精品解析：广东省江门市怡福中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期八年级数学期末学科素养评价试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为，．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 无法确定 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是 A. y=2x+2 B. y=2x-2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 6. 若中，，下列不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 平行四边形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象过点 B. y值随着x值的增大而增大 C. 函数的图象经过第三象限 D. 当时， 10. 如图，在正方形中，，为对角线上与点A，不重合的一个动点，过点作于点于点，连接，下列结论：①；②；③：④的最小值为3，其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是____． 12. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 13. 已知点都在直线上，则___________（填“”、“”或“”）． 14. 如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为______ 15. 若关于一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则的取值范围是________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小題8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 17. 如图是一张直角三角形纸片示意图，． （1）现将该纸片对折，使边落在边上，的对应点为，折痕为，请用尺规作图作出及，并连接；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明） （2）在（1）的基础上，已知，请求出的长度． 18. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某区为了检测各个学校劳育实施情况，当地教委发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生一周劳动次数为： 七、八年级抽取学生一周劳动次数的平均数、众数、中位数、5次及以上人数所占百分比如表： 年级 平均数 众数 中位数 5次及以上人数所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，上述表中的 ， ， ； （2）若劳动次数越多则视为劳动情况越好，请判断哪个年级一周的劳动情况更好，并说明理由； （3）若一周劳动次数4次及以上为良好，该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少． 20. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：） 与充电时间（单位：）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间? 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为，直线与直线，相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交，于点M，N，当时，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 23. 综合实践数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． （1）动手操作：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图，求的度数； （2）拓展延伸：如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，求证：四边形是菱形； （3）解决问题：如图，矩形纸片中，，，点是边上的一动点，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕过点，交边于点，把纸片展平．请你求出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期八年级数学期末学科素养评价试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式； 故选C． 2. 如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对边平行的性质可得的度数，再根据菱形一条对角线平分一组对角即可求得的度数． 【详解】解：， ， 平分， ， 故选：B 【点睛】本题考查菱形的相关性质．熟练掌握各性质是解题的关键． 3. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为，．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义求解即可． 【详解】解：，， ， 为保证产量稳定，适合推广的品种为甲， 故选：A． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据平方差公式对D选项进行判断． 【详解】解：，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项符合题意． 故选：D 5. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是 A. y=2x+2 B. y=2x-2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 【答案】A 【解析】 【详解】平移时k的值不变，只有b发生变化 原直线的k=2，b=0；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的k=2，b=0+2=2． ∴新直线的解析式为y=2x+2． 故选A． 6. 若中，，下列不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项、、、是否符合题意，根据三角形内角和定理可以判断选项是否符合题意，本题得以解决． 【详解】解：A、，，，则，故不是直角三角形，选项符合题意； B、当时，设，，，则，故是直角三角形，选项不符合题意； C、由整理得：，故直角三角形，选项不符合题意； D、由，可知，故是直角三角形，选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 7. 今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，画出圆柱的展开图，连接AC，由勾股定理即可求出. 【详解】如图所示，在中，AB=10cm，BC=10cm， 则cm ， ∴装饰带的长度最短为cm ， 故选D. 【点睛】本题考查勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 平行四边形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形，平行四边形，矩形的判定，熟知菱形，矩形和平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象过点 B. y值随着x值的增大而增大 C. 函数的图象经过第三象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对每一项进行判断分析即可得出结果． 【详解】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点，说法错误，不符合题意； B、因为函数，所以随的增大而减小，说法错误，不符合题意； C、因为函数解析式与轴的交点，与轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限，说法错误，不符合题意； D、当时，，又由随的增大而减小可知，当时，，说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，为对角线上与点A，不重合的一个动点，过点作于点于点，连接，下列结论：①；②；③：④的最小值为3，其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为， ④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数建立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 12. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 【答案】87.4 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 【详解】解：根据题意得 她的最后得分是为： （分）； 故答案为：87.4． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 13. 已知点都在直线上，则___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，由此即可得到答案． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，y随x增大而增大， ∵点都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键． 14. 如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．连接，利用勾股定理可以求得的长，然后根据正方形的性质可以得到的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到的长． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵H为线段的中点， ∴， ∵正方形，正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，即可求解． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解， ∴， 解得， ∵一次函数不经过第三象限， ∴且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小題8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的运算法则化简运算即可； （2）先把所求代数式化为最简形式，把α、b值代入，利用乘法公式计算，可得答案． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ 17. 如图是一张直角三角形纸片示意图，． （1）现将该纸片对折，使边落在边上，的对应点为，折痕为，请用尺规作图作出及，并连接；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明） （2）在（1）的基础上，已知，请求出的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图作角平分线，勾股定理的应用，正确掌握角平分线的作图方法及勾股定理是解题的关键． （1）作的角平分线即可； （2）根据勾股定理求出，得到，设，则，根据勾股定理得，列得，求出x的值，可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由折叠得，，，， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 18. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形， ∵， ， 四边形是矩形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某区为了检测各个学校劳育实施情况，当地教委发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的一周劳动次数为： 七、八年级抽取的学生一周劳动次数的平均数、众数、中位数、5次及以上人数所占百分比如表： 年级 平均数 众数 中位数 5次及以上人数所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，上述表中的 ， ， ； （2）若劳动次数越多则视为劳动情况越好，请判断哪个年级一周的劳动情况更好，并说明理由； （3）若一周劳动次数4次及以上为良好，该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少． 【答案】（1）统计图见解析，，， （2）七年级，理由见解析 （3）670人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体， （1）根据表格中的数据和条形统计图中的数据以及众数、中位数的意义，可以得到，，的值； （2）根据表格中的数据，由于七年级与八年级抽取的学生的一周劳动次数的平均数，众数均相同，因此可以从中位数比较得出答案； （3）分别求出七年级人中一周劳动次数良好的人数，再求出八年级人中一周劳动次数良好的人数，即可计算出该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少． 【小问1详解】 解：， 补全统计图如下： 由条形统计图可得：八年级的众数为3，即； 七年级的劳动次数依次为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 则中位数为，即， 其中次及以上人数人，则所占百分比为，即； 【小问2详解】 七年级学生一周的劳动情况更好， 理由：七年级的中位数高于八年级，故七年级学生一周的劳动情况更好； 【小问3详解】 由题意可得： 人， ∴该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是670人． 20. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理，解答即可． 【小问1详解】 证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是的中点， ∴, ∵， ∴， ∴． 21. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：） 与充电时间（单位：）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间? 【答案】（1） （2） （3）快速充电器比普通充电器少用时间为小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据图像可以得出结论； （2）用待定系数法分段求函数解析式即可； （3）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知： 普通充电器对该汽车每小时的充电量为：， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， 设线段的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ； 当时， 设线段的解析式为， 代入，， 得：， 解得， ， 与的函数解析式为； 【小问3详解】 将该汽车电池电量从充至，用快速充电器可得：， 解得：； 普通充电器所用时间为： （小时）， ． 答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为，直线与直线，相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交，于点M，N，当时，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）点D的坐标为或 （3）存在，点E的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，，求出，根据，列出关于m的方程，然后求解即可； （3）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点的坐标即可； 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1， ∴， 设直线的解析式为，把、代入，得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 如图1，过点作轴于点，则， ，， 在中，， 设，则， 当时，， 解得：或， 或； 当时， 轴，即， ，即， ； 当时， 解得： ∴ 综上所述，点的坐标为或或或 23. 综合实践数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． （1）动手操作：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图，求的度数； （2）拓展延伸：如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，求证：四边形是菱形； （3）解决问题：如图，矩形纸片中，，，点是边上的一动点，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕过点，交边于点，把纸片展平．请你求出线段长度的取值范围． 【答案】（1）60° （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和等腰三角形三线合一可得，即是等边三角形，由等边三角形的性质可求解； （2）由折叠知垂直平分，再利用证明≌得，则四边形是平行四边形，进而证明结论； （3）当点与点重合时，长最大，为；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理列方程求出此时的长，即可得出长的取值范围． 【小问1详解】 解：由折叠得：，，，， ， 是等边三角形， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， 垂直平分， ，， ， ，， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， 长的最大值为； 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则， 由折叠得，， ，，， ， ， ， ， ， ； 解得， 长的最小值为， 长的取值范围是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理及动点问题的探究等知识，解题的关键是把折叠问题抽象为轴对称问题，以便于用轴对称的性质解决问题，此题综合性较强，难度大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$