精品解析：2024年浙江省杭州市萧山区中考二模数学试题

2024年初中学业水平仿真考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 5 C. 1 D. 2. 2023年浙江省人均GDP达125000元，数字125000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值是0，则 的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A， 两处灯笼的位置关于 轴对称，若点A的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ， 是 上一点，沿 折叠，点 恰好落在点 处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在数轴上，点 表示的数是4，点 表示的数是0，点 表示的数是．定义：点 在线段上，如果线段 的长度有最大值 ，则称 为点 与线段的“闭距离”．例如：，当点 与点 重合时，．若，则 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ） A. 优弧 B. 劣弧 C. 半圆 D. 无法判断 9. 已知 ， 是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，大正方形 是由四个全等的直角三角形（ ，，，）和中间一小正方形拼成，连接 ．设，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：________． 12. 如图，是一把椅子的侧面图，椅面 与地面 平行，， ，则________． 13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有 个红球和 个白球（仅有颜色不同）．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是_____． 14. 函数图象经过，两点，则_____． 15. 将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点 ， 分别对应直尺上的刻度12和4，则 与之间的距离为______． 16. 如图，以等腰 的底边 为直径作 ，分别交 ， 边于点 ， ，过点 作于点 ，的平分线交 于点 ．若，，则________，________．（参考素材：角平分线性质定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，如） 三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 若，求 ， 的值． 18. 某校举行“学习强国”知识竞赛，把成绩分成A、B、C、D四个等级，并决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了九年级9班的成绩进行统计，并绘制成了两幅不完整的统计图，如图所示： 根据信息解答： （1）求九年级9班参加知识竞赛的学生一共有多少名？ （2）若该校九年级共有600名学生，估计九年级需要参加培训的学生大约有多少名？ 19. 已知关于 的方程． （1）若方程的一个实根是3，求实数 的值． （2）求证：无论 取什么实数，方程总有实数根． 20. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离 为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到 的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 21. 已知，，令， ， 部分取值如下表： 0 1 0 （1）求和的值． （2）求时， 的取值范围． 22. 如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上．从下列条件中选择其中两个作为本题的条件． ①；②；③． （1）求证：． （2）连接 ，如果，求证：． 23. “水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点 距离地面22米，喷水口 ， 点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） （1）请写出经过 ， ， 三点的抛物线的函数表达式． （2）若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ （3）若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 24. 如图1， 是半圆 的直径，点 ， 是半圆 上的点，且，连结 交于点 ． （1）若，求 的长． （2）如图2，连接 ， ， ，若，求 的正弦值． （3）如图3，连接 ，作交 于点 ，连接 ．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平仿真考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 2023年浙江省人均GDP达125000元，数字125000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．掌握科学记数法的概念是解题的关键．科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成 与10的 次幂相乘的形式（， 不为分数形式， 为整数），这种记数法叫做科学记数法． 将化为形式，其中， 为整数，表示时要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：． 故选C． 3. 若分式的值是0，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】分式的值为0， ∴且． 解得： ． 故选：A． 4. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式． 根据完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 5. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，两处灯笼的位置关于 轴对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标特点，如果两个点关于 轴对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，则关于 轴对称的点的坐标为． 故选：B 6. 如图，在矩形 中，对角线， 交于点 ，是 上一点，沿 折叠，点 恰好落在点 处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质，折叠的性质，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形 ， ， ∵沿 折叠，点 恰好落在点 处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 7. 在数轴上，点 表示的数是4，点 表示的数是0，点 表示的数是．定义：点在线段上，如果线段 的长度有最大值，则称为点 与线段的“闭距离”．例如：，当点与点 重合时，．若，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点 重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点与点 重合时，取得最大值， 故选：D． 8. 如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ） A. 优弧 B. 劣弧 C. 半圆 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 9. 已知， 是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，得到当时，在对称轴的两侧，二次函数的函数值的范围为：，判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线 ， ∵， 是函数与图象两个交点的横坐标， ∴两个交点为，， 当时，随着的增大而增大，在对称轴的两侧， ∴， ∴当时，二次函数的函数值的范围为：， ∴当时，； 当时， 可能大于，等于或小于 ； 故选D． 10. 如图，大正方形 是由四个全等的直角三角形（ ，，，）和中间一小正方形拼成，连接 ．设，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点 ，过点 作，根据，不妨设，则，勾股定理求出 的长，证明，求出的长，进而求出的长，三角函数求出的长，再求出的长，利用正切的定义求解即可． 【详解】解：设交于点 ，过点 作， 大正方形 是由四个全等的直角三角形（ ，，，）和中间一小正方形拼成，，， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，是一把椅子的侧面图，椅面 与地面 平行，， ，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，先求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有个红球和 个白球（仅有颜色不同）．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案，熟练掌握列表法或树状图法求概率． 【详解】画树状图得： ， ∵共有 种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有 种情况， ∴两次摸到不同颜色球的概率是， 故答案为：． 