精品解析：天津市南开中学2024届高三下学期模拟检测数学试题

南开中学2024届高三模拟检测 数学学科试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复平面内， 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算得到复数，然后得到对应的点的象限即可. 【详解】， 所以该复数在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 2. 已知，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 4. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得、对数函数的单调性可得，，从而可得结果. 【详解】由在R上单调递增，可得，又， 则． 由在上单调递增，可得． 由在上单调递增，可得． 所以， 故选：A． 5. 已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知正方体外接球直径为正方体的体对角线， 所以， 所以. 故选：B 6. 双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，进而求出值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦公式计算可得. 【详解】由题意可得双曲线的交点为， 所以，即， 设的横坐标分别为， 中点的横坐标为6，即 由抛物线的焦点弦公式可得， 故选：A. 7. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的平均数<众数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数的概念，结合图形分析即可求解. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：C 8. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图象求出函数，再由平移变换得函数，结合整体法求值域，从而求的取值范围. 【详解】设的最小正周期为，由图象可知， 所以，则，故， 又的图象过点，所以， 所以，又，所以， 则， 则. 当时，， 当或.即或时，， 当，即时，， 所以的取值范围为. 故选：C. 9. 数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义列方程组，判断是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可. 【详解】由题知，， 又，所以，是周期为3的周期数列. 对于A，若，，则，则或 若，则，得， 又， 由周期性可知，当时，满足，A不满足题意； 对于B，若，，则，即， 又，消元整理得， 即，无实数解，故B满足题意； 对于C，若，，则， 解得，显然恒成立，C不满足题意； 对于D，若，，则， 解得，显然此时恒成立，D不满足题意. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断是否有实数解，当有解时，结合周期性即可判断. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） 10. 若直线与圆交于两点，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线距离， 所以， 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数为，则实数为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出的系数即可得解. 【详解】二项式展开式的通项， 显然是偶数，由，解得，则有的项为， 因此，所以. 故答案为： 12. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可. 【详解】由题意可得， 设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50 未服用 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．（其中且）（参考数据：，） 附：， α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】46 【解析】 【分析】根据公式列不等式求解． 【详解】由题意可得， 整理得， 所以或， 解得或， 又因为且， 所以， 所以a的最小值为46. 故答案为：46. 14. 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则______； （2）与的面积之比的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 因为M，O，N三点共线，故，即， 又因为，而，， 则，即，当且仅当时取等号， 所以与的面积之比的最小值为. 故答案为：；. 15. 已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】换元后转化为，该方程存在唯一解，且，数形结合求解. 【详解】当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线双曲线的一支； 当时，有，可得在单调递减，在单调递增 且，，画出图象如下: 由题意，有唯一解，设， 则，（否则至少对应2个，不满足题意）， 原方程化为，即， 该方程存在唯一解，且. 转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下： 情形一：与相切，联立得， 由解得，此时满足题意： 情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)， 此时交点坐标为，满足题意； 另一个边界为与相切，即过点的切线方程， 设切点为，则，解得， 所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到； 所以的范围为. 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，. （1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，证得平面，进而得到，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由（1），求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，求得平面的一个法向量，结合平面，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：取中点，连接，，因为，所以 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面，平面，所以，， 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，，，，可得，， 设异面直线，所成角为，则. 所以异面直线，所成角的余弦值为. 【小问2详解】 解：由（1）得，. 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：设是棱上一点，则存在使得， 设，则，， 所以.所以，，， 所以.所以， 因为，，且，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量. 若平面，则，所以，此时方程组无解， 所以在棱上不存在点，使得平面. 18. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，. ①求证：直线过轴上的定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意和椭圆的的关系列方程解出即可； （2）设直线，的方程分别为：，，分别联立椭圆方程，①：由韦达定理表示出的坐标，求出直线方程，即可证明；②：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，三角形面积公式即换元法求导分析单调性求得结果即可； 【小问1详解】 ∵离心率为，，∴， ∴，，则，∴椭圆的方程的方程为：； 【小问2详解】 ①由（1）得，， 直线，的方程分别为：， 由，得 ∴， 可得，， 由，可得 ∴，可得，， 若MN的斜率存在，则， 直线的方程为：， 可得直线过定点， 若MN的斜率不存在，可得,则,此时直线也过定点，综上，线过定点， ②设的方程为：，由得， 设，，则， ∴， ∴的面积 令，（），则， ∵，且函数的导数为， 因为，所以恒成立，所以在递增， ∴当，即时，取得最大值. 19. 已知函数． （1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）18 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得和是方程的两根，利用韦达定理求出、的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出的值，最后求出极小值； （2）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）依题意，即可求出、的范围，再求出导函数，结合特殊值可得有两个实数根，且，即可得到是的极大值点，是的极小值点，则，，结合韦达定理得到，再由，即可求出、的值，从而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为和是的两个极值点，所以和是方程的两根， 故，解得，即， 所以， 因为时，，当时，， 所以在区间上单调增，在区间上单调减， 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 当时定义域为， 又，令，解得或， 若，则当时，；当时，． 故在区间单调递增，在上单调递减； 若，则恒成立，所以在区间单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在区间单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在区间单调递增，在上单调递减； 当时区间单调递增； 当时在区间单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 当时，， 由题意得：，即，① ，即，② 由①、②可知，，．③ 因为，， ，， 所以有两个实数根，且， 当时，，当时，， 故是的极大值点，是的极小值点． 由题意得，， 即， 两式同向相加得：，④ 注意到，，， 代入④得， 由③可知，，则，， 所以，， 所以， 所以，当且仅当， 即，又，所以时成立， 所以，从而． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先得到、的取值范围，再结合零点存在性定理得到有两个实数根，且，从而推导出. 20. 已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. （1）写出，并求； （2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； （3）若2024是数列中的某一项，求及的值. 【答案】（1），； （2）88是数列的第30项； （3），， 【解析】 【分析】当时，此时，由集合新定义中的规则代入计算即可； 根据集合新定义，由，再列举出比它小的项即可； 方法一：由可得，再列举出比它小的项分别有以下7种情况，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素个数和最大的一个，可得，再求和可得. 【小问1详解】 因为，此时， ， . 【小问2详解】 当时，， 是数列中的项， 比它小的项分别有个， 有个， 有个， 所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项. 【小问3详解】 是数列中的项，故， 则当时，， 方法一：比它小的项分别有以下7种情况： ①个数字任取7个得个， ②，得个， ③，得个， ④，得个， ⑤，得个， ⑥，得个， ⑦，得个， 所以比2024小的项共有个， 其中 故2024是数列的第329项，即. 方法二：共有元素个， 最大的是，其次为， 所以2024是数列的第项，即. 在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于解读集合的定义计算，并联想到和辅助思考. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2024届高三模拟检测 数学学科试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复平面内， 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ） A. B. C D. 4. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A B. C. D. 5. 已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 6. 双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 7. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的平均数<众数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 8. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） 10. 若直线与圆交于两点，则_________. 11. 在的展开式中，的系数为，则实数为__________. 12. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求__________. 13. 为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50 未服用 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．（其中且）（参考数据：，） 附：， α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14. 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则______； （2）与的面积之比的最小值为______. 15. 已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，. （1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点直线，与椭圆分别交于点，. ①求证：直线过轴上的定点； ②求的面积的最大值. 19. 已知函数． （1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值． 20. 已知集合，定义：当时，把集合中所有数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. （1）写出，并求； （2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； （3）若2024是数列中的某一项，求及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $