第14讲 勾股定理的逆定理-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第14讲 勾股定理的逆定理 【苏科版】 ·模块一 勾股定理的逆定理 ·模块二 勾股定理的逆定理实际应用 ·模块三 课后作业 模块一 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 条件 在中，. 结论 区别 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 【考点1 逆命题】 【例1.1】（2023·河南南阳·八年级统考期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17 B．直角三角形的三条边的比是 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【例1.2】（2023·八年级课时练习）下列说法中，正确的是（  ） A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【例1.3】（2023·八年级课时练习）把命题“如果a>b，那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……，那么……”的形式: 【变式1.1】（2023·山东枣庄·八年级校联考期末）下列定理中逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 【变式1.2】（2023·浙江杭州·八年级期末）下列命题中逆命题是真命题的是 ．（写序号） （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）等腰三角形两腰上的高线相等； （3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足； （4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． （5）全等三角形的面积相等． 【变式1.3】（2023·八年级课时练习）命题“两条直线相交，只有一个交点”的逆命题是________________________，它是________命题． 【考点2 勾股定理的逆定理】 【例2.1】（2023·四川达州·八年级校考期末）下列四组数，分别以各组数中的三个数据为边长构建三角形，不能组成直角三角形的一组是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2.2】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【例2.3】（2023·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，，则的度数是 ．    【变式2.1】（2023·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中：①；②；③；④．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.2】（2023·四川达州·八年级校考期末）在中，，，，则 ． 【变式2.3】（2023·上海杨浦·八年级统考期末）、、是三角形的三个顶点，则是 三角形． 【考点3 勾股数】 【例3.1】（2023·山西临汾·八年级校联考阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，9，12 B．，， C．52，122，132 D．7，24，25 【例3.2】（2023·辽宁朝阳·八年级统考期末）写出一组全是偶数的勾股数是 ． 【例3.3】（2023·八年级单元测试）观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 【变式3.1】（2023·江苏南京·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．8， 15， 17 【变式3.2】（2023·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）下列各组数是勾股数的是 （填序号）． ①6，8，10；②1.5，2，2.5；③，，；④7，24，25；⑤，， 【刷易错 忽略勾股数为正整数致错】 【题型1】（2023·河北保定·八年级校考期中）有一组勾股数，其中的两个数分别是9和15，则第三个数是（    ） A．12 B． C．6 D．12或 【题型2】（2023·安徽六安·八年级校考期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【题型3】（2023·陕西榆林·八年级统考期末）若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 ． 模块二 勾股定理的逆定理实际应用 【例1】（2023·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．    【例2】（2023·四川绵阳·八年级期末）如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是 ． 【例3】（2023·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米． 【变式1】（2023·北京房山·八年级统考期末）在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 【变式2】（2023·八年级课时练习）如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为 ． 模块三 课后作业 1．（2023·新疆伊犁·八年级统考期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 2．（2023·广西南宁·八年级阶段练习）三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）下列命题： ①全等三角形的对应角相等； ②一个正数的绝对值等于本身 ③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形． 其中逆命题是真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（　　）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 5．（2023·山东德州·八年级统考期中）已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若为直角三角形，则 D．若，则是直角三角形 6．（2023·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ） A．南偏东30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏东60° 7．（2023·山西晋中·八年级统考阶段练习）△ABC中，若AC2+AB2=BC2，则∠B+∠C= . 8．（2023·八年级课时练习）命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是________，它是________命题． 9．（2023·陕西西安·八年级统考期末）已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为 ． 10．（2023·湖北襄阳·八年级统考期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，，，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要 元． 11．（2023·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为 ． 12．（2023·广东广州·八年级统考期末）如图，在中，于点，，，，求的度数．    13．（2023·重庆梁平·八年级统考期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点、处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？    14．（2023·河北保定·八年级统考期末）如图，四边形是某校在校园一角开辟的一块四边形“试验田”，经过测量得，，，，．    (1)求的长度和的度数； (2)求四边形“试验田”的面积． 15．（2023·贵州贵阳·八年级统考期末）如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．      (1)求的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 勾股定理的逆定理 【苏科版】 ·模块一 勾股定理的逆定理 ·模块二 勾股定理的逆定理实际应用 ·模块三 课后作业 模块一 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 条件 在中，. 结论 区别 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 【考点1 逆命题】 【例1.1】（2023·河南南阳·八年级统考期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17 B．直角三角形的三条边的比是 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【答案】B 【分析】写出下面命题的逆命题，之后根据等腰三角形，全等三角形的性质，直角三角形的判定，平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：A、等腰三角形的其周长为17，两边长不一定是3和7，是假命题；； B、若三角形三条边的比是，则三角形一定是直角三角形，是真命题； C、面积相等的三角形不一定是全等三角形，是假命题； D、若，则，是假命题． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【例1.2】（2023·八年级课时练习）下列说法中，正确的是（  ） A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】A 【详解】试题解析：A. 每一个命题都有逆命题，正确； B. 假命题的逆命题不一定是假命题，故错误； C. 定理的逆命题不一定正确，故错误； D. 所有的命题都有逆命题，故错误. 故选A. 【例1.3】（2023·八年级课时练习）把命题“如果a>b，那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……，那么……”的形式: 【答案】如果ac＞bc（c≠0），那么a＞b 【分析】交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果a＞b，那么ac＞bc（c≠0）”的逆命题是“如果ac＞bc（c≠0），那么a＞b”． 故答案为如果ac＞bc（c≠0），那么a＞b． 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题． 【变式1.1】（2023·山东枣庄·八年级校联考期末）下列定理中逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】写出所有命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，是真命题； B、逆命题为：在一个三角形中如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确，是真命题； C、逆命题为：两直线平行，同位角相等，正确，为真命题； D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题并进行判断，难度不大． 【变式1.2】（2023·浙江杭州·八年级期末）下列命题中逆命题是真命题的是 ．（写序号） （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）等腰三角形两腰上的高线相等； （3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足； （4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． （5）全等三角形的面积相等． 【答案】（1）、（2）、（4） 【分析】先写出每个命题的逆命题，再对逆命题进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题； （2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题； （3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足，逆命题是若三条线段满足，则这三条线段是三角形的三边，是假命题； （4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题； （5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题； 故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】本题考查的是逆命题的概念、涉及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、三角形的三边的关系、角平分线的的判定、全等三角形的判定等知识，到命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式1.3】（2023·八年级课时练习）命题“两条直线相交，只有一个交点”的逆命题是________________________，它是________命题． 【答案】如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交；真 【详解】将结论“只有一个交点”变为题设，将题设“两条直线相交”变为结论． 【考点2 勾股定理的逆定理】 【例2.1】（2023·四川达州·八年级校考期末）下列四组数，分别以各组数中的三个数据为边长构建三角形，不能组成直角三角形的一组是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用． 如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不合题意； B、，能组成直角三角形，故此选项不合题意； C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2.2】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】连接，利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【例2.3】（2023·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，，则的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】根据中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D得，，则，即可得． 【详解】解：∵中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 【变式2.1】（2023·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中：①；②；③；④．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断，即可． 【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，不符合题意； ②由题意知，，则是不符合条件的直角三角形，符合题意； ③由题意知，则是符合条件的直角三角形，不符合题意； ④由题意知，则是符合条件的直角三角形，不符合题意； 即符合要求的只有1个， 故选：A． 【变式2.2】（2023·四川达州·八年级校考期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．解决问题的关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． 【变式2.3】（2023·上海杨浦·八年级统考期末）、、是三角形的三个顶点，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】求出的长，再利用勾股定理逆定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查三角形的判定，勾股定理以及逆定理．解题的关键是掌握两点间的距离公式． 【考点3 勾股数】 【例3.1】（2023·山西临汾·八年级校联考阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，9，12 B．，， C．52，122，132 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股定理逆定理逐个判断即可． 【详解】解： ，不能组成直角三角形，故选项A不符合题意； ，，不是整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意； ，不能组成直角三角形，故选项C不符合题意； ，能组成直角三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 【例3.2】（2023·辽宁朝阳·八年级统考期末）写出一组全是偶数的勾股数是 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数可得答案． 【详解】解：∵62+82＝102， ∴全是偶数的勾股数可以是6，8，10， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了勾股数，正确把握勾股数的定义是解题关键 【例3.3】（2023·八年级单元测试）观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 【答案】 11，60，61 ，， 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 【变式3.1】（2023·江苏南京·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．8， 15， 17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义逐一判断即可求解，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、勾股数是一组正整数，则原选项不是勾股数，故不符合题意； B、勾股数是一组正整数，则原选项不是勾股数，故不符合题意； C、，则不是勾股数，不符合题意； D、，则是勾股数，故符合题意； 故选D． 【变式3.2】（2023·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）下列各组数是勾股数的是 （填序号）． ①6，8，10；②1.5，2，2.5；③，，；④7，24，25；⑤，， 【答案】①④/④① 【分析】根据勾股数的特点判断即可． 【详解】①．，是勾股数； ②．1.5，2，2.5中，1.5，2.5不是正整数，故不是勾股数； ③．，不是勾股数； ④．，是勾股数； ⑤．，且，不是正整数，故不是勾股数． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【刷易错 忽略勾股数为正整数致错】 【题型1】（2023·河北保定·八年级校考期中）有一组勾股数，其中的两个数分别是9和15，则第三个数是（    ） A．12 B． C．6 D．12或 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，设第三个数为，根据勾股定理可得：①，②．再解即可，注意勾股数为正整数． 【详解】解：设第三个数为， 是一组勾股数， ①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不合题意，舍去）， 故选：A． 【题型2】（2023·安徽六安·八年级校考期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【答案】5 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 【题型3】（2023·陕西榆林·八年级统考期末）若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 ． 【答案】10 【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当8最大时，即可求解． 【详解】解：当a最大时，， 当8最大时， ，不是正整数， 所以a的值为10． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 模块二 勾股定理的逆定理实际应用 【例1】（2023·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．    【答案】11700 【分析】连接，先利用勾股定理求出的长，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可求出四边形的面积，再求出答案即可． 【详解】解：连接，    、米，米， （米）， 米，米， ， 是直角三角形， 四边形的面积为： （平方米）， 则（元）， 即铺这块空地需要投入11700元， 故答案为：11700． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【例2】（2023·四川绵阳·八年级期末）如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是 ． 【答案】北偏西18° 【分析】由AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2． 【详解】解：如图，过点B作BD∥AE， ∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里， ∴AC2=AB2+BC2， ∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°， 又∵B点在A的北偏东72°方向， ∴∠1=90°-72°=18°， ∴∠2=∠1=18°， 即快艇位于B的北偏西18°的方向上． 故答案为：北偏西18°． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解决航海问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质和勾股定理的逆定理的应用． 【例3】（2023·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形且； 设千米，则千米， 在中，由已知得， 由勾股定理得：， ∴，解得x=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键． 【变式1】（2023·北京房山·八年级统考期末）在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 【变式2】（2023·八年级课时练习）如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，三角形面积减去三角形面积即可确定出菜地面积． 【详解】解：连接， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， ， 为直角三角形， ∴这块菜地的面积为 ． 故答案为∶24 【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 模块三 课后作业 1．（2023·新疆伊犁·八年级统考期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理可判定A、B；根据三角形内角和定理求出中最大的内角的度数即可判断C、D． 【详解】解：A、， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； B、∵， 设， ∴， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； C、 ，， ，即 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； D、 ， 设， ， ， 解得， 故该选项不能判断为直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．（2023·广西南宁·八年级阶段练习）三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形． 故选：B． 3．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）下列命题： ①全等三角形的对应角相等； ②一个正数的绝对值等于本身 ③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形． 其中逆命题是真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质、绝对值的意义、勾股定理的逆定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①逆命题为对应角相等的两三角形全等，错误，是假命题，不符合题意； ②逆命题为绝对值等于本身的数是正数，错误，是假命题，不符合题意； ③逆命题为：若直角三角形的三边长a、b、c，则满足a2＋b2＝c2，正确，是真命题，符合题意． 真命题的有1个， 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、绝对值的意义、勾股定理的逆定理，难度不大． 4．（2023·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（　　）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足，则，即为直角三角形，解出的长满足，进而得出点F的位置． 【详解】解：由题意可得，． ∵以为边能构成一个直角三角形，且 ∴， 即， 解得， ∴F点的位置如图所示，共2处．    故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 5．（2023·山东德州·八年级统考期中）已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若为直角三角形，则 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】先写出每个命题的逆命题，然后利用直角三角形的性质和判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A选项的逆命题为：若为直角三角形，则，不成立，不合题意； B选项的逆命题为：若，则，不成立，不合题意； C选项的逆命题为：若，则为直角三角形， ∵ ∴，故为直角三角形， ∴选项成立，符合题意； D、选项的逆命题为：若是直角三角形，则，不成立，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握直角三角形的性质和判定方法是解题关键． 6．（2023·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ） A．南偏东30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏东60° 【答案】A 【分析】由路程速度时间可得PA、PB长，根据勾股逆定理可知是直角三角形，即，易知乙船的航行方向. 【详解】解：如图 由题意可得 是直角三角形，即， 所以乙船的航行方向是南偏东30°. 故选：A. 【点睛】本题考查了勾股定理在方位角中的应用，灵活利用勾股逆定理判定直角三角形是解题的关键. 7．（2023·山西晋中·八年级统考阶段练习）△ABC中，若AC2+AB2=BC2，则∠B+∠C= . 【答案】90 【分析】根据题意可知，三角形为直角三角形，根据等式可以判断∠A为90°，即可根据三角形的内角和定理计算得到∠B+∠C的度数. 【详解】解：∵AC2+AB2=BC2 ∴∠A=90° ∴∠B+∠C=90° 故答案为：90 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，根据定理得出最长边所对的角为直角是解题的关键. 8．（2023·八年级课时练习）命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是________，它是________命题． 【答案】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；真 【分析】把原命题的结论作为题设，把题设作为结论可得到原命题的逆命题，易知此命题为真命题． 【详解】逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°； 它是真命题． 故答案为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；真 【点睛】本题考查了写出命题的逆命题及判断命题的真假，知道把一个命题的条件与结论互换得到它的逆命题是关键． 9．（2023·陕西西安·八年级统考期末）已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题目中的数据和勾股定理的逆定理，可以判断该三角形的形状，然后即可求得该三角形的面积； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为，，， 因为, ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 10．（2023·湖北襄阳·八年级统考期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，，，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要 元． 【答案】3000 【分析】根据勾股定理的逆定理得出这块空地是直角边为和的直角三角形，求出这块空地的面积，然后再计算需要的费用即可． 【详解】解：∵， ∴这块空地是直角边为和的直角三角形， ∴这块空地的面积为， ∴绿化这块空地需要的费用为元， 故答案为：3000． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 11．（2023·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求． 【详解】解：连接BD， ∵点E为AB的中点，于点E，，， ∴EB＝AB＝3， ∴， ∵，即， ∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2023·广东广州·八年级统考期末）如图，在中，于点，，，，求的度数．    【答案】． 【分析】利用勾股定理求得，，推出，可证明是直角三角形，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 13．（2023·重庆梁平·八年级统考期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点、处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？    【答案】西北方向 【分析】由题意可知，、、的长，再利用勾股定理逆定理，得到，然后由方位角可知的度数，求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，n，n，n， ，即， ， 由“远航”号沿东北方向航行可知，， ， “海天”号沿西北方向航行． 【点睛】本题考查了方位角，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理发现直角三角形是解题关键． 14．（2023·河北保定·八年级统考期末）如图，四边形是某校在校园一角开辟的一块四边形“试验田”，经过测量得，，，，．    (1)求的长度和的度数； (2)求四边形“试验田”的面积． 【答案】(1)的长度为， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求得的度数； （2）四边形“试验田”的面积等于，求得即可． 【详解】（1）在中，，， 根据勾股定理可得根据勾股定理可得， 即的长度为． 在中，，，， ， ； （2）， 即四边形“试验田”的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．（2023·贵州贵阳·八年级统考期末）如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．      (1)求的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？ 【答案】(1) (2)符合，理由见解析 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求出； （2）根据勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，． ， ． （2）解：由（1）知， 在中，， ， 由勾股定理的逆定理得，是直角三角形， ， ． 故该车符合安全标准． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$