第15讲 运用勾股定理解最短路径问题-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第15讲 运用勾股定理解最短路径问题 【苏科版】 ·模块一 翻折问题 ·模块二 饮水问题 ·模块三 动点问题 ·模块四 几何体中的最短路径问题 ·模块五 课后作业 模块一 翻折问题 【例1.1】（2023·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质． 【例1.2】（2023·江苏连云港·八年级校考期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题；连接．利用勾股定理求出，根据，由此可得结论． 【详解】解：连接． ∵将沿折叠，使点落在，连接， ∴ ∵ ∵正方形的边长是6，点是上一点，， ∴ ∴， 故答案为：． 【例1.3】（2023·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 （计算结果不取近似值）． 【答案】14﹣2 【分析】首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和． 【详解】解：当点M与点A重合时，AT取得最大值， 由轴对称可知，AT＝AB＝6； 当点N与点C重合时，AT取得最小值， 过点C作CD⊥于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝6， 由轴对称可知，CT＝BC＝8， 在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8， 则DT＝＝＝2， ∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2， 综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2． 故答案为：14﹣2． 【点睛】本题考查了勾股定理折叠变换的知识，解题关键是找到.AT最大值和最小值的两个极值点，注意翻折前后对应边相等． 【变式1.1】（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D是边上的点，，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠得到E、C关于对称，即可知道当点P在点D处时的周长最小，结合直角三角形所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案； 【详解】解：∵沿直线翻折，使点C落在边上的点E处， ∴，，，E、C关于对称， ∴当点P在点D处时的周长最小， ∵，， ∴，， ∴， 设， 在中， ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查三角形的折叠及勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，解题的关键之找到最小距离和的点． 【变式1.2】（2023·江苏镇江·八年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【答案】A 【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度 【详解】解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 D=AD=5， 在Rt△CD中，D2=C2+CD2， 即52=（5-B）2+32， 解得B=1，. 当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3， 则点A'B最小值和最大值分别为1和3 故选：A 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【变式1.3】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 模块二 饮水问题 【例2.1】（2023·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸的距离相等，即，若点A到河岸的距离为，C、D两点间的距离为，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 ． 【答案】/200米 【分析】根据轴对称的性质和” 两点之间线段最短，连接得到最短距离为，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作出A关于的对称点，连接与相交于M， 则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，正确的作出最短距离是解题的关键． 【例2.2】（2023·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)面出格点（顶点均在格点上）关于直线l对称的； (2)在l上画出点P，使最小，这个最短长度的平方是______. 【答案】(1)见解析 (2)画出点P见解析，32 【分析】（1）先找出各顶点关于直线l对称的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，则与直线l的交点即为点P，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点P即为所作． 由图可知的长度即为这个最短长度， ∵， ∴这个最短长度的平方是． 故答案为：32． 【点睛】本题考查作图—轴对称，轴对称的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 【例2.3】（2023·湖南株洲·八年级校考阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 【答案】简单应用：（1）6；（2）；拓展应用：千米 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质等等，正确理解题意利用轴对称的性质构造最短路径是解题的关键． 简单应用：（1）根据等边三角形的性质可得垂直平分线，则，故当三点共线且时，最小，即此时最小，则此时都是等边的高，即，故的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接，由轴对称的性质可得，故当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小，由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和的性质可得； 拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得，则，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：简单应用：（1）∵是等边三角形，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；    拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴货船行驶的水路长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴货船行驶的水路最短路程为千米． 【变式2.1】（2023·湖南湘西·八年级校考期中）如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路、，且，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．    (1)找到堆放点P的位置； (2)求的最小值． 【答案】(1)作点A的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求 (2)的最小值为． 【分析】（1）作点A的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求； （2）由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，的最小值，过作交的延长线于H，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，过作交的延长线于H，      ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为． 【变式2.2】（2023·广东深圳·八年级校联考期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， （米）． 故这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：． 【变式2.3】（2023·浙江台州·八年级校考期中）边长为4的等边三角形中，D，E，F分别是边上的点，且，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（　　） A．6 B．8 C．12 D．9 【答案】A 【分析】作点关于的对称点为，得到，即当四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，根据等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点为，则：， ∴， ∴当四点共线时，蚂蚁所走的路线最短， ∵边长为4的等边三角形中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同法可得：， ∴， ∴， 过点作，则：； ∴蚂蚁所走的最短路程为6； 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键是构造轴对称，利用轴对称解决线段和最小问题． 模块三 动点问题 【例3.1】（2023·江苏扬州·八年级校联考期中）在中，，，且满足，点Q是边上一动点，连接，过点A和C分别作，垂足分别为M，N，则当取得最大值时，的长 ．    【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据非负数的性质可得，，从而得到，再由勾股定理可得，再由三角形的面积可得，然后根据，可得的值最小时，的值最大，即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． ，，， ∴，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ∴当的值最小时，的值最大， 根据垂线段最短可知的最小值为， 的最大时，的值为． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质，三角形面积，垂线段最短，推出当的值最小时，的值最大是解题的关键． 【例3.2】（2023·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（   ）    A．9.6 B．10 C．12 D．12.8 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，由作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则．可知当点与点重合，点于点重合时，取得最小值，最小值为线段的长，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点，交于点，    由作图过程可知，为的平分线， ， 垂直平分， ，，． 当点与点重合，点于点重合时，，为最小值． 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 的最小值为9.6． 故选：A． 【例3.3】（2023·浙江绍兴·八年级校联考期中）问题背景：如图1，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝60°，连接AD，求AD的最大值． 解决方法：以AC为边作等边△ACE，连接BE，推出BE＝AD，当点E在BA的延长线上时，线段AD取得最大值4 问题解决：如图2，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝90°，连接AD，当AD取得最大值时，∠ACD的度数为 ． 【答案】112.5° 【分析】以AC为边作等腰直角三角形ACE，且AC=CE，∠ACE=90°，利用勾股定理求出AE，证明△ECB≌△ACD，得到BE=AD，当点E、A、B在同一直线上时，BE最大，即AD最大，根据三角形内角和求出∠ACB，由此得到答案． 【详解】解：以AC为边作等腰直角三角形ACE，且AC=CE，∠ACE=90°， ∵CE=AC＝2， ∴， ∵BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠ACE=∠BCD， ∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即BCE=∠ACD， ∴△ECB≌△ACD，   ∴BE=AD， 当点E、A、B在同一直线上时，BE最大，即AD最大， 此时∠CAB=180°-45°=135°， ∵AB=AC， ∴∠ACB=， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=112.5°， 故答案为：112.5°． ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式3.1】（2023·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用以及三角形面积公式，明确是 的最小值是解题的关键． 作于，交于，此时 ，根据垂线段最短，则是的最小值，根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴是关于中线的对称点， 作于，交于， 此时 是的最小值， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值为， 故选：C． 【变式3.2】（2023·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 18 【分析】作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 的最小值为3， 当时，， 的最小值为18； ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 当时，， 故答案为：18，． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，证明是解题的关键． 【变式3.3】（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，先证明，得到，，根据当、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出长，即可求出长度的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，， ，， ， ， ， ，， ∵ ∴， ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， ∵点B与点的关于对称， ，， ， 当B、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ，， ， ， 由对称性可知，， ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．作恰当辅助线是解题的难点． 模块四 几何体中的最短路径问题 【例4.1】（2023·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出 ，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，    由题意得：，， 由勾股定理得：， 故选：C． 【例4.2】（2023·四川眉山·八年级统考期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，从不同的方向看几何体，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，将木块展开， 由题意得，展开后的长方形的长为，宽为， ∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为， 故选A．    【例4.3】（2023·山西太原·八年级统考期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开一最短路径问题，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长，再根据勾股定理求出的长即可，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长， 由图可知：， ， 在中， ， 则它爬行的最短距离为， 故答案为：． 【变式4.1】（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　）    A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故选：A．    【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 【变式4.2】（2023·重庆南岸·八年级校考期末）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．    【答案】10 【分析】如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，由题意知，，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式4.3】（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ∴A ； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 模块五 课后作业 1．（2023·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴；即：的最小值为； 故选D． 2．（2023·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在中，，，，点D是上的一个动点（点D与点B不重合）），连接，作点B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 连接交于，如图， ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积、勾股定理等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 3．（2023·山东青岛·八年级统考期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为 （取3）． 【答案】15 【分析】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示： ∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆 ∴， ∵， ， ∴， 在中， ． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解． 4．（2023·福建福州·八年级福州华伦中学校考开学考试）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解． 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则，    ， ，，， ， ， ， ， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则，    作于点G，于点H，则，， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键． 5．（2023·四川乐山·八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 cm． 【答案】 【分析】根据从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，则展开后，，由勾股定理计算出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点， 展开后，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是此题的关键． 6．（2023·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在直角中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理，三角形不等式计算即可，熟练掌握三角形不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， 此时的最小值为， 故答案为：． 7．（2023·山东青岛·八年级统考期末）如图，长方形中，，，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接 ，则 的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接．利用勾股定理求出，根据 ，由此可得结论． 【详解】解：如图，连接． 四边形是长方形， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 将沿折叠，使点落在， ， 的最小值为． 故答案为：．    【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2023·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，则的长度即为与的和的最小值，再求出的长度，得到，即可得到答案； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，    ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， 即就是的最小值， ∵，E为的中点，， ∴． ∴的最小值是12． ∵， ∴， 解得， ∴ ∴的最小值是，即周长的最小值是． （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值，    ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 9．（2023·广东梅州·八年级校考期中）如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， ，， 当最小时，最大， 当时最小， 又 ，解得， 的最小值为， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键． 10．（2023·陕西西安·八年级统考期中）问题提出 （1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题探究 （2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过A作垂线，交延长线于C，连接，根据两点之间线段最短，得到三点共线时，的值最小为的长，勾股定理进行求解即可； （2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，得到，进而得到当，P，B共线时，最小为的长，再利用勾股定理求解即可； （3）根据为定值，得到的最小值在最小时取得，取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，得到，即：的最小值为，分别求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）过A作垂线，交延长线于C，如图：    由图可知，， ∴A，P，B共线时，最小， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即最小值是； （2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，如图：    由对称的性质可知，，， ∴， ∴当，P，B共线时，最小， 同（1）可知，四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值是； （3）∵长度一定， ∴的最小值在最小时取得， 取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，如图：则：，即：的最小值为，    ∴ 由对称的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小为． 【点睛】本题考查两点之间线段最短，成轴对称的性质，勾股定理．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用轴对称的性质，构造直角三角形． 11.（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，且满足，点是边上一动点，连接，过点和分别作，，垂足分别为，，则当取得最大值时，的长为 ． 【答案】8 【分析】过点作于点，过点作于点，根据非负数的性质可得，，从而得到，再由勾股定理可得，再由三角形的面积可得，然后根据，可得的值最小时，的值最大，即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． ， 又 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 的值最小时，的值最大， 根据垂线段最短可知的最小值为， 的最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质是解题的关键． 12.（2023·江苏南京·八年级校考期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 13.（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，点D为上一点且，点F和点E分别是线段和上一动点，连接，，，则三角形周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，勾股定理； 作D关于的对称点G，作D关于的对称点H，连接交于F交于E，则此时的周长最小，且周长的最小值为的长度，求出，，，然后根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图，作D关于的对称点G，作D关于的对称点H，连接交于F交于E，则此时的周长最小，且周长的最小值为的长度，    ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即三角形周长的最小值为， 故答案为：． 14．（2023·全国·八年级专题练习）如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为 ．        【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值，利用勾股定理即可求出的长即的值，延长交于点，当移动到点时，值最大，过点作，利用勾股定理即可求出的长即的值，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，    则点即为所求点， 过点作的延长线于点，则的长即为的最小值为， ，， ， ， 的最小值为， 如图，延长交于点，    ，， 当移动到点时，值最大， ，， 过点作，则，， ， ， 的最大值为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键． 15．（2023·江苏无锡·八年级统考期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 运用勾股定理解最短路径问题 【苏科版】 ·模块一 翻折问题 ·模块二 饮水问题 ·模块三 动点问题 ·模块四 几何体中的最短路径问题 ·模块五 课后作业 模块一 翻折问题 【例1.1】（2023·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023·江苏连云港·八年级校考期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【例1.3】（2023·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 （计算结果不取近似值）． 【变式1.1】（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D是边上的点，，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 ．    【变式1.2】（2023·江苏镇江·八年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【变式1.3】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    模块二 饮水问题 【例2.1】（2023·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸的距离相等，即，若点A到河岸的距离为，C、D两点间的距离为，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 ． 【例2.2】（2023·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)面出格点（顶点均在格点上）关于直线l对称的； (2)在l上画出点P，使最小，这个最短长度的平方是______. 【例2.3】（2023·湖南株洲·八年级校考阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 【变式2.1】（2023·湖南湘西·八年级校考期中）如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路、，且，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．    (1)找到堆放点P的位置； (2)求的最小值． 【变式2.2】（2023·广东深圳·八年级校联考期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米． 【变式2.3】（2023·浙江台州·八年级校考期中）边长为4的等边三角形中，D，E，F分别是边上的点，且，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（　　） A．6 B．8 C．12 D．9 模块三 动点问题 【例3.1】（2023·江苏扬州·八年级校联考期中）在中，，，且满足，点Q是边上一动点，连接，过点A和C分别作，垂足分别为M，N，则当取得最大值时，的长 ．    【例3.2】（2023·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（   ）    A．9.6 B．10 C．12 D．12.8 【例3.3】（2023·浙江绍兴·八年级校联考期中）问题背景：如图1，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝60°，连接AD，求AD的最大值． 解决方法：以AC为边作等边△ACE，连接BE，推出BE＝AD，当点E在BA的延长线上时，线段AD取得最大值4 问题解决：如图2，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝90°，连接AD，当AD取得最大值时，∠ACD的度数为 ． 【变式3.1】（2023·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【变式3.2】（2023·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【变式3.3】（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 模块四 几何体中的最短路径问题 【例4.1】（2023·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【例4.2】（2023·四川眉山·八年级统考期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【例4.3】（2023·山西太原·八年级统考期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【变式4.1】（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　）    A． B．3 C． D．5 【例4.2】（2023·四川眉山·八年级统考期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【例4.3】（2023·山西太原·八年级统考期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 模块五 课后作业 1．（2023·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 2．（2023·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在中，，，，点D是上的一个动点（点D与点B不重合）），连接，作点B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 3．（2023·山东青岛·八年级统考期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为 （取3）． 4．（2023·福建福州·八年级福州华伦中学校考开学考试）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ．    5．（2023·四川乐山·八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 cm． 6．（2023·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在直角中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 7．（2023·山东青岛·八年级统考期末）如图，长方形中，，，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接 ，则 的最小值是 ．    8．（2023·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 9．（2023·广东梅州·八年级校考期中）如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为 ． 10．（2023·陕西西安·八年级统考期中）问题提出 （1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题探究 （2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）    11.（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，且满足，点是边上一动点，连接，过点和分别作，，垂足分别为，，则当取得最大值时，的长为 ． 12.（2023·江苏南京·八年级校考期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 13.（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，点D为上一点且，点F和点E分别是线段和上一动点，连接，，，则三角形周长的最小值为 ．    14．（2023·全国·八年级专题练习）如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为 ．        15．（2023·江苏无锡·八年级统考期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$