精品解析：2024年四川省广元市昭化区中考三模数学试题

2024年朝天区九年级第三次模拟考试 数 学 说 明: 1.全卷满分150分， 考试时间120分钟. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题26个小题. 3.考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效.选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题. 4.考试结束，将答题卡和试卷一并交回. 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分) 1. 如图，∥，，则的度数为 （ ） A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质与对顶角相等即可求出． 【详解】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案. 故答案为B． 【点晴】本题主要考查了平行线的性质与对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B. 确定事件一定会发生 C. 某校6位同学在科技知识竞赛中成绩分别为96、97、99、99、98、96， 那么这组数据的众数为96 D. 数据6、5、8、7、2的中位数是6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计知识当中的相关概念，可用普查的定义或适用范围判断A选项；根据确定事件的定义判断B选项；用众数的概念判断C选项；最后用中位数的定义判断D选项． 【详解】解：全国中小学生数量极大，不适合全面普查，为了解全国中小学生心理状况，应采用抽样调查方式，故A选项错误； 确定事件包括必然事件与不可能事件，不可能事件不会发生，故B选项错误； 众数为一组数据当中出现次数最多的数据，该组数据中96，99均分别出现两次，故众数为96，99，C选项错误； 将一组数据按数值大小顺序排列，位于中间位置的数值为该组数据的中位数， ∴2，5，6，7，8中位数为6，故D选项正确； 故答案为D． 5. 下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意； B、手的对面是口，所以本选项符合题意； C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意； D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关键． 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解． 【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD=AC-AD=6-2=4， 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键． 7. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】点A的坐标为（m，2n）， ∴， ∵D为AC的中点， ∴D（m，n）， ∵AC⊥轴，△ADO的面积为1， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　） A. 4﹣ B. 2﹣ C. 2﹣π D. 1﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，所以OH＝CD＝，则OA＝OH＝2，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算． 【详解】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴四边形ODCH为矩形， ∴OH＝CD＝， 在Rt△OAH中，∠OAH＝45°， ∴OA＝OH＝2， 在Rt△OBD中，∵∠B＝45°， ∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2， ∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE ＝0.5×2×2﹣ ＝2﹣π． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算． 9. 如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4， ∴BD==5， 设AE的长度为x， 由折叠可得：△ABE≌△MBE， ∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2， 在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 解得：x=，ED=4-=， 设CF的长度为y， 由折叠可得：△CBF≌△NBF， ∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1， 在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2， ∴y2+12=（3-y）2， 解得：x=，DF=3-=， 在Rt△DEF中，EF=， 故答案为：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE和DF的长度是解题的关键． 10. 关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称， ∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等； 故①正确； 当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5， 若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5， ∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个， ∴， 若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5， ∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个， ∴， 故②正确； 若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≥0， ∴， ∴； 若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≤0， ∴ ∴a＜， 综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6． 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题(共120分) 二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分，共24分) 11. 2024年广元市各级各类学校学生人数约为735000人， 将735000用科学记数法表示为_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： 12. 如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵△OBC是等边三角形 ∴∠COB=60° ∴∠A==30° ∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键． 13. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1, =4-3(k-1) =13, K=-2. 故答案为:-2. 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及应用. 14. 如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____． 【答案】4039 【解析】 【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用裂项化简，解分式方程可得答案． 【详解】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4， ∴an＝n（n+1）， ∵+++…+＝， ∴+++…+=， ∴2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）=， ∴2×（1﹣）＝， 1﹣＝， 解得n＝4039， 经检验：n＝4039是分式方程的解． 故答案为：4039． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出an＝n（n+1）及是解题的关键. 15. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 16. 如图， ， ， 点A在上， 四边形是矩形， 连接、交于点E， 连接交于点F，下列4个判断: ①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形，以上结论判断正确是_______________(填入正确的序号即可). 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先说明是等腰三角形，再由矩形的性质可得，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明即可判断；③过，垂足为，然后根据角平分线定理可得，再求得，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解；④连接，然后证明，最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断． 【详解】解：①∵ ∴是等腰三角形 ∵四边形是矩形 ∴ ∴平分，故①正确； ②∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴，即②正确； ③过作，垂足为， ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴，即；故③正确； ④由②得， ∵为中点 ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ∵ ∴ ∴，即 ∴是等腰直角三角形，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直角三角形，勾股定理，考查知识点较多，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分) 17. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算乘方，化简绝对值，二次根式，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，再合并即可． 【详解】解： 18. 先化简， 再求值，其中a、b满足 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算分式的除法运算，再计算分式的减法运算，再利用非负数的性质求解，，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 19. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG， ∵GA=GD，∠AGF=∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD， ∴AB=AF． （2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF=CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠FAG=60°， ∵AB=AG=AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG，∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【解析】 【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题； （2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20. 为了了解旺苍县中学生参加以“红色旺苍、中国茶乡”为主题的征文比赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如下图所示.请根据图表信息解答下列问题： 组别 分数段 (分) 频数 频率 A组 30 0.1 B组 90 n C组 m 0.4 D组 60 0.2 （1）在表中： ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组； （4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加总结会，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少?并列表或画树状图说明. 【答案】（1）120，0.3 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）C （4） 【解析】 【分析】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值； （2）根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图； （3）根据中位数的定义即可求解； （4）画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：∵本次调查的总人数为（人）， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据均落在C组， ∴据此推断他的成绩在C组， 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果， ∴抽中A﹑C两组同学的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 21. 如图，要在旺苍县盐井河林场东西方向的两地之间修一条公路，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西方向上. （1）是否穿过原始森林保护区?为什么? (参数数据： （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前4天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天? 【答案】（1）不会穿过原始森林保护区． （2）原计划完成这项工程需要天． 【解析】 【分析】（1）过作于，于点，于点，根据题意，得，，可推出，；根据等角对等边，得，设，根据，三角锐角函数，求出，进行比较，即可； （2）设原计划天完成，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率，得到等量关系，解出，即可． 【小问1详解】 解：如图，所示：过作于，于点，于点， ∵，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（米）． ∴不会穿过原始森林保护区． 【小问2详解】 解：设原计划天完成，则实际完成这项工程需要天， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原计划完成这项工程需要天． 22. 在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意将点A坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可； （2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可. 【详解】（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)， ∴， 解得：， ∴原反比例函数解析式为：； （2）①当直线的时，函数图像如图所示， 此时，不符合题意，舍去； ②当直线的时，函数图像如图所示， 设OC的长度为m，OB的长度为n， ∵的面积为的面积的2倍 ∴， ∴， ∴OC的长为2， ∴当C点在y轴正半轴时，点C坐标为(0，2)， ∴ ∵点A坐标为(3，4)， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 当C点在y轴负半轴时，点C坐标为(0，−2)， ∴ ∵点A坐标为(3，4)， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 综上所述，直线解析式为：或. 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 23. 某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值． 【答案】（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50. 【解析】 【分析】（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；（2）50平方米住宅有500×40%=200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1- a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1-a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套. 由题意得知： 解得 答：该小区有250套80平方米住宅. （2） 参与活动一： 50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一， 80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二， 参与活动二： 50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一； 80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二； 由题意得： 令. 化简得：. 解得：（舍去）， （舍去） 答：的值为50. 【点睛】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键. 24. 如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E． （1）求证：直线EC为圆O的切线； （2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值． 【答案】（1）证明：∵CE⊥AD于点E ∴∠DEC=90°， ∵BC=CD， ∴C是BD的中点， 又∵O是AB的中点， ∴OC是△BDA的中位线， ∴OC∥AD ∴∠OCE=∠CED=90° ∴OC⊥CE， 又∵点C在圆上， ∴CE是圆O的切线； （2）. 【解析】 【分析】（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线． （2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值． 【详解】（1）略 （2）连接AC ∵AB是直径，点F在圆上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PAE ∴PE2=PF×PA ∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC2=PF×PA ∴PE=PC 在直角△PEF中，sin∠PEF=． 【点睛】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键． 25. 如图，在中，， ，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接. （1）求证：； （2）当时（如图），求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明：， ， ， . . （2）； （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时. 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）解直角三角形得到BC，由，推出得到，由，得到，即可求出AE； （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，过点作于点，过点作于点，于点， 则，由得到，推出，得到 ，再利用等腰三角形的性质求出CD的长即可求解. 【详解】（1）略 （2）过点作于点. 在中，设，则， 由勾股定理，得. ， ， ， . , . 又， . ， . . . ， . . （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得. 过点作于点，过点作于点，于点， 则 四边形为矩形， ，. ， . 在中，由勾股定理，得. ，， ． , . . . . 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， 又， ， ， 所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时. 【点睛】此题主要考查四边形动点问题，解题的关键是熟知三角函数的应用、相似三角形的判定与性质. 26. 如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 【答案】（1）；（2）点坐标为点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标； （3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式. 【详解】（1）由题意，得 解得 抛物线的函数表达式为. （2）抛物线与轴的交点为， ，抛物线的对称轴为直线. 设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 上翻折得. 在中，由勾股定理，得.’ 点的坐标为，. . 由翻折得. 在中，. 点的坐标为. （3）取（2）中的点，，连接. ，. 为等边三角形， 分类讨论如下： ①当点在轴上方时，点在轴上方. 连接， ，为等边三角形， ，，. ， . , 点在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分. 由翻折可知垂直平分. 点在直线上， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. ②当点在轴下方时，点在轴下方. ，为等边三角形， ，，. . . . ， . . 设与轴相交于点. 在中，. 点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. 综上所述，直线的函数表达式为或. 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数、等边三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年朝天区九年级第三次模拟考试 数 学 说 明: 1.全卷满分150分， 考试时间120分钟. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题26个小题. 3.考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效.选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题. 4.考试结束，将答题卡和试卷一并交回. 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分) 1. 如图，∥，，则的度数为 （ ） A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B. 确定事件一定会发生 C. 某校6位同学在科技知识竞赛中成绩分别为96、97、99、99、98、96， 那么这组数据的众数为96 D. 数据6、5、8、7、2的中位数是6 5. 下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　） A. B. C. 3 D. 4 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　） A. 4﹣ B. 2﹣ C. 2﹣π D. 1﹣ 9. 如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 10. 关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷 非选择题(共120分) 二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分，共24分) 11. 2024年广元市各级各类学校学生人数约为735000人， 将735000用科学记数法表示为_______. 12. 如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________． 13. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____. 14. 如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 16. 如图， ， ， 点A在上， 四边形是矩形， 连接、交于点E， 连接交于点F，下列4个判断: ①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形，以上结论判断正确是_______________(填入正确的序号即可). 三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分) 17. 计算: 18. 先化简， 再求值，其中a、b满足 ． 19. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 20. 为了了解旺苍县中学生参加以“红色旺苍、中国茶乡”为主题的征文比赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如下图所示.请根据图表信息解答下列问题： 组别 分数段 (分) 频数 频率 A组 30 0.1 B组 90 n C组 m 0.4 D组 60 0.2 （1）在表中： ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组； （4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加总结会，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少?并列表或画树状图说明. 21. 如图，要在旺苍县盐井河林场东西方向的两地之间修一条公路，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西方向上. （1）是否穿过原始森林保护区?为什么? (参数数据： （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前4天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天? 22. 在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式． 23. 某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值． 24. 如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E． （1）求证：直线EC为圆O的切线； （2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值． 25. 如图，在中，， ，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接. （1）求证：； （2）当时（如图），求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由. 26. 如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $