第13讲 勾股定理-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第13讲 勾股定理 【苏科版】 ·模块一 勾股定理 ·模块二 勾股定理的应用 ·模块三 课后作业 模块一 勾股定理 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么. 【考点1 勾股定理】 【例1.1】（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．13 B． C．13或15 D．15 【例1.2】（2023八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，，依据尺规作图的方法可以计算出的长为（    ） A． B．1 C． D． 【例1.3】（2023·江西宜春·八年级校联考期末）在中，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，那么平行线a、b之间的距离为（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式1.2】（2023·河南郑州·八年级校考期中）已知a、b、c分别为中，，的对边，下列说法错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．总有 【变式1.3】（2023·贵州六盘水·八年级统考期中）在中，斜边，则的值为（    ） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 【变式1.4】（2023·河南郑州·八年级统考期末）小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（    ） A．10根 B．14根 C．24根 D．30根 【考点2 勾股定理与图形的面积】 【例2.1】（2023·吉林长春·八年级统考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形； （2）此三角形的面积是 　 　． 【例2.2】（2023·北京丰台·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【例2.3】（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．    【变式2.1】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为 ． 【变式2.2】（2023·江苏盐城·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都是1． ①在图中画出一个面积是2的直角三角形，并用字母标示顶点； ②在图中画出一个面积是2的正方形，并用字母标示顶点． 【变式2.3】（2023·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 【考点3 勾股定理的验证】 【例3.1】（2023·北京海淀·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ． 【例3.2】（2023·山东济宁·八年级统考期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【例3.3】（2023·全国·八年级假期作业）在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”． (1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)； (2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 【变式3.1】（2023·广东深圳·八年级校考期中）1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．    (1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）： 方法1：________；方法2：________． (2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 【变式3.2】（2023·山东临沂·八年级统考期中）用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（2023·江苏泰州·八年级统考期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2． 【刷易错 没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论出错】 【题型1】（2023·湖北咸宁·八年级阶段练习）一直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（   ） A．13 B． C．13或 D．7 【题型2】（2023·福建莆田·八年级校考阶段练习）一直角三角形的两边分别是2和3，则第三边是(      ) A．2或3 B． C． D．或 【题型3】（2023·山东枣庄·八年级统考期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm， 则以第三边为边长的正方形的面积为 模块二 勾股定理的应用 【考点1 利用勾股定理解决实际问题】 【例1.1】（2023·新疆伊犁·八年级统考期末）如图示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树在折断前的高度为(   ) A．5米 B．米 C．米 D．米 【例1.2】（2023·湖北孝感·八年级校联考期中）校园内有两棵树，相距8m，一棵树高为13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【例1.3】（2023·全国·八年级统考专题练习）一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）    A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm 【变式1.1】（2023·江苏淮安·八年级统考期末）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB． 【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【变式1.3】（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【考点2 利用勾股定理在数轴上表示实数】 【例2.1】（2023八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是 . 【例2.2】（2023·福建泉州·八年级校考期末）（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹） （2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______． 【例2.3】（2023·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，在数轴上，以B点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是 ． 【变式2.1】（2023·北京海淀·八年级北京二十中校考期中）如图，边长为1的正方形，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则表示的数是 ．    【变式2.2】（2023·河南南阳·八年级统考期末）如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（    ）        A．2 B． C． D． 【变式2.3】2020上·浙江杭州·八年级期末）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为1个长度单位），并用直尺和圆规把边长表示的数在数轴上表示出来．    模块三 课后作业 1．（2023·安徽芜湖·八年级统考期末）在中，，，（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 2．（2023·河南开封·八年级统考期末）如图，正方形的面积为7，是数轴上表示的点，以为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·新疆伊犁·八年级统考期末）在中， 分别表示的对边，则下列不正确的式子是(   ) A． B． C． D． 4．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得．证明的这个定理是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．祖暅原理 D．费马定理 5．（2023·山西大同·八年级统考期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·云南昆明·八年级统考期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A．  B．  C．   D．   7．（2023·山东济宁·八年级统考期末）一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 8．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）中，，，，则的面积为 ． 9．（2023·山东聊城·八年级统考期末）若一个直角三角形两边的长分别为2和，则第三条边的长为 ． 10．（2023·湖南长沙·八年级校考期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 11．（2023·吉林松原·八年级统考期末）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 米．    12．（2023·广东广州·八年级统考期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条 米．（结果保留根号） 13．（2023·安徽合肥·八年级统考期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 14．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为．    (1)在正方形网格中，画出，使，，； (2)计算 的面积． 15．（2023·江苏南京·八年级校考期中）在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 勾股定理 【苏科版】 ·模块一 勾股定理 ·模块二 勾股定理的应用 ·模块三 课后作业 模块一 勾股定理 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么. 【考点1 勾股定理】 【例1.1】（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．13 B． C．13或15 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理解答即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】∵一直角三角形两直角边长分别为5和12， ∴由勾股定理得，斜边长， 故选：A． 【例1.2】 【例1.3】（2023·江西宜春·八年级校联考期末）在中，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得出，，则是等腰直角三角形，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∴，，故A选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1.1】（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，那么平行线a、b之间的距离为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，勾股定理，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案，解题的关键是掌握平行线之间距离的定义． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离， 故选：B． 【变式1.2】（2023·河南郑州·八年级校考期中）已知a、b、c分别为中，，的对边，下列说法错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．总有 【答案】D 【分析】根据三角形书写定义及边角表示直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，则，正确不符合题意； ，则，正确不符合题意； ，则，正确不符合题意； 未说明直角，错误，故符合题意； 故选D； 【点睛】本题考查勾股定理及三角形书写及边角表示，解题的关键是熟练掌握三角形角的对边可以用对角顶点字母的小写字母表示． 【变式1.3】（2023·贵州六盘水·八年级统考期中）在中，斜边，则的值为（    ） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1.4】（2023·河南郑州·八年级统考期末）小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（    ） A．10根 B．14根 C．24根 D．30根 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量．再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量． 【详解】解：直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒， ∴由勾股定理，得到斜边需用：， ∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理求得斜边的长度． 【考点2 勾股定理与图形的面积】 【例2.1】（2023·吉林长春·八年级统考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形； （2）此三角形的面积是 　 　． 【答案】（1）画图见解析；（2） 【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图，即为所求作的三角形， 其中： （2） 故答案为： 【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键. 【例2.2】（2023·北京丰台·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可． 【详解】=3， ， 故填：＞． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积． 【例2.3】（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了根据网格求三角形面积，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”．用割补法即可求出的面积，根据勾股定理得出，再根据三角形的面积公式即可求出点A到边的距离． 【详解】解：根据题意可得： ， 根据勾股定理可得：， 设点A到边的距离为h， ， 则， 解得：， 故答案为：，． 【变式2.1】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为 ． 【答案】45 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°， ∴MN2=CM2+CN2=32+62=45， ∴正方形MNPQ的面积=MN2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2.2】（2023·江苏盐城·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都是1． ①在图中画出一个面积是2的直角三角形，并用字母标示顶点； ②在图中画出一个面积是2的正方形，并用字母标示顶点． 【答案】如图所示： 【详解】试题分析：（1）根据直角三角形的面积公式即可得到结果； （2）根据正方形的面积公式结合勾股定理即可得到结果. 考点：基本作图 点评：解答本题的关键是熟练掌握格点的特征，正确运用勾股定理表示出正方形. 【变式2.3】（2023·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；；（3） 【分析】（1）根据题意，画出锐角三角形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形，再利用割补法求出三角形的面积； （2）构建长为a，宽为b的长方形网格图，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求；    理由：根据题意得：的面积为； （2）如图，即为所求；    理由：根据题意得：，，， 的面积为； （3）解：如图，网格中小长方形的长为a，宽为b，    根据题意得：， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【考点3 勾股定理的验证】 【例3.1】（2023·北京海淀·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ． 【答案】 【分析】五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：如图所示： ①， ②． 故答案为：，． 【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 【例3.2】（2023·山东济宁·八年级统考期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值． 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， ∵S1+S2+S3＝45， ∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45， 即3S2＝45， 解得S2＝15． 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【例3.3】（2023·全国·八年级假期作业）在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”． (1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)； (2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，即可证明； （2）可以拼成一个边长是的正方形，它由两个边长分别是的正方形和两个长、宽分别是的长方形组成； 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积为：， 中间小正方形面积为：， 四个直角三角形面积和为：， 由图形关系可知：大正方形面积=小正方形面积+四直角三角形面积， 则有：， 即：； （2）如图示： 大正方形边长为 所以面积为：， 因为它的面积也等于两个边长分别为和两个长为宽为的矩形面积之和，即， 所以有：成立． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式3.1】（2023·广东深圳·八年级校考期中）1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．    (1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）： 方法1：________；方法2：________． (2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； （2）由（1）可得，即可． 【详解】（1）解：由题得：梯形面积为； 此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 即． 【点睛】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 【变式3.2】（2023·山东临沂·八年级统考期中）用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题． 【详解】解：观察图形可知： 空洞面积为a2+b2+ab=c2+ab， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 【变式3.3】（2023·江苏泰州·八年级统考期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2． 【答案】见解析 【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出S四边形ADEB，两者相等，整理即可得证． 【详解】证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a ∵S四边形ADEB ， S四边形ADEB 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形是解题的关键． 【刷易错 没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论出错】 【题型1】（2023·湖北咸宁·八年级阶段练习）一直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（   ） A．13 B． C．13或 D．7 【答案】C 【分析】此题要考虑两种情况：当所求的边是斜边时；当所求的边是直角边时． 【详解】由题意得：当所求的边是斜边时，则有=13； 当所求的边是直角边时，则有=． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，难度不大，但要注意此类题的两种情况，很多学生只选13． 【题型2】（2023·福建莆田·八年级校考阶段练习）一直角三角形的两边分别是2和3，则第三边是(      ) A．2或3 B． C． D．或 【答案】D 【分析】设第三边为x，分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题． 【详解】解：第三边为x， 当3为斜边时， 即，解得：x=， 当x为斜边时， 即， 解得：x=， 即x为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,分类讨论是解题关键． 【题型3】（2023·山东枣庄·八年级统考期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm， 则以第三边为边长的正方形的面积为 【答案】7cm2或25cm2． 【分析】分两种情况考虑：当4cm为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积． 【详解】解：若4cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42﹣32=16﹣9=7cm2； 若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：x2=32+42=9+16=25， 此时以斜边为边长的正方形的面积为x=25． 综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2． 故答案为：7cm2或25cm2． 模块二 勾股定理的应用 【考点1 利用勾股定理解决实际问题】 【例1.1】（2023·新疆伊犁·八年级统考期末）如图示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树在折断前的高度为(   ) A．5米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．在中，根据勾股定理可求得的长，而树的高度为，的长已知，由此得解． 【详解】解：中，米，米； 由勾股定理，得：米； ∴树的高度为：米； 故选：D． 【例1.2】（2023·湖北孝感·八年级校联考期中）校园内有两棵树，相距8m，一棵树高为13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树高度相差为AE=13-7=6m，之间的距离为BD=CE=8m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=m，即小鸟至少要飞10m． 【点睛】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可． 【例1.3】（2023·全国·八年级统考专题练习）一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）    A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm 【答案】C 【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC＝24cm，CB＝32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度． 【详解】解：如图，AC为圆桶底面直径， ∴AC＝24cm，CB＝32cm， ∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度， ∴AB＝＝40cm． 故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm． 故选：C．    【点睛】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果． 【变式1.1】（2023·江苏淮安·八年级统考期末）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB． 【答案】60m 【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得： AB＝（m）． ∴该河流的宽度为60 m． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【答案】云梯不能到达城墙的顶端，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出斜边与直角边，再利用勾股定理求出梯子能够到达的墙的最大高度即可．正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解题的关键． 【详解】解：云梯不能到达城墙的顶端． 理由：连接， 由题意， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴云梯不能到达城墙的顶端． 【变式1.3】（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速了. 【分析】根据勾股定理计算出BC的长度，然后运用速度=路程÷时间计算出速度，再跟70千米/小时进行比较. 【详解】由题意可知： 三角形ABC为直角三角形，则(米) 速度=120÷4=30（米/秒），30×3.6=108（km/h）＞70（km/h） 故小汽车超速了. 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题中需要注意速度单位的换算，1m/s=3.6km/h. 【考点2 利用勾股定理在数轴上表示实数】 【例2.1】（2023八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，，依据尺规作图的方法可以计算出的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图可知，平分，进而得到，然后利用含角直角三角形的性质得到，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据尺规作图可知，平分 ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作角平分线，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键是根据尺规作图得到，平分． 【例2.2】（2023·福建泉州·八年级校考期末）（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹） （2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）将表示3的点向上平移1个单位，得到点，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求 （2）根据对称性可知点是的中点，设表示的数为，根据即可求得点B对应的数． 【详解】（1）如图，点即为所求 ， 点表示的数是 （2）设表示的数为，则 解得 表示的数为 故答案为： 【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 【例2.3】（2023·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，在数轴上，以B点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据题意运用勾股定理求出AB的长，即可得到答案． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=1， ∴AB=， ∴BD=AB=， ∵B点表示的数是3， ∴点D表示的数为3-． 故答案为：3-． 【点睛】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出AB的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系． 【变式2.1】（2023·北京海淀·八年级北京二十中校考期中）如图，边长为1的正方形，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则表示的数是 ．    【答案】 【分析】由勾股定理求得的长，然后根据可求得点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴点表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得的长是解题的关键． 【变式2.2】（2023·河南南阳·八年级统考期末）如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（    ）        A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ， ∵以长为半径作圆弧交数轴于点P， ∴， ∴点P表示的数为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形两直角边是平方和等于斜边的平方． 【变式2.3】2020上·浙江杭州·八年级期末）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为1个长度单位），并用直尺和圆规把边长表示的数在数轴上表示出来．    【答案】阴影正方形的面积为17，阴影正方形的边长为，图见解析 【分析】设阴影正方形的边长为x，根据图形列出方程即可求出x，从而求出阴影正方形的面积，最后利用勾股定理即可在数轴上找出表示边长的点． 【详解】解：设阴影正方形的边长为x， 由图可知：x2=5×5－×4×1×4 解得：x=或（不符合实际，故舍去） ∴阴影正方形的面积为5×5－×4×1×4=17 如下图所示，在数轴上表示4的点向正上方作1个单位长度的线段BA，连接OA，根据勾股定理可得OA=，以O为圆心，OA为半径作弧，与数轴的交点即为所求． 答：阴影正方形的面积为17，阴影正方形的边长为． 【点睛】此题考查的是含平方的方程的应用、用数轴表示实数和勾股定理，掌握平方根的定义、利用数轴表示实数和勾股定理是解决此题的关键． 模块三 课后作业 1．（2023·安徽芜湖·八年级统考期末）在中，，，（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，，， 由勾股定理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（2023·河南开封·八年级统考期末）如图，正方形的面积为7，是数轴上表示的点，以为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 是数轴上表示的点， 点表示的数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 3．（2023·新疆伊犁·八年级统考期末）在中， 分别表示的对边，则下列不正确的式子是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的知识，关键是掌握勾股定理的内容．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，由此可得出答案． 【详解】解：∵ 分别表示的对边 ∴c为斜边， ∴，即，或 ∴B、C、D正确． 故选：A． 4．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得．证明的这个定理是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．祖暅原理 D．费马定理 【答案】A 【分析】根据勾股定理作答即可． 【详解】解：由， 整理得． 而a、b、c是直角三角形的三边， ∴证明的定理是勾股定理， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 5．（2023·山西大同·八年级统考期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．（2023·云南昆明·八年级统考期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断． 【详解】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理， 在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， 在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以说明勾股定理， 在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 7．（2023·山东济宁·八年级统考期末）一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】连接AE交BD于C， 则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE， 过A作AH⊥ED交ED的延长线于H， ∵， ∴， ∴此时桥C到A村和E村的距离和为10， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用． 8．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）中，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理解得的长，再结合直角三角形面积公式解题即可． 【详解】解：如图，    在中， ，，， 由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查用勾股定理解直角三角形，涉及三角形面积公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．（2023·山东聊城·八年级统考期末）若一个直角三角形两边的长分别为2和，则第三条边的长为 ． 【答案】或1 【分析】分2是直角边长与斜边长两种情况分别求解即可． 【详解】解：当2是直角边长时，第三边长， 当2是斜边长时，第三边长， 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 10．（2023·湖南长沙·八年级校考期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理计算出的值，再根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积，熟练掌握勾股定理及圆的面积公式是解题关键． 11．（2023·吉林松原·八年级统考期末）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 米．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点，    依题意知，米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握运用辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求线段长度的方法是解题的关键． 12．（2023·广东广州·八年级统考期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得： 由勾股定理可得：（米） 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方． 13．（2023·安徽合肥·八年级统考期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的航速是9海里/时． 【分析】设乙船的航速是x海里/时，先由甲船的速度和航行时间求得，再由平角计算角度差求得，再由和的长度便可由勾股定理求得，再解方程即可； 【详解】解：设乙船的航速是x海里/时， 由甲船的速度和航行时间可得海里， 由乙船的速度和航行时间可得海里， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 故乙船的航速是9海里/时； 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理等知识；牢记勾股定理是解题关键． 14．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为．    (1)在正方形网格中，画出，使，，； (2)计算 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据，，分别构造直角边长为2、1和3、2直角三角形即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：因为， 为直角边长分别是2、1的直角三角形的斜边， ， 为直角边长分别是3、2的直角三角形的斜边，作如下图：    即为所求． （2）解：． 所以的面积是4． 【点睛】此题考查了勾股定理．解决本题的关键是找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长． 15．（2023·江苏南京·八年级校考期中）在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)52 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； （2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$