精品解析：安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一下学期第二次调研（期中）数学试题

阜阳三中2023级高一年级下学期第二次调研考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分． 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数虚部的概念求解. 【详解】因为复数，所以的虚部是1. 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 3. 已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得b⊥α，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果. 【详解】由a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面， 在A中， ，因为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误； 在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误； 在C中，由可知，由线面垂直的性质可知，故C正确； 在D中，，因为b的方向不确定，可得a与b可以成任意角，故D错误． 故选：C. 4. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】由求出的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD. 【详解】对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误； 对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误； 对于D，，则的图象关于点对称， D正确． 故选：D 5. 如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别为的中点，或其补角为AM与BN所成的角，设正方体的边长为，余弦定理求解即可. 【详解】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点，正方体中，，， 四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成的角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以， 即异面直线AM与BN所成角的余弦值为. 故选：A． 6. 2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 【答案】C 【解析】 【分析】依题运用特殊值求得函数模型中t的值，然后运用函数模型得到关于n的不等式，通过指、对运算求得n的取值范围，即可得解． 【详解】依题意，，，当时，，即，可得， 于是，由，得，即， 则，又，因此， 所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次， 故选：C. 7. 已知球O的半径，球面上有三点A，B，C，满足，，点D在球面上运动，则当四面体D-ABC的体积取得最大值时，（ ） A. B. C. 13 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理求得，可求出的外接圆半径，求出球心到平面的距离，四面体的体积最大时，点到平面ABC的距离最大，求此时的值. 【详解】中，， ，所以， 因此的外接圆半径为， 因为球的半径，所以球心到平面ABC的距离为5，． 要使得四面体的体积最大，只要点到平面ABC的距离最大，并且最大距离为， 又的外接圆半径为，所以. 故选：A 8. 设，，且，则（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数取值范围，利用三角函数的关系式求出，，代入求出结果即可． 【详解】因为，所以，则， 同样，所以， 由于，当且仅当，时，满足条件中的关系式， 故，，即；， 故． 故选：B． 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 向量在向量方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：分别计算出、即可得；对B：借助数量积的坐标公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量计算公式计算即可得. 【详解】对A：，则， ，则，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：， 故与的夹角为，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：BCD. 10. 某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是1，2，3，4，5，6，7）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为4，极差为3； 乙：中位数为3，众数为5； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用中位数，众数，平均数，极差的意义结合举反例判断ABC,计算方差并且讨论判断D求解. 【详解】对于甲，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是，则甲不符合题意. 对于乙，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3， 所以中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则乙符合题意. 对于丙，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3， 从而这7个数的平均数最小为，即这7个数的平均数不可能为3，故丙符合题意. 对于丁，设这7个数分别为，则， . 若7，则 , 从而这6个数可能是或或 或或或或或 或或，这与矛盾， 即这7个数中一定没有出现7，故丁符合题意. 故选：BCD. 11. 如图，在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 若M为棱的中点，则直线∥平面 B. 若M在线段上运动，则的最小值为 C. 当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为 D. 若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：作交点，连接，可证，进而得到∥平面；对于B：展开与到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理运算求解；对于C：在侧面上的射影为，确定交线为以为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；对于D：根据垂直关系分析可知直线与直线的距离为，当为中点，为中点时，可得，即能找出此点恰在上. 【详解】对于选项A：作交点，连接， 因为为中点，M为棱的中点，则∥， 且平面，平面，所以∥平面，故A正确； 对于选项B：展开与到同一平面上如图： 可知，故B错误； 对于选项C：M与重合时，在侧面上的射影为， 故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径， 故圆弧长，故C正确； 对于选项D：取中点，则， 因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 由平面，则， 又因为∥，则，所以直线与直线的距离为， 当为中点，为中点时， 则∥，且，且∥，且， 可得∥，且，可知为平行四边形， 则∥，且， 所以为M到直线最短距离，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则应有，解得， 所以函数定义域为. 故答案为：. 13. 已知为复数，且，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，得到，则，利用复数模的几何意义，即可得解. 【详解】由题意设，则 ，，即， 即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆. 则，可理解为求点到点之间的距离， 数形结合可知，的最大值为4． 故答案为： 14. 如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，余弦定理表示出，结合基本不等式求最小值和最小值成立的条件. 【详解】设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故，即的最小值为， 此时也取最小值，有，即此时. 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． （1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）取为基向量，将分别用基向量表示，利用数量积的运算律计算即得； （2）设计算得到关于的一次函数解析式，根据的范围，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意，, ∵， ， ∴． 【小问2详解】 设则 ∴， ∴， 显然为增函数，因，故． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由面面，可得，则有面，可证得平面⊥平面； （2）求点E到面的距离和的长，可直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 在△中，，， 由，可得， ． 由平面平面，平面平面， ，平面，可得平面， 又面，则， ． 又，，面， 则平面，又平面， 则平面⊥平面； 【小问2详解】 取中点S，中点T，连接，又E，F分别为的中点， 则，，，， 又，则， 则四边形为平行四边形，则， 连接，中，，则， 又面⊥面，面面，面， 则平面，则为点P到平面的距离， 又E为的中点，则点E到平面的距离为， 又△中，，，， 则，，则点E到面的距离为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，则，则直线与平面所成角的大小为．． 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 18. 已知函数. （1）求实数的值，使得为偶函数； （2）当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数取值范围. 19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中， （1）若，，，（图1），求线段长度的最大值； （2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； （3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【答案】（1） （2）时，四边形面积取得最大值，且最大值为． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求出的最大值； （2）由题意可得，分别在，中，由余弦定理可得的表达式，两式联立可得的值，进而求出角的大小，进而求出此时的四边形的面积． （3）根据余弦定理可得，即可结合不等式求解最值. 【小问1详解】 由，，，，可得， 由题意可得， 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立 即的最大值为； 【小问2详解】 如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，， 在中，，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得， 解得，而，可得， 所以， 此时． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为． 【小问3详解】 由题意可知所以，即， 在中，由余弦定理可得, 故, 故， 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阜阳三中2023级高一年级下学期第二次调研考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分． 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 图象关于点对称 5. 如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 7. 已知球O的半径，球面上有三点A，B，C，满足，，点D在球面上运动，则当四面体D-ABC的体积取得最大值时，（ ） A. B. C. 13 D. 18 8. 设，，且，则（ ） A. －1 B. 1 C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 向量在向量方向上的投影向量为 10. 某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁4名同学连续7周每周阅读天数（每周阅读天数可以是1，2，3，4，5，6，7）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为4，极差为3； 乙：中位数为3，众数为5； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图，在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 若M为棱中点，则直线∥平面 B. 若M在线段上运动，则的最小值为 C. 当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为 D. 若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数定义域为______. 13. 已知为复数，且，则的最大值为____________. 14. 如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． （1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值； （2）求的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 18. 已知函数. （1）求实数的值，使得为偶函数； （2）当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中， （1）若，，，（图1），求线段长度的最大值； （2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； （3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$