精品解析：2024年河南省南阳市唐河县九年级中考三模数学试题

2024年中考模拟试卷（三） 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页， 满分120分， 考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A B. C. D. 2. 科学家发现，在一般光照条件下，每千克小球藻（鲜重）经光合作用每小时约可释放氧气0.00064千克，并产生相应质量的葡萄糖.数据“0.00064”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式，成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，射线的方向是北偏西 ，射线的方向是南偏西， 则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的中 国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗放好．从这四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 10. 如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，满分 15分） 11. 分解因式：______． 12. 已知方程(m-2)x|m|-1+16=0是关于x的一元一次方程，则m的值为_______. 13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，连接AF；如图所示，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留） 15. 如图，在等腰三角形中，，，点为的中点．将线段绕点旋转，得到线段，连接，．当时，的长为_____． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （）计算: ； （）化简: ． 17. 豫剧，是中国五大戏曲剧种之一、中国第一大地方剧种，是主要流行于河南省、河北、山东，传承已有上百年的历史，被西方人称赞是“东方咏叹调”、“中国歌剧”等．某校为了解七、八年级学生对豫剧文化的了解程度，组织了一次豫剧文化知识测试，七、八年级各抽取10名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示），共分成四个等级（A：，B：，C：，D：）.下面给出了部分信息： 七年级参赛的学生等级的成绩为：、、、 八年级参赛的学生等级的成绩为：、、、、 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表： 班级 平均分 中位数 众数 七年级 八年级 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空： ， ； （2）七年级参赛学生成绩扇形图中等级的圆心角度数是 ； （3）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是分，于是小明说：“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次.”你同意小明的说法吗？并说明理由． 18. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 19. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．我们的教科书中的几何证明题就是根据书中命题推理的．请根据你的数学活动经验解决以下问题：点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且． （1）求证：； （2）当，时，求长． 20. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往南阳解放广场缅怀革命先烈，大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道南阳解放纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量，小张在水平地面上的点C处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点E处，小张发现此时自己的眼睛F、标杆顶点D和纪念碑的最高点A恰好在同一直线上，实践小组利用无人机在点E的正上方的点P处测得点A的俯角为，已知，求纪念碑的通高（结果精确到，参考数据：）． 21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. （1）求每副象棋和围棋单价； （2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； （3）若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 22. 如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为． （1）求图 中第一象限内抛物线的函数表达式． （2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米? （3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 23. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______ （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟试卷（三） 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页， 满分120分， 考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据绝对值的定义，分别计算几个足球的绝对值，再结合有理数大小比较的性质计算，即可得到答案；本题的关键是熟练掌握并运用绝对值的性质. 【详解】∵，，， ∴， ∴0.5最接近标准， 故选：B. 2. 科学家发现，在一般光照条件下，每千克小球藻（鲜重）经光合作用每小时约可释放氧气0.00064千克，并产生相应质量的葡萄糖.数据“0.00064”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 【详解】， 故选：A． 3. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意， 故选：C． 4. 下列等式，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解、平方差公式、积的乘方，根据完全平方公式、因式分解、平方差公式、积的乘方逐项判断即可求解，掌握全平方公式、因式分解、平方差公式、积的乘方是解题的关键． 【详解】解：．，该选项错误，不合题意； ．，该选项错误，不合题意； ．，该选项错误，不合题意； ．，该选项正确，符合题意； 故选：． 5. 如图，射线的方向是北偏西 ，射线的方向是南偏西， 则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义结合图形即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故选：． 6. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程． 由偶次方非负性以及因式分解求一元二次方程的根，即可找出各选项中方程根的情况，即可得到答案． 【详解】解：A、化为：，即，有两个相等实数根，故符合题意； B、 化为：，解得：，故不符合题意； C、 化为，故方程无实根，故不符合题意； D、由，得，故不符合题意 故选A． 7. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 8. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的中 国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗放好．从这四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：分别用表示四张卡片，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的概率为， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过点B作轴于点E，证得是等边三角形，得到，由O是对角线的中点，得到，根据，得到，勾股定理求出，得到，根据旋转的规律得第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置，即可得到点D的对应点的坐标是． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵O是对角线的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形绕点O旋转，每秒旋转， ∴第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是， ∴旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置， ∴点D的对应点的坐标是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10. 如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将图1和图2结合起来分析，分别得出直线l过点D，B和C时对应的x值和y值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】解：由图2可知，当直线l过点D时，x＝AF＝a，菱形ABCD的高等于线段EF的长，此时y＝EF＝ ； 直线l向右平移直到点F过点B时，y＝； 当直线l过点C时，x＝a+2，y＝0 ∴菱形的边长为a+2﹣a＝2 ∴当点E与点D重合时，由勾股定理得a2+＝4 ∴a＝1 ∴菱形的高为 ∴菱形的面积为2． 故选C． 【点睛】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析，是解决此类问题的关键， 二、填空题（每小题3分，满分 15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．利用提公因式法和公式法进行因式分解即可． 详解】解：． 故答案为：． 12. 已知方程(m-2)x|m|-1+16=0是关于x的一元一次方程，则m的值为_______. 【答案】-2 【解析】 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】∵(m-2)x|m|-1+16=0是关于x的一元一次方程， ∴=1且m-2≠0， 解得：m=-2， 故答案为-2 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，注意一次项的系数不为0这个隐含条件，容易漏解. 13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别求甲、乙两品中的方差即可判断； 【详解】解： ∴乙更稳定； 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查根据方差判断稳定性，分别求出甲、乙的方差，方差越小越稳定，解本题的关键在于知道方差的求解公式． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，连接AF；如图所示，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据AB为半径的圆弧交CD于F，得出AF=AB=，根据四边形ABCD为矩形，得出∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO，根据勾股定理DF=，可证△ADF为等腰直角三角形，得出∠BAF=∠DFA=45°，根据扇形面积公式求出S扇形ABF=，再求出S△AMF=即可． 【详解】解：∵AB为半径的圆弧交CD于F， ∴AF=AB=， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO， ∴DF=， ∴AD=DF=2， ∴△ADF为等腰直角三角形， ∴∠DFA=45°， ∴∠BAF=∠DFA=45°， ∴S扇形ABF=， ∵CF=DC-DF=， ∵DC∥AB， ∴∠FCO=∠MAO， 在△AOM和△COF中， ， ∴△AOM≌△COF（ASA）， ∴AM=CF=， ∴S△AMF=， ∴S阴影=S扇形BAF-S△AMF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直径三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形的性质，等腰直径三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积是解题关键． 15. 如图，在等腰三角形中，，，点为的中点．将线段绕点旋转，得到线段，连接，．当时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【详解】先根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，然后分类讨论分别得出的长即可求解． 【分析】解：在等腰三角形中，，，点为的中点． ∴,， 如图，过点作于点,则 ∴， 在中，，则 如图，当在的右侧时， ∵ ∴ ∴ ∴, 如图，当在的左侧时，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵旋转， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 在中， ， 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （）计算: ； （）化简: ． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、立方根的定义分别运算，再合并即可求解； （）根据分式的性质和运算法则进行计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）原式 ， ． 17. 豫剧，是中国五大戏曲剧种之一、中国第一大地方剧种，是主要流行于河南省、河北、山东，传承已有上百年的历史，被西方人称赞是“东方咏叹调”、“中国歌剧”等．某校为了解七、八年级学生对豫剧文化的了解程度，组织了一次豫剧文化知识测试，七、八年级各抽取10名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示），共分成四个等级（A：，B：，C：，D：）.下面给出了部分信息： 七年级参赛的学生等级的成绩为：、、、 八年级参赛的学生等级的成绩为：、、、、 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表： 班级 平均分 中位数 众数 七年级 八年级 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空： ， ； （2）七年级参赛学生成绩扇形图中等级的圆心角度数是 ； （3）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是分，于是小明说：“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次.”你同意小明的说法吗？并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）同意小明的说法，见解析 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图；求中位数，众数，利用中位数做分析； （1）利用八年级（一）的百分比求出组与组的人数，即可得到中位数的值；根据次数出现最多的数是众数得到的值； （2）求得组的占比，乘以即可求解； （3）利用中位数分析名次． 【小问1详解】 解：八年级（一）中，组人数为，组人数为， 人中第、人的成绩分别为，，故中位数， 八年级（二）中成绩出现次数最多的是，故； 故答案为：，； 【小问2详解】 组的占比为 ∴七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角度数是 故答案为：． 【小问3详解】 ∵八年级（一）班的中位数为分，（一）班学生小明的成绩是分， 他在（一）班中是前名， 而（二）班的中位数是分，学生小亮的成绩是分， 他在（二）班是后名， ∴同意小明的说法． 18. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 19. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．我们的教科书中的几何证明题就是根据书中命题推理的．请根据你的数学活动经验解决以下问题：点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，得到，推出，证得，结合切线的性质推出； （2）勾股定理求出，设的半径为，则，证明，求出r即可． 【小问1详解】 证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ∴， 与边相切于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：在，，，， 所以， 设的半径为，则， ， 又 ∴ ． ． 即． 解得：． 所以． 【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的判定和性质，正确理解圆周角定理是解题的关键． 20. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往南阳解放广场缅怀革命先烈，大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道南阳解放纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量，小张在水平地面上的点C处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点E处，小张发现此时自己的眼睛F、标杆顶点D和纪念碑的最高点A恰好在同一直线上，实践小组利用无人机在点E的正上方的点P处测得点A的俯角为，已知，求纪念碑的通高（结果精确到，参考数据：）． 【答案】纪念碑的通高约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点F作，交CD于点G，交AB于点H，根据题意可得，证明，设，则，得到，，过点A作，垂足为M，则四边形是矩形，在中，，根据，建立方程求解出x的值，即可解答． 【详解】解：过点F作，交CD于点G，交AB于点H，则 ． ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 过点A作，垂足为M，则四边形是矩形， ， 无人机在点E的正上方点P处测得点A的俯角为， ， ∴在中，， ， ， 解得， ， ， 纪念碑的通高约为． 21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； （3）若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 【答案】（1）每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元； 【小问2详解】 解：根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋， 可得； 根据按购买总金额的八折付款， 可得． 小问3详解】 解：根据题意得， ， 解得，， 所以，m的取值范围． 22. 如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为． （1）求图 中第一象限内抛物线的函数表达式． （2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米? （3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】（1）； （2）； （3）米． 【解析】 【分析】（）求出点的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把点坐标代入计算即可求解； （）利用（）中所得的二次函数解析式求出点坐标，得出的长，根据即可求解； （）设改进后的抛物线解析式为，把代入可得，进而得到，即可得到米，即得调整后水管的最大长度米； 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴点的坐标为， 由题意可得顶点的坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，有， 解得：，(不合，舍去)， ∴点坐标为， ∴， 此时有， 答：圆形水池的直径不能小于； 【小问3详解】 解：设改进后的抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴改进后的抛物线解析式为， ∴点的坐标为， 即米， ∴调整后水管的最大长度为米． 23. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______ （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）是； （2）见解析 （3）或15 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理； （1）①设纸片右下角点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得，即可；②过点C作于点H，则，根据勾股定理可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可； （2）以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可； （3）分两种情况讨论：当点落在长方形纸片的外部时；当点落在长方形纸片的内部时结合锐角三角函数，即可求解． 【小问1详解】 问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点， ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点作于点， 则， 则， 则的面积 故答案为：； 【小问2详解】 以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，作图过程如下： 小问3详解】 当点落在矩形内部时，如图，过点作于点，交 由题意得：， 点恰好落在的垂直平分线上，故， 在中，， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：，． 当点落在矩形外部时，如图， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：，则． 故的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$