14. 函数图象经过，两点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数的解析式，根据待定系数法求出的值，然后代入即可求值，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵函数图象经过，两点， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 15. 将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点 ， 分别对应直尺上的刻度12和4，则 与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形，正三角形以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，正三角形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为 ， 由题意可知，， 正六边形， 是正三角形，， ， 即 与之间的距离为． 故答案为： 16. 如图，以等腰 的底边 为直径作 ，分别交 ，边于点 ，，过点作于点 ，的平分线交 于点 ．若，，则________，________．（参考素材：角平分线性质定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，如） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接 ，根据弧，弦，角的关系，求出，根据题干信息，得到，设，得到，勾股定理求出 的值，证明，求出 的长，勾股定理求出 的长，设，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接 ， ∵ 为直径， ∴， ∴， ∵等腰 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题干信息知：， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或 （舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和相似三角形，是解题的关键． 三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 若，求， 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先利用多项式乘多项式的法则进行计算，再根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 18. 某校举行“学习强国”知识竞赛，把成绩分成A、B、C、D四个等级，并决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了九年级9班的成绩进行统计，并绘制成了两幅不完整的统计图，如图所示： 根据信息解答： （1）求九年级9班参加知识竞赛的学生一共有多少名？ （2）若该校九年级共有600名学生，估计九年级需要参加培训的学生大约有多少名？ 【答案】（1）40名 （2）75名 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1） 等级的人数除以所占的比例求解即可； （2）用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 【小问2详解】 （名）． 19. 已知关于的方程． （1）若方程的一个实根是3，求实数的值． （2）求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将 代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 略 20. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离 为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到 的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐㻗到 的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， 根据题意可知，，， ， ， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； 【小问2详解】 如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以， 答：的长约为． 21. 已知，，令，， 部分取值如下表： 0 1 0 （1）求和的值． （2）求时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图象法解不等式： （1）待定系数法进行求解即可； （2），即，求出两个函数的交点，图象法解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 当 时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，解得：， 经检验，都是原方程的解； ∴； 【小问2详解】 当时，即， ∴， 由（1）知：的图象的交点的横坐标为， 由图象可知：的范围为：或． 22. 如图，在 中，点 ，， 分别在边， ， 上．从下列条件中选择其中两个作为本题的条件． ①；②；③． （1）求证：． （2）连接 ，如果，求证：． 【答案】（1）证明：选择①②作为条件： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 为的中位线， ∴，即：． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的证明： （1）选择①②，先证明，得到，结合，即可得证； （2）根据，得到，证明，得到，进而得到，进而得到，得到 为的中位线，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. “水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点 距离地面22米，喷水口 ，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） （1）请写出经过 ，， 三点的抛物线的函数表达式． （2）若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ （3）若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 【答案】（1） （2）消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 （3）消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面 米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据题干的平面直角坐标系，给出点 、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点 、的坐标代入解析式求出解析式； （2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题； （3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设经过点 ，， 的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， 【小问2详解】 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将 代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米． 【小问3详解】 解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为， 将代入， 即， 解得：（舍去）或 消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米． 24. 如图1， 是半圆 的直径，点 ， 是半圆 上的点，且，连结 交 于点． （1）若，求的长． （2）如图2，连接 ， ， ，若，求 的正弦值． （3）如图3，连接 ，作交 于点 ，连接 ．求证：． 【答案】（1）2 （2） （3） 证明：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式，求解即可； （2）连接 ，根据平行线间的距离处处相等，得到，设，则：，三角形的中线平分面积，推出，进而得到，根据正弦的定义，即可得出结果； （3）连接，平行线的性质，得到，，垂径定理得到 ，进而得到，，推出，得到四点共圆，进而推出，证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵ 是半圆 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵ 是半圆 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 连接 ， ∵， ∴， ∵， ∴设，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中线，弧，弦，角之间的关系，四点共圆，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理的添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $