2023-2024学年人教版八年级数学下期末培优专题复习专题十七 建立函数模型解决实际问题

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题十七 建立函数模型解决实际问题 （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1 分配方案问题 运用一次函数解决方案问题的“三步法”: (1) 分析题意,弄清问题的背景和要求; (2) 应用数学知识将实际问题转化为数学问题,建立一次函数模型 (3) 根据一次函数的性质确定最佳方案。 名师点拨 建立一次函数模型解决实际问题时，一定注意确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义。 知识点2 最大利润问题 运用一次函数解决最大利润问题的步骤： （1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； （2）根据等量关系，建立变量与变量之间的一次函数关系式， （3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； （4）利用函数的性质解决问题； 名师点拨 （1） 确定函数关系式，将利润表示为自变量的一次函数。 （2） 确定自变量的取值范围。 （3） 根据一次函数性质选择最大利润。 知识点3 行程问题 运用一次函数解决行程问题的步骤： （1）观察图象，获取有效信息； （2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； （3）选择函数模型，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围 名师点拨 二、易错点点拨 易错点1分配方案问题 例1-1．某企业采购了A品牌冰箱40台，B品牌冰和60台，准备让旗下的甲、乙两家商场出售，其中70台给甲商场，30台绘乙商场．两家商场销售这两种品牌冰箱每台的利润如表（单位：元）： A B 甲商场 300 200 乙商场 250 160 A B 甲商场 x _____ 乙商场 40-x _____ 若企业调配给甲商场x（x为正整数）台A品牌冰箱，两家商场全部卖出这100台冰箱的总利润为y元． （1）请根据题意补全A、B品牌冰箱调配情况的表格，求出y与x的函数关系式？ （2）若这100台冰箱全部卖出，如何调配才能使获得的总利润最大？并求出最大利润的值； （3）为了促销，企业决定仅对甲商场的A品牌冰箱每台降价a元销售，甲商场的B品牌冰箱以及乙商场的A、B品牌冰箱的销售利润都不变．若无论甲商场销售A品牌冰箱多少台，这100台冰箱全部售完后企业总利润保持不变，求a的值． 易错点拨 建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；（求解析式一定注意自变量取值范围） 变式训练1 1.剧院举行中秋专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x＞4）名学生听音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）． （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）当学生多少人时，选择方案1和方案2付款金额一样． 2．甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一付定价60元，乒乓球每盒定价10元．今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一付乒乓球拍赠二盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2付乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）． 设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）； （2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜． （3）若该校要买2付乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案． 3．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知租用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你该物流公司设计租车方案； （3）若A型货车每辆需租金120元/次，B型货车每辆租金140元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 4．学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）若购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的．求最省钱的购买方案及其费用． 易错点2 最大利润问题 例2-1．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 易错点拨 建立一次函数模型→求出一次函数解析式→确定自变量取值范围→结合函数解析式、函数性质作出解答 变式训练2 1．“花果山”水果店计划购进A和B两种水果，经了解，用1200元采购A种水果的箱数是用500元采购B种水果箱数的2倍，一箱A种水果的进价比一箱B种水果的进价多20元． （1）求一箱A种水果和一箱B种水果的进价分别为多少元？ （2）若“花果山”水果店购进A，B两种水果共100箱，其中A种水果的箱数不多于B种水果的箱数，已知A种水果的售价为150元/箱，B种水果的售价为140元/箱，且能全部售出，该水果店销售这批水果最少能获利多少元？（不考虑其他费用支出） 2．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 3．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 4．某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种食品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？ 易错点3 行程问题 例3-1 .甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止．已知P、Q两地相距200km,设乙行驶的时间为t（h）甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题： （1）由图象可知，甲比乙迟出发_____h,图中线段BC所在直线的函数解析式为 _____； （2）设甲的速度为v1km/h,求出v1的值； （3）根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距32km时t的值． 易错点拨 首先分清横轴纵轴表示的实际意义，其次看特殊点：起点、交点、终点表示的意义，最后看变化趋势写出函数关系，根据函数性质解决问题。 变式训练3 1．已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（　　） A. 2小时 B. 2.4小时 C. 2.5小时 D. 3小时 2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后（　　）小时第一次相遇． A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 6 4．小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了1h,看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40min到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（m）与所用时间t（min）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）填空：a=_____，b=_____； （2）求出小亮从体育场出发的过程中，小亮离家的距离y1与时间t之间的关系式； （3）在姐姐去体育场的过程中，求当t为何值时，两人相距400m？ 3、 专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了20km； （2）小陆全程共用了1.5h； （3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度； （4）小李在途中停留了0.5h. 其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米； ③图中点B的坐标为（，75）； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 3．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg,若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 甲园的门票费用是60元 B. 草莓优惠前的销售价格是40元/kg C. 乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D. 若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同 4．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（　　） A. 购买A类会员年卡 B. 购买B类会员年卡 C. 购买C类会员年卡 D. 不购买会员年卡 5．某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下： A类年票：每张120元，持票入园无需再购票； B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元； C类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元． 小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法正确的是（　　） A. 小军的年入园需求可能是25次 B. 小华的年入园次数需求多于小军 C. 小华的年入园需求可能是25次 D. 小华的年入园次数需求少于小军 6．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，是线段上任意一点不包括端点，过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.小张为自己已经用光话费的手机充值100元,他购买的服务是:20元/月包接听,主叫0.2元/分钟.这个月内,他手机所存话费y(元)与主叫时间t(分钟)之间的函数关系是(    ) A.y=100-0.2t     B.y=80-0.2t     C.y=100+0.2t     D.y=80+0.2t 8．春节期间,某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务,两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/小时,100千米/小时,请你选择一种交通工具(   ) 运输工具 运输单位(元/吨·千米) 冷藏单位(元/吨·小时) 过路费(元) 装卸及管理费(元) 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 A.当运输货物重量为60吨,选择汽车 B.当运输货物重量大于50吨,选择汽车 C.当运输货物重量小于50吨,选择火车 D.当运输货物重量大于50吨,选择火车 9．6月份以来,猪肉价格一路上涨.为平抑猪肉价格,某省积极组织货源,计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉,现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆,已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元,从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元,从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元.若设从A、B两市都派x辆车到D市,则当这28辆运输车全部派出时,总运费W(元)的最小值和最大值分别是(   ) A.8000,13200     B.9000,10000     C.10000,13200     D.13200,15400 10．今年校团委举办了“中国梦,我的梦”歌咏比赛,张老师为鼓励同学们,带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品.已知甲种笔记本每本7元,乙种笔记本每本5元,每种笔记本至少买3本,则张老师购买笔记本的方案共有(   ) A.3种        B.4种        C.5种        D.6种 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是 _____h. 12．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 _____折销售，后四周最多盈利 _____元． 13．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表： 种类 一日票 二日票 三日票 五日票 七日票 单价（元/张） 20 30 40 70 90 某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为_____元． 14．快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 _____km/h. 15．据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 _____元． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（9分）疫情期间，为满足口罩需求，某商店决定购进A，B两种口罩．若购进A口罩10盒，B口罩5盒，需要1000元．若购进A口罩4盒，B口罩3盒，需要550元． （1）求A，B两种口罩每盒需要多少元？ （2）若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种口罩，考虑到市场需求，要求购进A口罩的数量不少于B口罩数量的6倍，且不超过B口罩数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每盒A口罩可以获利润20元，每盒B口罩可以获利润30元，在（2）的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 17．（8分）甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8） （1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式； （2）试讨论在哪家商店购买合算？ 18．（8分）某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． （1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式； （2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 19．（9分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息5min后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离s（m）与时间t（min）之间的函数图象如图所示． （1）从A地到C地的距离为 _____m； （2）求出MN段的函数表达式； （3）求小明距B地750m时所用的时间． 20．（9分）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计． （1）根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间x和手机话费y,请写出A，B两种计费方式分别对应的函数表达式． （2）月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？ （3）若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由． 21．（8分）某网店计划销售某种保暖衣，已知保暖衣的进价为每件30元，当销售单价定为80元时，每天可售出20件，每销售一件需要缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低5元，则每天可多售出10件，若设这款保暖衣的销售单价为x元，每天的销售量为y（件）． （1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；（不要求写x的取值范围） （2）当销售单价定为50元时，求这款保暖衣每天的销售利润． 22．（12分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 40 30 销售价（元/个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率=×100%） 23．（12分）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按票价优惠．设某一家庭共有x人，A、B两家旅行社的收费分别是y1元，y2元． （1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式． （2）若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社费用较低． （3）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社费用较低． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题十七 建立函数模型解决实际问题（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1 分配方案问题 运用一次函数解决方案问题的“三步法”: (1) 分析题意,弄清问题的背景和要求; (2) 应用数学知识将实际问题转化为数学问题,建立一次函数模型 (3) 根据一次函数的性质确定最佳方案。 名师点拨 建立一次函数模型解决实际问题时，一定注意确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义。 知识点2 最大利润问题 运用一次函数解决最大利润问题的步骤： （1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； （2）根据等量关系，建立变量与变量之间的一次函数关系式， （3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； （4）利用函数的性质解决问题； 名师点拨 （1） 确定函数关系式，将利润表示为自变量的一次函数。 （2） 确定自变量的取值范围。 （3） 根据一次函数性质选择最大利润。 知识点3 行程问题 运用一次函数解决行程问题的步骤： （1）观察图象，获取有效信息； （2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； （3）选择函数模型，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围 名师点拨 二、易错点点拨 易错点1分配方案问题 例1-1．某企业采购了A品牌冰箱40台，B品牌冰和60台，准备让旗下的甲、乙两家商场出售，其中70台给甲商场，30台绘乙商场．两家商场销售这两种品牌冰箱每台的利润如表（单位：元）： A B 甲商场 300 200 乙商场 250 160 A B 甲商场 x _____ 乙商场 40-x _____ 若企业调配给甲商场x（x为正整数）台A品牌冰箱，两家商场全部卖出这100台冰箱的总利润为y元． （1）请根据题意补全A、B品牌冰箱调配情况的表格，求出y与x的函数关系式？ （2）若这100台冰箱全部卖出，如何调配才能使获得的总利润最大？并求出最大利润的值； （3）为了促销，企业决定仅对甲商场的A品牌冰箱每台降价a元销售，甲商场的B品牌冰箱以及乙商场的A、B品牌冰箱的销售利润都不变．若无论甲商场销售A品牌冰箱多少台，这100台冰箱全部售完后企业总利润保持不变，求a的值． 易错点拨 建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；（求解析式一定注意自变量取值范围） 【答案】(1)70-x;(2)x-10; 【解析】（1）由题意可知，调配给甲商场B品牌冰箱（70-x）台，乙商场B品牌冰箱60-（70-x）=（x-10）台；再根据总利润=两个商场两种品牌利润之和列出函数解析式； （2）先求出自变量的取值范围，在根据函数的性质求最值； （3）依题意得出y与a的关系式，根据与x无关，可列出方程，求解即可． 解：（1）由题意可知，调配给甲商场B品牌冰箱（70-x）台，乙商场B品牌冰箱60-（70-x）=（x-10）台，填表如下： A B 甲商场 x 70-x 乙商场 40-x x-10 故答案为：70-x,x-10； 根据题意得：y=300x+200（70-x）+250（40-x）+160（x-10） =300x+14000-200x+10000-250x+160x-1000 =10x+22400， ∴y与x的函数关系式为y=10x+22400； （2）有题意得：， 解得10≤x≤40， ∵10＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=40时，y有最大值，最大值为22800， ∴调配给甲商场40台A品牌冰箱，30台B品牌冰箱，调配给乙商场30台B品牌冰箱才能使获得的总利润最大，最大利润22800元； （3）由题意得：y=（300-a）x+200（70-x）+250（40-x）+160（x-10）， 整理得，y=（10-a）x+22400． ∵无论甲商场销售A品牌冰箱多少台，这100台冰箱全部售完后企业总利润保持不变， ∴10-a=0， 解得a=10． 答：a的值是10． 变式训练1 1.剧院举行中秋专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x＞4）名学生听音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）． （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）当学生多少人时，选择方案1和方案2付款金额一样． 【解析】（1）根据题意，可以写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可以得到相应的等式，即可得解． 解：（1）由题意可得， y1=4×20+5（x-4）=5x+60， y2=（4×20+5x）×90%=4.5x+72； （2）当5x+60=4.5x+72，得x=24， 答：当学生有24人时，选择方案1和方案2付款金额一样． 2．甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一付定价60元，乒乓球每盒定价10元．今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一付乒乓球拍赠二盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2付乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）． 设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）； （2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜． （3）若该校要买2付乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案． 【答案】（1）y1=10x+80；y2=9x+108； （2）x=28时，在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜；4≤x<28时，在甲商店购买所需商品比较便宜；x>28时，在乙商店购买所需商品比较便宜； （3）到甲商店购买2付乒乓球拍，获赠4盒乒乓球；到乙商店购买16盒乒乓球． 【解析】（1）因为甲商店规定每买一付乒乓球拍赠二盒乒乓球，所以y1=60×2+10（x-4）=10x+80；因为乙商店规定所有商品9折优惠，所以y2=10×0.9x+60×2×0.9=9x+108； （2）若两种促销活动的付款一样，则两式子的值相等，计算出x的值即为购买乒乓球的盒数； （3）就只在甲商店购买，只在乙商店购买，在甲乙两商店同时购买，三种情况讨论．比较所花钱数，得到结果． 【小问1详解】 y1=60×2+10（x-4）=10x+80； y2=10×0.9x+60×2×0.9=9x+108； 【小问2详解】 当y1=y2时，∴10x+80=9x+108， ∴x=28时，在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜； 当y1<y2时，10x+80<9x+108，而已知不少于4盒， ∴4≤x<28时，在甲商店购买所需商品比较便宜； 当y1>y2时，10x+80>9x+108， ∴x>28时，在乙商店购买所需商品比较便宜； 【小问3详解】 若所需商品全部在一个商店购买，由（2）知，购买2副乒乓球拍和20盒乒乓球时，在甲商店购买比在乙商店购买便宜，需：（元）； 若需在两个商店购买，可以到甲商店购买2付乒乓球拍，需要（元）同时获赠4盒乒乓球，到乙店购买20-4=16盒乒乓球，需要（元）， 共需（元） ∵ ∴最佳的购买方案是：到甲商店购买2付乒乓球拍，获赠4盒乒乓球；到乙商店购买16盒乒乓球． 【点睛】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是列出函数关系式． 3．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知租用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你该物流公司设计租车方案； （3）若A型货车每辆需租金120元/次，B型货车每辆租金140元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【解析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a,b的二元一次方程，结合a,b均为正整数即可得出各租车方案； （3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨． （2）依题意，得：3a+4b=31， ∴a=． 又∵a,b均为正整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． （3）方案1所需租金为：120×9+140×1=1220（元）； 方案2所需租金为：120×5+140×4=1160（元）； 方案3所需租金为：120×1+140×7=1100（元）． ∵1220＞1160＞1100， ∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元． 4．学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）若购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的．求最省钱的购买方案及其费用． 【解析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20-m）个，根据购买A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m,（20-m）均为正整数，可得出6≤m≤19且m为整数，设购买两种奖品的总费用为w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元． （2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20-m）个， 根据题意得：m≥（20-m）， 解得：m≥， 又∵m,（20-m）均为正整数， ∴6≤m≤19且m为整数． 设购买两种奖品的总费用为w元， 根据题意得：w=20m+15（20-m）=5m+300， ∵k=5＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=6时，w取得最小值，最小值=5×6+300=330． 答：最省钱的购买方案为购买A种奖品6个，B种奖品14个，最少费用是330元． 易错点2 最大利润问题 例2-1．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 易错点拨 建立一次函数模型→求出一次函数解析式→确定自变量取值范围→结合函数解析式、函数性质作出解答 【答案】（1）； （2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元 【解析】（1）根据题意列出关系式为：，化简整理，再根据两种型号电脑共100台， B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，确定自变量的取值范围； （2）根据一次函数的增减性质和x的取值范围，解答即可． 【小问1详解】 ， 由，得， ∵， ∴， 故； 【小问2详解】 ∵中，， ∴y随的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，y取最大值，最大值为（元）， 此时（台）． ∴购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握一次函数值随自变量值的增减情况． 变式训练2 1．“花果山”水果店计划购进A和B两种水果，经了解，用1200元采购A种水果的箱数是用500元采购B种水果箱数的2倍，一箱A种水果的进价比一箱B种水果的进价多20元． （1）求一箱A种水果和一箱B种水果的进价分别为多少元？ （2）若“花果山”水果店购进A，B两种水果共100箱，其中A种水果的箱数不多于B种水果的箱数，已知A种水果的售价为150元/箱，B种水果的售价为140元/箱，且能全部售出，该水果店销售这批水果最少能获利多少元？（不考虑其他费用支出） 【答案】（1）购进一箱A种水果的进价为120元，则购进一箱B种水果的进价为100元； （2）水果店销售这批水果最少能获利3500元 【解析】（1）购进一箱A种水果的进价为a元，则购进一箱B种水果的进价为（a-20）元，由题意可得，，解之即可； （2）设购进A种水果x箱，则购进B种水果（100-x）箱，获利为w元，由题意可知，x≤100-x，即x≤50，w=（150-120）x+（140-100）（100-x）=-10x+4000，再由一次函数的增减性可求得w的最小值． 【小问1详解】 解：购进一箱A种水果的进价为a元，则购进一箱B种水果的进价为（a﹣20）元， 由题意可得，， 解得a＝120， 经检验，a＝120是原分式方程解且符合题意， ∴a﹣20＝100， ∴购进一箱A种水果的进价为120元，则购进一箱B种水果的进价为100元． 【小问2详解】 解：设购进A种水果x箱，则购进B种水果（100﹣x）箱，获利为w元， 由题意可知，x≤100﹣x，即x≤50， w＝（150﹣120）x+（140﹣100）（100﹣x）＝﹣10x+4000， ∵﹣10＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝50时，w的取值最小，此时w＝3500， 即该水果店销售这批水果最少能获利3500元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用及一次函数的应用，涉及一元一次不等式的应用．在解题过程中主要分式方程要检验，对一次函数的增减性要会判断． 2．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）W＝0.3x＋20；（3）26万元 【解析】（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，根据题意列出一元一次方程，故可求解； （2）根据总利润W=甲种特产利润+乙种特产利润即可列出函数关系式； （3）根据自变量的取值及一次函数的性质即可求出最大总利润． 解：（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨， 10x＋（100﹣x）×1＝235， 解得，x＝15， ∴100﹣x＝85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨． （2）W＝（10.5﹣10）x＋（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x＋20． （3）由（2）可知W＝0.3x＋20 ∵0.3﹥0，∴W随x的增大而增大， ∵0≤x≤20， ∴当x＝20时，W取得最大值，此时W＝26， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解． 3．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）250件（2）w=（3）当销售单价为45元，最大利润是3750元． 【解析】（1）求出最高价，算出比35元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350件减去少卖的件数，即可得到结论； （2）用含x的式子表示出每件儿童玩具的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，即可得到解析式； （3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值即可得到结论． 解：（1）每件的最高价为30×（1+50％）=45（元）， =250（件）， ∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件； （2）w=（x-30）（350-50·）=， ∴w与x的函数关系式w=； （3）w=； =； ∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50％， ∴35≤x≤45， ∵a=-10<0， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴是x=50， ∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大， ∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为3750， ∴当销售单价为45元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，明确题意找到函数关系式是解题的关键． 4．某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种食品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160 （2）80 【解析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式； （2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合“销售单价不低于成本价，且不高于60元”，即可确定x的值，再将其代入（﹣2x+160）中即可求出每天的销售量． 【小问1详解】 设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160． 【小问2详解】 依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 整理得：x2﹣110x+2800＝0， 解得：x1＝40，x2＝70． 又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售， ∴x＝40， ∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80． 答：每天的销售量应为80千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 易错点3 行程问题 例3-1 .甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止．已知P、Q两地相距200km,设乙行驶的时间为t（h）甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题： （1）由图象可知，甲比乙迟出发_____h,图中线段BC所在直线的函数解析式为 _____； （2）设甲的速度为v1km/h,求出v1的值； （3）根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距32km时t的值． 易错点拨 首先分清横轴纵轴表示的实际意义，其次看特殊点：起点、交点、终点表示的意义，最后看变化趋势写出函数关系，根据函数性质解决问题。 【答案】(1)1;(2)y=15x-40; 【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所在直线的函数表达式； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度； （3）根据（2）中甲乙的速度可以分别求得甲乙从P地到Q地用的时间，从而可以将函数图象补充完整． 解：（1）由图象可知，甲比乙迟出发1h, 设线段BC所在直线的函数解析式为y=kx+b,根据题意得： ， 解得， ∴线段BC所在直线的函数解析式为y=15x-40． 故答案为：1；y=15x-40； （2）设甲的速度为v1km/h,设乙的速度为v2km/h,由题意得： ， 解得； 答：甲的速度为40km/h. （3）如图所示： 根据题意得： 40（t-1）-25t=32或25t=200-32， 解得t=4.8或6.72． 答：当甲、乙两人相距32km时，t的值为4.8或6.72． 变式训练3 1．已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（　　） A. 2小时 B. 2.4小时 C. 2.5小时 D. 3小时 【答案】B 【解析】解法一：先根据待定系数法求出两函数解析式，联立两函数解析式，求得两函数图象的交点坐标，根据交点坐标的实际意义即可解答． 解法二：由图象可求出甲、乙两车的速度，设两车经过a小时后相遇，根据“甲行驶的路程+乙行驶的路程=A、B两地的距离”列出方程，求解即可． 解：解法一：根据图象，可设甲车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=kx, 将点（6，600）代入得，6x=600， 解得：x=100， ∴甲车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=100x, 设乙车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=mx+600， 将点（4，0）代入得，4x+600=0， 解得：x=-150， ∴乙车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=-150x+600， 联立得，， 解得：， ∴两车相遇时，甲车行驶的时间是2.4小时． 故选：B． 解法二：由图象可得，A、B两地相距600km, v甲==100（千米/时），=150（千米/时）， 设两车经过a小时后相遇， 则100a+150a=600， 解得：a=2.4， ∴两车相遇时，甲车行驶的时间是2.4小时． 故选：B． 2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】先根据图象的出甲乙之间的距离与时间的关系即可解答． 解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km, 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时， ∴①②正确． 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt, 把（5，300）代入可求得k=60， ∴y甲=60t, 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n, 把（1，0）和（4，300）代入可得， 解得， ∴y乙=100t-100， 令y甲=y乙，可得60t=100t-100，解得t=2.5， 即甲、乙两直线交点的横坐标为t=2.5， 此时乙出发的时间为1.5小时，即乙出发1.5小时追上甲， ∴③不正确． 令|y甲-y乙|=50，可得|60t-100t+100|=50， 即|100-40t|=50，解得t=或， 当t=时，y甲=50，此时乙车还没出发， 当t=时，乙已到达B城，y甲=250， 综上可知，当t的值为或或或时，两车相距50km, ∴④不正确． 故选：B． 3．如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后（　　）小时第一次相遇． A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】先根据题意求出甲、乙的速度，再设出发后x h甲、乙相遇，根据相遇时甲的路程=乙的路程+20列出方程，解方程即可． 解：由图可知：甲10小时所走路程是80×2=160（km）， ∴甲的速度是160÷10=16（km/h）， ∵出发时甲距B地80千米，乙距B地60千米， ∴出发时乙在甲前方20km, 由图可得乙的速度是60÷10=6（km/h）， 设出发后x h甲、乙相遇， 则20+6x=16x, 解得x=2， ∴甲乙两人在出发后2小时第一次相遇， 故选：C． 4．小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了1h,看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40min到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（m）与所用时间t（min）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）填空：a=_____，b=_____； （2）求出小亮从体育场出发的过程中，小亮离家的距离y1与时间t之间的关系式； （3）在姐姐去体育场的过程中，求当t为何值时，两人相距400m？ 【答案】(1)40;(2)70; 【解析】（1）根据图象可知姐姐从家到体育场用10分钟，观看1小时，故b=10+60=70分，由于来回速度一样故用时相同，返回用时为10分钟，第80分钟到家，因为小亮比姐姐早40分钟到家，故a=80-40=40分钟； （2）设小亮从体育场回家的过程中，小亮离家的距离y1与时间t之间的关系式为y1=k1t+b（k1≠0），将（0，2000），（40，0）代入解答即可； （3）根据已知求得小亮对应解析式后结合（2）即可求出相距400m时的t的值． 解：（1）∵由图象知姐姐从家到体育场用10分钟，观看1小时， 故b=10+60=70分钟， ∵姐姐看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中， ∴姐姐用时相同，返回用时为10分钟， 第80分钟到家， ∵小亮与姐姐同时出发且比姐姐早到家40分钟， ∴a=80-40=40， 故答案为：40；70； （2）设小亮从体育场回家的过程中，小亮离家的距离y1与时间t之间的关系式为y1=k1t+b（k1≠0）， 将（0，2000），（40，0）代入得： b=2000，① 40k1+b=0，② 把①代入②，得k1=-50， 故小亮从体育场回家的过程中，小亮离家的距离y1与时间t之间的关系式为y1=-50t+2000； （3）由（1）知小亮从体育场到家用40分钟即a=40， 则小亮速度为2000÷40=50m/分钟， ∴小亮距家y小亮=2000-50t（0≤t≤40）， ∵二人同时出发，两人相距400m时分3种情况：（注意二人8分钟时相遇）， ①二人相遇之前，相距400m时，即0≤t≤8时， 则y小亮-y1=400， ∴2000-50t-200t=400， 解得：t=6.4， ②二人相遇后，即8≤t≤10时， 则y1-y小亮=400， 200t-2000+50t=400， 解得：t=9.6， ∴在姐姐去体育场的过程中，t=6.4或t=9.6时，两人相距400m. 3、 专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了20km； （2）小陆全程共用了1.5h； （3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度； （4）小李在途中停留了0.5h. 其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5时出发，2时到达目的地，全程共用了：2-0.5=1.5h；小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据速度=路程÷时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断． 解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km,故原说法正确； （2）根据图象可得：小陆全程共用了：2-0.5=1.5h,故原说法正确； （3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法正确； （4）根据图象可得：表示小李的S-t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1-0.5=0.5小时，故原说法正确． 故选：A． 2．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米； ③图中点B的坐标为（，75）； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 3．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg,若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 甲园的门票费用是60元 B. 草莓优惠前的销售价格是40元/kg C. 乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D. 若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同 【答案】D 【解析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 解：由图象可得， 甲园的门票为60元，故选项A正确； 乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5=40（元/千克），故选项B正确； =0.5， 即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确； 若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6=348（元），乙园的花费为：40×5+（12-5）×40×0.5=340（元）， ∵348＞340， ∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误； 故选：D． 4．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（　　） A. 购买A类会员年卡 B. 购买B类会员年卡 C. 购买C类会员年卡 D. 不购买会员年卡 【答案】C 【解析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x,yB=200+20x,yC=400+15x,当40≤x≤50时，确定y的范围，进行比较即可解答． 解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元， 根据题意得：yA=50+25x,yB=200+20x,yC=400+15x, 当40≤x≤50时， 1050≤yA≤1300； 1000≤yB≤1200； 1000≤yC≤1150； 由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C． 5．某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下： A类年票：每张120元，持票入园无需再购票； B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元； C类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元． 小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法正确的是（　　） A. 小军的年入园需求可能是25次 B. 小华的年入园次数需求多于小军 C. 小华的年入园需求可能是25次 D. 小华的年入园次数需求少于小军 【答案】B 【解析】根据题意，可以写出B类和C类年票的费用与次数的函数关系式，根据题意列不等式计算即可判断． 解：设小军的年入园次数是x, 由题意得，， 解得：x＜20， 设小华的年入园次数是y, 由题意得，， 解得：y＞30， ∴小军的年入园次数小于20次，小华的年入园次数大于30次， ∴小华的年入园次数需求多于小军． 故选：B． 6．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，是线段上任意一点不包括端点，过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设点坐标，根据矩形的周长表示出点所在直线的解析式，进一步求出，点坐标，再根据面积法求出的值即可． 解：设， 矩形的周长为， 根据矩形的对边相等， ， ， 当时，， 当时，， ，， ，， 根据勾股定理，得， 当时，最小， ， 即， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想是解决本题的关键． 7.小张为自己已经用光话费的手机充值100元,他购买的服务是:20元/月包接听,主叫0.2元/分钟.这个月内,他手机所存话费y(元)与主叫时间t(分钟)之间的函数关系是(    ) A.y=100-0.2t     B.y=80-0.2t     C.y=100+0.2t     D.y=80+0.2t 答案：B 解析： 8．春节期间,某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务,两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/小时,100千米/小时,请你选择一种交通工具(   ) 运输工具 运输单位(元/吨·千米) 冷藏单位(元/吨·小时) 过路费(元) 装卸及管理费(元) 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 A.当运输货物重量为60吨,选择汽车 B.当运输货物重量大于50吨,选择汽车 C.当运输货物重量小于50吨,选择火车 D.当运输货物重量大于50吨,选择火车 答案：D 解析：设运输x吨货物,根据题意,汽车运费: , 火车运费: , ①,解得, ∴运输货物为50吨时,选择汽车与火车一样; ②,解得, ∴运输货物小于50吨时,选择汽车运输; ③,解得, ∴运输货物大于50吨时,选择火车运输。 综上所述,D选项符合。故选D。 9．6月份以来,猪肉价格一路上涨.为平抑猪肉价格,某省积极组织货源,计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉,现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆,已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元,从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元,从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元.若设从A、B两市都派x辆车到D市,则当这28辆运输车全部派出时,总运费W(元)的最小值和最大值分别是(   ) A.8000,13200     B.9000,10000     C.10000,13200     D.13200,15400 答案：C 解析：由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是x、x、辆,派往E市的运输车的辆数为, 则总运费 依题意有, 解得: 当x=5时,W最大=13200元, 当x=9时,W最小=10000元. 故选C. 10．今年校团委举办了“中国梦,我的梦”歌咏比赛,张老师为鼓励同学们,带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品.已知甲种笔记本每本7元,乙种笔记本每本5元,每种笔记本至少买3本,则张老师购买笔记本的方案共有(   ) A.3种        B.4种        C.5种        D.6种 答案：D 解析：设甲种笔记本购买了x本,乙种笔记本y本,由题意,得 7x+5y≤50, ∵x≥3,y≥3, ∴当x=3,y=3时, 7×3+5×3=36<50, 当x=3,y=4时, 7×3+5×4=41<50, 当x=3,y=5时, 7×3+5×5=46<50, 当x=3,y=6时, 7×3+5×6=51>50舍去, 当x=4,y=3时, 7×4+5×3=43<50, 当x=4,y=4时, 7×4+5×4=4<50, 当x=4,y=5时, 7×4+5×5=53>50舍去, 当x=5,y=3时, 7×5+5×3=50=50, 综上所述,共有6种购买方案. 故选D. 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是 _____h. 【答案】1.5 【解析】根据函数图象中的数据，可以表示出快车和慢车的速度，然后即可计算出两车第一次相遇和第二次相遇的时间，再作差即可． 解：由图象可得， 快车的速度为；=a（km/h）， 慢车的速度为： km/h, 设快车行驶m h两车第一次相遇，行驶n h两车第二次相遇，  am=（2+m），a[n-（6-2）÷2]+（2+n）=a, 解得m=1，n=2.5， 2.5-1=1.5， 即两车先后两次相遇的间隔时间是1.5h, 故答案为：1.5． 12．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 _____折销售，后四周最多盈利 _____元． 【答案】(1)7;(2)72000; 【解析】前两周每周只卖了20件，还剩下360件，后四周每天至少要卖90件，所以折扣应该在8折以下．列出折扣与利润的一次函数表达式，利用一次函数的性质即可得出最多利润． 解：∵400-20×2=360（件）， ∴要在六周内卖完，后四周每周至少要卖360÷4=90（件）， ∴折扣应该在8折以下． 设后四周的利润为y,折扣为x（x≤7），依题意得 y=（1000×-500）×360=36000x-180000， ∵36000＞0， ∴y随着x的增大而增大， ∴当x=7时，y有最大值， 此时y=36000×7-180000=72000， ∴当打七折时，后四周的最大盈利为72000元， 故答案为：7；72000． 13．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表： 种类 一日票 二日票 三日票 五日票 七日票 单价（元/张） 20 30 40 70 90 某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为_____元． 【答案】80 【解析】分5种方案计算费用比较即可． 解：连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案 方案①：买一日票6张，费用20×6=120（元） 方案②：买二日票3张：30×3=90（元） 方案③：买三日票2张：40×2=80（元） 方案④：买一日票1张，五日票1张：20+70=90（元） 方案⑤：买七日票1张：90元 故方案③费用最低：40×2=80（元） 故答案为80． 14．快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 _____km/h. 【答案】35 【解析】根据图象求出快递员往返的时间为2（0.35-0.2）h,然后再根据速度=路程÷时间． 解：∵快递员始终匀速行驶， ∴快递员的行驶速度是=35（km/h）． 故答案为：35． 15．据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 _____元． 【答案】28.25 【解析】设出未知数，表示四部小说的单价、数量、总价，分别根据题意，列出相应的方程或不等式，确定未知数的值，或未知数的取值范围，最后根据“当《长津湖》《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时”求出相应的《长津湖》的单价即可． 解：设《长津湖》的单价为m元/本，《五个扑火的少年》单价为n元/本，则《我和我的父辈》的单价也为m元/本，《铁道英雄》的单价为3n元/本， 设《长津湖》的销售量为a本，《铁道英雄》的销售量为b本，则《五个扑火的少年》的销售量为a本，《我和我的父辈》的销售量为3b本， 单价、数量、总价之间的关系可用下表表示： ∵《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本， ∴a+b=450，即，b=450-a, 《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本， ∴a≥b,a＜230，b=450-a, ∴180≤a＜230， 又∵《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元， ∴50＜m+n≤60， ∵《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元， ∴ma+n（1350-3a）=m（1350-3a）+na+2205，即：（m-n）（4a-1350）=2205， ∵180≤a＜230， ∴4a-1350＜0， ∴m-n＜0，即m＜n, 当《长津湖》《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，即ma+n（1350-3a）=ma+1350n-3an最大， 也就是3an的值最小，此时m最大， ∵a的最小值为180，代入（m-n）（4a-1350）=2205，得， m-n=-3.5，即n=m+3.5， 又∵50＜m+n≤60，即50＜m+m+3.5≤60， ∴23.25＜m≤28.25， ∵m需取最大值， ∴m=28.25， 故答案为：28.25． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（9分）疫情期间，为满足口罩需求，某商店决定购进A，B两种口罩．若购进A口罩10盒，B口罩5盒，需要1000元．若购进A口罩4盒，B口罩3盒，需要550元． （1）求A，B两种口罩每盒需要多少元？ （2）若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种口罩，考虑到市场需求，要求购进A口罩的数量不少于B口罩数量的6倍，且不超过B口罩数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每盒A口罩可以获利润20元，每盒B口罩可以获利润30元，在（2）的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）设该商店购进A口罩每盒需a元，B口罩每盒需b元，利用总价=单价×数量，结合“若购进A口罩10盒，B口罩5盒，需要1000元．若购进A口罩4盒，B口罩3盒，需要550元”，即可得出关于a,b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店购进B口罩x盒，则购进A口罩（400-6x）盒，根据购进A口罩的数量不少于B口罩数量的6倍且不超过B口罩数量的8倍，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出进货方案的个数； （3）设购进的口罩全部售出后获得的利润为w元，利用总利润=每盒的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 解：（1）设该商店购进A口罩每盒需a元，B口罩每盒需b元， 依题意得：， 解得：． 答：该商店购进A口罩每盒需25元，B种口罩每盒需150元． （2）设该商店购进B口罩x盒，则购进A口罩=（400-6x）盒， 依题意得：， 解得：≤x≤， ， 解得：200≤x≤， 又∵x为整数， ∴x可以为29，30，31，32，33， ∴该商店共有5种进货方案． （3）设购进的口罩全部售出后获得的利润为w元，则w=20（400-6x）+30x=-90x+8000． ∵-90＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x=29时，w取得最小值，最小值=-90×29+8000=5390，此时400-6x=400-6×29=226． ∴获利最大的方案为：购进A口罩226盒，B口罩29盒，最大利润是5390元． 17．（8分）甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8） （1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式； （2）试讨论在哪家商店购买合算？ 【解析】（1）根据题意和两种优惠政策分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）得出的关系式，联立方程，然后进行比较即可得出答案． 解：（1）在甲店购买需付款：y甲=5x+120， 在乙店购买需付款：y乙=144+4.5x； （2）5x+120=144+4.5x, 解得：x=48， 8≤x＜48时，在甲商店购买合算， x=48时，在甲乙商店购买一样合算， x＞48时，在乙商店购买合算． 18．（8分）某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． （1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式； （2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 【解析】（1）利用每部汽车的进价=27-0.1×（售出的汽车数量-1），即可找出y关于x的函数关系式； （2）分0＜x≤10及x＞10两种情况考虑，根据该汽车销售公司计划当月盈利12万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 解：（1）依题意得：y=27-0.1（x-1）=-0.1x+27.1； （2）当0＜x≤10时，有[28-（-0.1x+27.1）]•x+0.5x=12， 整理得：x2+14x-120=0， 解得：x1=6，x2=-20（不合题意，舍去）； 当x＞10时，有[28-（-0.1x+27.1）]•x+x=12， 整理得：x2+19x-120=0， 解得：x1=5（不合题意，舍去），x2=-24（不合题意，舍去）． 答：该汽车销售公司当月需要售出6部汽车． 19．（9分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息5min后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离s（m）与时间t（min）之间的函数图象如图所示． （1）从A地到C地的距离为 _____m； （2）求出MN段的函数表达式； （3）求小明距B地750m时所用的时间． 【答案】1500 【解析】（1）根据图象中的数据，可以计算出从A地到C地的距离； （2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从B地到C地用的时间，从而可以写出点N的坐标，再根据点M的坐标，即可得到MN段的函数表达式； （3）令（2）中s的值为750，求出相应的t的值，再用此时t的值减8，计算出结果，即可得到小明距B地750m时所用的时间． 解：（1）由图象可得， 从A地到C地的距离为：450+1050=1500（m）， 故答案为：1500； （2）由图象可得， 小明的跑步速度为：450÷（8-5）=150（m/min）， 小明从B地到C地用的时间为：1050÷150=7（min）， ∴点N的坐标为（15，1050）， 设MN段的函数表达式为s=kt+b, ∵点（8，0），（15，1050）在该函数图象上， ∴， 解得， 即MN段的函数表达式为s=150t-1200； （3）令s=750， 750=150t-1200， 解得t=13， 13-8=5（min）， 即小明距B地750m时所用的时间为5min. 20．（9分）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计． （1）根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间x和手机话费y,请写出A，B两种计费方式分别对应的函数表达式． （2）月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？ （3）若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由． 【解析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）将两解析式联立求解即可； （3）分别将x=300代入解析式求出y的值比较即可． 解：（1）由题意可知，A类：y=0.2x+12，B类：y=0.25x, （2）因为0.2x+12=0.25x,解得x=240， 所以当通话时间等于240min时，两类收费方式所缴话费相等； （3）当x=300时，y=0.2x+12=72，y=0.25x=75， 因为72＜75，所以应该选择A类缴费方式． 21．（8分）某网店计划销售某种保暖衣，已知保暖衣的进价为每件30元，当销售单价定为80元时，每天可售出20件，每销售一件需要缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低5元，则每天可多售出10件，若设这款保暖衣的销售单价为x元，每天的销售量为y（件）． （1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；（不要求写x的取值范围） （2）当销售单价定为50元时，求这款保暖衣每天的销售利润． 【解析】（1）根据“销售单价每降低5元，则每天可多售出10件”，可得销售量y与销售单价x之间的函数关系； （2）结合（1）先求出销售量，再乘以每件利润即可． 解：（1）由题意可得：y=×10+20=-2x+180； （2）当x=50时，y=-2×50+180=80， 此时销售利润为80×（50-30-2）=1440（元）， ∴当售价定为50元时，这款保暖衣每天的利润为1440元． 22．（12分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 40 30 销售价（元/个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率=×100%） 【解析】（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30-x）个，由用1100元购进了A，B两款玩偶建立方程求出其解即可； （2）设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进（30-a）个，获利y元，根据题意可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系，然后根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以求得A款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润； （3）分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论． 解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30-x）个， 由题意，得40x+30（30-x）=1100， 解得：x=20． 30-20=10（个）． 答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个； （2）设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进（30-a）个，获利y元， 由题意，得y=（56-40）a+（45-30）（30-a）=a+450． ∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半． ∴a≤（30-a）， ∴a≤10， ∵y=a+450． ∴k=1＞0， ∴y随a的增大而增大． ∴a=10时，y最大=460元． ∴B款玩偶为：30-10=20（个）． 答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元； （3）第一次的利润率=×100%≈42.7%， 第二次的利润率=×100%=46%， ∵46%＞42.7%， ∴对于小李来说第二次的进货方案更合算． 23．（12分）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按票价优惠．设某一家庭共有x人，A、B两家旅行社的收费分别是y1元，y2元． （1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式． （2）若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社费用较低． （3）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社费用较低． 【解析】（1）A方案的费用=90+45（x-1），化简即可，B方案的费用=×90x,化简即可； （2）把x=5代入代数式求值即可； （3）分情况讨论，或A＜B，或A=B，或A＞B，解不等式即可． 解：（1）A：y1=90+45（x-1）=（45x+45）元；B：y2=×90x=60x（元）； （2）A：当x=5时，45x+45=270（元）； B：当x=5时，60x=300（元）； 故应选择A旅行社； （3）若45x+45＜60x时，即当家庭人数大于3时，A旅行社收费较低； 若45x+45=60x时，即当家庭人数等于3时，A、B旅行社收费一样； 若45x+45＞60x时，即当家庭人数小于3时，B旅行社收费较低． 学科网（北京）股份有限公司 $$