精品解析：2024年广东省汕头市潮南区陈店实验学校中考三模数学试题

2023～2024学年度第二学期 九年级数学科模拟测试卷 一、选择题 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 4. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，是等腰直角三角形，，若，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 小明将水浒人物“及时雨”宋江和“花和尚”鲁智深的面像及其绰号制作成4张无差别卡片（除图案和文字外，其余完全一样），将卡片背面朝上，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片对应的是同一个人物的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 10. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 二元一次方程组的解是_________. 12 分解因式：_____． 13. 如果，那么代数式的值为_____． 14. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 15. 如图，圆O中，弦交于点，且是的中点，，，则阴影部分面积为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，是轴上的动点（不与点重合），若将沿直线翻折，点恰好落在轴上，则点的坐标为________________ 三、解答题 17 计算 18. 如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点、是线段上两点，且，连接、．求证：． 19. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值． 四、解答题 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 80.8 a 70 八年级 b 80 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数； （3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）． 21. 甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离． 22. 综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． （2）如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； （3）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 五、解答题 23. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道尺规作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：过点作圆的两条切线、，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹） 小聪同学经过探索，说：只要作出以为直径的圆，就能解决问题． （1）请你完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）请你结合作图，说明、是的切线的理由； （3）连接并延长，交于点，连接，，直接写出的度数． 24. 综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，，均是顶角为等腰三角形，，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 初步探究】 （1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在边长为3的正方形中，点，分别是，上的点，且．连接，，，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，，请直接写出的长． 25. 如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． （1）求的度数． （2）如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期 九年级数学科模拟测试卷 一、选择题 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：C． 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项符不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 3. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，明白“四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0”是解题的关键． 【详解】解：第二象限点的坐标特点为， 在第二象限的点是， 故选：A． 4. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米， 故选：B． 5. 如图，是等腰直角三角形，，若，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键．由，，根据平行线的性质，可求得，根据是等腰直角三角形，得出，又由邻补角的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 6. 小明将水浒人物“及时雨”宋江和“花和尚”鲁智深的面像及其绰号制作成4张无差别卡片（除图案和文字外，其余完全一样），将卡片背面朝上，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片对应的是同一个人物的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 【详解】解：把4张卡片从左向右分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的结果有4种， ∴抽取卡片人物画像与绰号完全对应的概率是， 故选：B． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的加法，掌握相应运算法则是关键．根据二次根式的加法、积的乘方、完全平方公式及同底数幂的除法进行计算即可判断． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误； B、，故计算正确； C、，故计算错误； D、，故计算错误； 故选：B． 8. 关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 9. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值． 【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F， ∵D点在双曲线y上， ∴S矩形OEDF=|xy|=|k|， ∵D点在矩形的对角线OB上， ∴矩形OEDF∽矩形OABC， ∴， ∵S矩形OABC=36， ∴S矩形OEDF=16， ∴|k|=16， ∵双曲线y在第二象限， ∴k=-16， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|． 10. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键．由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，母线长为，根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4， 母线长为∶， ∴圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6， ∴， ∴解得：． 故选：D． 二、填空题 11. 二元一次方程组的解是_________. 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当的方法消元是解决此题的关键． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 13. 如果，那么代数式的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值问题，用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 14. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得 ，进行计算即可得，理解题意，将实际问题转化为数学问题，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x， 由相似三角形的性质得，， ， 解得， 故答案为：4． 15. 如图，圆O中，弦交于点，且是的中点，，，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，进而求得，根据垂径定理求出，，再解直角三角形求出，最后根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 为的中点，， ，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、扇形面积公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解答本题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，是轴上的动点（不与点重合），若将沿直线翻折，点恰好落在轴上，则点的坐标为________________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、勾股定理、折叠的性质等知识，解题关键是分两种情况讨论，避免遗漏．首先确定点坐标，利用勾股定理解得，然后分点在轴负半轴上和点在轴正半轴上两种情况讨论，结合折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则，即， 令，则，即， ∴，， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①点在轴负半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴； ②点在轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为为或． 故答案为：或． 三、解答题 17. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值和算术平方根将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点、是线段上两点，且，连接、．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，即得，再由可得，即可由证明，据此可得，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ， ． 19. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，再从不等式组中选择一个适当的整数代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当或时，原式无意义， 故取整数时， 原式． 四、解答题 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 80.8 a 70 八年级 b 80 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上人数； （3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）． 【答案】（1）70；80；80 （2）210人 （3）见解析（答案不唯一，只要合理即可） 【解析】 【分析】（1）由图标中的数据，以及中位数、平均数、众数的求法可求解； （2）利用样本估计总体思想求解即可； （3）可从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面进行比较，评价即可． 【小问1详解】 解：七年级的中位数为（分）； 八年级平均数为（分），众数为80分． 故答案为：70，80，80； 【小问2详解】 解：由题意知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）； 抽取的八年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）， ∴七、八年级共600名学生竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）． 答：该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为210人． 【小问3详解】 解：从平均数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的平均数分别为分，80分，说明七年级学生竞赛成绩的平均数大于八年级学生竞赛成绩的平均数，故七年级学生的竞赛成绩较好． 从中位数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的中位数分别为70分，80分，说明八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，故八年级学生的竞赛成绩较好． 从众数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的众数分别为70分，80分，说明七年级学生竞赛成绩中70分最多，八年级学生竞赛成绩中80分最多，故八年级学生的竞赛成绩较好． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算的方法，是解题的关键． 21. 甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作，设，则，利用勾股定理可得、，再根据坡度角计算出，最后根据线段的和差即可解得． 【详解】解：如图:过点A作， 由题意得：， 设，则， ，解得：， ，， ， ，解得：， 米． 答：甲、乙两人出发时的水平距离米． 22. 综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． （2）如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； （3）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 【答案】（1）C （2）卫 （3）①见解析 ② 【解析】 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，与图形有关的一元二次方程的应用． （1）根据正方体展开图的几种形状即可判断； （2）根据正方体展开图即可判断； （3）①按照要求画出图形即可； ②设正方形的边长为，根据纸盒底面积为，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能； 故选：C； 【小问2详解】 解：与“小”字相对字是“士”，与“保”字相对的字是“卫”； 答案为：卫； 【小问3详解】 解：①所画出的图形如图所示： ②设正方形的边长为， 则， 解得，（不合题意舍去）， 此时纸盒的体积为； 答：要剪去的小正方形的边长为，这个纸盒的体积为． 五、解答题 23. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道尺规作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：过点作圆的两条切线、，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹） 小聪同学经过探索，说：只要作出以为直径的圆，就能解决问题． （1）请你完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）请你结合作图，说明、是的切线的理由； （3）连接并延长，交于点，连接，，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线、直径所对的圆周角为直角和四边的内角和， （1）连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心为半径作圆，交于点A和B，连接和即可； （2）由作图可知，以为直径的圆，则，结合为的半径，即可判定直线、是的切线； （3）由，求得，可得，利用四边形内角和即可得到． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：由作图可知，以为直径的圆， 则， ∴， ∵为的半径， ∴直线、是的切线； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 则． 24. 综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，，均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 （1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在边长为3的正方形中，点，分别是，上的点，且．连接，，，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）8 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：证出，得出，然后设，利用勾股定理列方程解出x，即可得解； （3）如图，过作，且，连接，并延长交于，先证明，然后再求出，的值即可得解． 【详解】（1）， ， ，， ， ； （2）四边形是正方形， ， 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图： ， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即：， ，边长为3的正方形， ，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （3）的长为8， 如图，过作，且，连接，并延长交于， ∴， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，直角函数等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 25. 如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． （1）求的度数． （2）如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】（1） （2）①当时，矩形的面积最小： ；②、或2. 【解析】 【分析】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数求最值等知识点，掌握数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）设直线与轴交于点，然后确定点 、，进而说明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）①如图，过点作轴于点，根据题意可得、、，再联立和可得，秒时点坐标为、点坐标为，即；再证明可得，即,进而得到再结合可得，然后根据二次函数性质即可解答；②由（1）点坐标为、、；由①证得可得，进而说明 、，然后讨论M、N、Q的位置情况并分别求出t值即可． 【小问1详解】 解：设直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴于点， ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， 联立和可得， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小：； ②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由（1）点坐标为，，， ， ， ， 点坐标为， 矩形对边平行且相等，，，， 点坐标为， 当在抛物线上时，则有，解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，，重合： ，解得：， 综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$