，垂足为点F，如图： ∵菱形，， ∴，∴， 在中，，， 在中，, ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠变换，勾股定理，锐角三角函数，以及线段最值的问题，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校利用劳动课组织学生开展校园植树活动，七年级学生共植树a棵，八年级学生共植树b棵，九年级学生植树数比七、八年级植树总数的3倍少棵，则九年级学生植树数为___________棵． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解题意，列出代数式．根据题意表示出七年级与八年级学生植树总棵数，再利用九年级学生植树数比七、八年级植树总数的3倍少棵，得出答案． 【详解】解∶由题意可得，九年级学生植树数为∶棵． 故答案为∶． 12. 不等式组的解集是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，正确求解是解答的关键．先分别求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】解： 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色，则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握列表求概率的方法是解题的关键．根据题意列表得到所有等可能的情况数，然后找出配成紫色的情况数，最后用概率公式求解即可． 【详解】依据题意列表如下： 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 由表可知一共有种等可能的情况，两个转盘均停在红色区域的有2种， ∴两个转盘均停在红色区域的概率为． 故答案为：． 14. 如图，扇形中，，点C为的中点，过点C作，，垂足分别为D，E，分别以，为轴折叠扇形，点A，B的对应点为M，N两点，若，则阴影部分的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的周长，关键是由轴对称得阴影部分的周长等于弧的长加的长． 【详解】解：连接， ∵点C为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴阴影部分的周长为：． 故答案为：． 15. 如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象图象的最低点为，若为钝角三角形时，x的取值范围为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出的长度最低点为的高．分两种情况进行讨论，①为钝角，②为钝角，分别确定x的范围即可． 【详解】解：①当为钝角时， 函数图象的最低点为，最低点的纵坐标为的高， ， 此时可得； ②当为钝角时，过点作， ， ， ， , , 则， 即当时，为钝角. 综上可得或时为钝角三角形。 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算及分式化简，涉及算术平方根、特殊角的三角函数、零整数指数幂、二次根式加减运算、因式分解、通分、约分及分式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先由算术平方根、特殊角的三角函数及零整数指数幂分别计算，再由二次根式的加减运算求解即可得到答案； （2）先因式分解，再将括号里的分式通分，利用分式加减运算求解后约分即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某校举行了“安全伴我行”知识竞赛，校团委在八、九年级各随机抽取50名学生的成绩进行抽样分析（满分10分），竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 8 7 b 九年级竞赛成绩 8 a 8 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空________，_________； （2）请你根据材料分析，哪个年级的成绩更好？ （3）若成绩8分及以上为优秀，则哪个年级的优秀率更高？ 【答案】（1）8，8 （2）九年级的成绩更好 （3）九年级的优秀率高 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算， （1）根据折线图的信息即可求解； （2）九年级的众数比八年级的多，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解； （3）根据各班（8分）及以上的学生人数比例即可求解． 掌握中位数，众数，方差的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：八年级：（6分）的有7人，（7分）的有15人，（8分）的有10人，（9分）的有7人，（10分）的有11人， 九年级：（6分）的有8人，（7分）的有9人，（8分）的有14人，（9分）的有13人，（10分）的有6人， 根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第25，26个人的分数的平均数，即， ， 根据众数的定义可得，九年级的众数是8， ， 故答案为：8，8． 【小问2详解】 九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀； 九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳， 则九年级的成绩更好． 【小问3详解】 八年级（8分）及以上的学生有（人，九年级（8分）及以上的学生有（人， 八年级的优秀率为，九年级的优秀率为， ， 九年级的优秀率高． 18. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，双曲线经过点B． （1）求双曲线的解析式； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，连接，．（尺规作图：不要求写作法，保留作图痕迹） （3）求证：． 【答案】（1） （2） 为所作； （3） 证明：四边形为平行四边形， ， ， ，， ， ， 点，，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，由平行四边形的性质可求，再代入即可； （2）按照作线段的垂直平分线步骤作图即可； （3）由点，得到，后面结合，垂直平分，得到等腰三角形，利用等边对等角进行角度计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴，垂足为点， 四边形为平行四边形，，， 点的纵坐标为， ，则， 点， 双曲线的解析式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，待定系数求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质，尺规作图，熟练掌握基本知识点是解决本题的关键． 19. 2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 【答案】小山的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性质推出，解直角三角形求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵山坡的坡度为， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 四边形为正方形， ， ∴， 在中，， ， ， 答：小山的高度约为． 20. 欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书． 小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角． 小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系． 请帮助小明写出已知，求证，并证明． 已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，． 求证：_________________． 【答案】 已知：直线切于点，过的直线交于点， 求证：． 证明：如图，连接，延长交于点，连接， 由题意得，， ∴，， ∴， 又∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，延长交于点，连接，根据切线的性质和圆周角定理可得，进而可证明，再根据圆内接四边形的性质可得，结合，即可证明结论． 【详解】略 21. 某快车公司面向社会推出两种乘车方案，收费与行驶距离之间的函数关系如图所示，其中方案一收费方式对应，方案二的收费方式对应． （1）求方案一和方案二的函数关系式； （2）①请说出图中点A的实际意义， ②若小明每天上班需要乘坐这家公司的快车，家离公司6km，那么小明选择哪个方案最省钱？请说明理由； （3）请求出两种方案收费相差3元时的行驶距离． 【答案】（1）； （2）①当行驶距离为时，两种方案收费相同，均为12元；②小明选择方案二更省钱 （3）行驶距离在和时，两种方案相差3元 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，读懂图象，数形结合是解题的关键． （1）由图象可知所经过的点，用待定系数法求解即可； （2）点的实际意义为当行驶距离为时，两种方案收费相同；由图象可知，当行驶距离超过时，，即方案二更省钱. （3）两种收费相差3元，分前和后两种情况分别计算即可得到答案． 【小问1详解】 方案一：设， 把点代入中， 得，，即， 方案二：由图象可知，当时，， 当时，设， 把点和点代入中， 得：，解得：， ， ； 【小问2详解】 ①点的实际意义为当行驶距离为时，两种方案收费相同，均为12元； ②由图象可知，当行驶距离超过时， ，即方案二更省钱. 小明选择方案二更省钱； 【小问3详解】 当时两种收费相同， 两种收费相差3元，分前和后两种情况， ①当时，离越近收费相差的越少， 当时，，， ， 要使两种收费相差3元，应小于2， ， 解得：； ②当时，， 解得：. 行驶距离在和时，两种方案相差3元. 22. 如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标； （3）连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）分两种情况：点在对称轴的左侧和点在对称轴的右侧，根据抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，先求出点的纵坐标，再代入函数解析式求出点的横坐标即可求解； （）由题意得：内部（不含边）有个整点，这个整点为，，，，，，，得到直线必经过点或经过与之间的点，不包括，据此求出的取值范围即可求解； 本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点，解题的关键是准确理解二次函数的点的坐标特征，利用数形结合解决问题． 【小问1详解】 解：（）∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 . ， 抛物线的顶点坐标为 当点在对称轴的左侧时， 此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为， 此时点是最低点，点是最高点， 点的纵坐标为， 令，则 解得（正数不合题意舍去）， ； 当点在对称轴的右侧时， 此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为， 此时顶点是最低点，点是最高点， 点的纵坐标为， 令，则 解得（负数不合题意舍去）， ； 综上，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为时，或； 【小问3详解】 解：的取值范围为． 由题意得：内部（不含边）有个整点， 如图，则这个整点为，，，，，，， 直线必经过点或经过与之间的点，不包括， 直线必经过点时， ， 解得 直线经过点时， ， 解得 ； 综上，的取值范围为． 23. （1）如图1，等边三角形中，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接，则线段与线段的数量关系为___________； （2）如图2，等腰直角三角形中，，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接． ①求线段与线段的数量关系，并说明理由； ②若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）①；②的长为或 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理求得，，，再证明，即可证明结论成立； （2）①同理证明，即可证明结论成立； ②分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，利用①的结论，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）结论：， 连接， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴是等边三角形，，， ∵将绕点N逆时针旋转的度数得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图中，连接， 由题意得，，， 是等腰直角三角形，点，分别是边，的中点， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； ②的长为或， 如图，当点在线段上时， 在中，，， ， ， 由①可知，， ， 如图中，当点在的延长线上时， 同法可得，，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解答最后一问的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年固始县第一初级中学第二次中考模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 新华社1月日公布：国内生产总值万亿元，按不变价格计算，比上年增长，增速比年加快个百分点．其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 一批护眼灯的使用寿命 B. 对“天舟七号”货运飞船零部件安全性的检查 C. 对市场上一次性筷子的卫生情况的调查 D. 了解河南省中学生目前的睡眠情况的调查 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 如图是由8个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，，，，．将绕点顺时针旋转，每次旋转，若经过次旋转，则此时点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，点E为的中点，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校利用劳动课组织学生开展校园植树活动，七年级学生共植树a棵，八年级学生共植树b棵，九年级学生植树数比七、八年级植树总数的3倍少棵，则九年级学生植树数为___________棵． 12. 不等式组的解集是__________． 13. 如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色，则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是___________． 14. 如图，扇形中，，点C为的中点，过点C作，，垂足分别为D，E，分别以，为轴折叠扇形，点A，B的对应点为M，N两点，若，则阴影部分的周长为___________． 15. 如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象图象的最低点为，若为钝角三角形时，x的取值范围为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校举行了“安全伴我行”知识竞赛，校团委在八、九年级各随机抽取50名学生的成绩进行抽样分析（满分10分），竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 8 7 b 九年级竞赛成绩 8 a 8 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空________，_________； （2）请你根据材料分析，哪个年级的成绩更好？ （3）若成绩8分及以上为优秀，则哪个年级的优秀率更高？ 18. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，双曲线经过点B． （1）求双曲线的解析式； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，连接，．（尺规作图：不要求写作法，保留作图痕迹） （3）求证：． 19. 2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 20. 欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书． 小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角． 小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系． 请帮助小明写出已知，求证，并证明． 已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，． 求证：_________________． 21. 某快车公司面向社会推出两种乘车方案，收费与行驶距离之间的函数关系如图所示，其中方案一收费方式对应，方案二的收费方式对应． （1）求方案一和方案二的函数关系式； （2）①请说出图中点A的实际意义， ②若小明每天上班需要乘坐这家公司的快车，家离公司6km，那么小明选择哪个方案最省钱？请说明理由； （3）请求出两种方案收费相差3元时的行驶距离． 22. 如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标； （3）连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围． 23. （1）如图1，等边三角形中，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接，则线段与线段的数量关系为___________； （2）如图2，等腰直角三角形中，，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接． ①求线段与线段的数量关系，并说明理由； ②若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $