精品解析：2024年辽宁省丹东市振安区九年级中考三模数学试题

2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作元，则支出237元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 0元 D. 元 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的．其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 点是线段的黄金分割点（），若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 7. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 9. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 10. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则___________________． 13. 据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番其中18000000用科学记数法表示为___________． 14. 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为______． 15. 如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1） （2）解分式方程：． 17. 今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 18. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲： 乙： 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7 乙 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）． （2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 19. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 国家越来越重视“全民运动”，在许多乡村、社区安装了健身器材．如图1所示，骑马机是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“8字”立体摇摆，从而达到全身有氧到全身有氧运动的一种新型健身器材．某数学活动小组在一次数学活动中测量了某种骑马机的部分数据：如图2所示，立柱垂直于地面，拉杆旋转到与地面垂直的位置时，拉杆上的点与立柱顶端的点恰好在同一水平线上．连接杆长为，与立柱的夹角为，立柱上的点距离地面的高度为，拉杆的部分长为，与踏板杆的夹角为，踏板杆长．问： （1）此时踏板（点）与拉杆的距离约为多少？ （2）此时踏板（点）距离地面的垂直高度约为多少？（，，，，结果保留一位小数） 21. 如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 22. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，如图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度等于1． （1）分别判断函数，，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数． ①若其不变长度为零，求的值； ②若，求其不变长度的取值范围． 23. 如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； （2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作元，则支出237元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 0元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反意义的量的意义解答即可． 【详解】∵收入500元记作元， ∴支出237元记作元， 故选B． 【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键． 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的．其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形进而得出答案． 【详解】从左面看，易得下面一层有3个正方形，上面一层中间有一个正方形， ∴该几何体的左视图是： ． 故选 A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故选D． 4. 点是线段的黄金分割点（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金比和，直接求出的长即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金分割的定义和黄金比． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，解题的关键是熟练这些法则． 6. 反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法和反比例函数的图象是解题关键．将点代入求出反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：B． 7. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 8. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意； B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意； C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意； D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键． 10. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， y=AP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， y=AD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， y=PD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 12. 一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则___________________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到，利用平角的定义计算即可． 【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 13. 据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番其中18000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 14. 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种， 两球上的数字之积恰好是有理数的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．设与交于点，连接，先根据折叠的性质可得，垂直平分，，，再证出四边形是菱形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，垂直平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1） （2）解分式方程：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、化简二次根式、解分式方程等知识，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、化简绝对值、计算零指数幂、乘方，再计算加减法即可得； （2）两边同乘以化成一元一次方程，再解方程即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 17. 今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个， ②温馨提示牌51个，垃圾箱49个， ③温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 当温馨提示牌52个，垃圾箱48个时，所需资金最少，最少是9800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论． 【详解】（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意， ∴ ∵y为正整数， ∴y为50，51，52，共3中方案； 有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个， ②温馨提示牌51个，垃圾箱49个， ③温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 设总费用为w元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100，∴w随y的增大而减小 ∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键． 18. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲： 乙： 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7 乙 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）． （2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1），， （2） 解：∵从配送速度得分看，在平均数和中位数上，甲和乙的得分相差不大；从服务质量得分看，甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲快递公司的评价得分更稳定， ∴小丽应选择甲快递公司． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数和方差，熟练掌握调查统计的相关知识是解题关键． （1）根据中位数、平均数和方差的公式求解即可得； （2）根据中位数、平均数和方差的意义进行决策即可得． 【小问1详解】 解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则， ， ， ， 则， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 19. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 20. 国家越来越重视“全民运动”，在许多乡村、社区安装了健身器材．如图1所示，骑马机是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“8字”立体摇摆，从而达到全身有氧到全身有氧运动的一种新型健身器材．某数学活动小组在一次数学活动中测量了某种骑马机的部分数据：如图2所示，立柱垂直于地面，拉杆旋转到与地面垂直的位置时，拉杆上的点与立柱顶端的点恰好在同一水平线上．连接杆长为，与立柱的夹角为，立柱上的点距离地面的高度为，拉杆的部分长为，与踏板杆的夹角为，踏板杆长．问： （1）此时踏板（点）与拉杆的距离约为多少？ （2）此时踏板（点）距离地面的垂直高度约为多少？（，，，，结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）过点作，垂足为，解即可； （2）过点作，垂足为，则 解中，求得，则，则． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 在中， ； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 则 在中， ， 由题可知 答：此时踏板（点距离地面的垂直高度约为． 21. 如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 则， ， ， ． ； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，如图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度等于1． （1）分别判断函数，，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数． ①若其不变长度为零，求的值； ②若，求其不变长度的取值范围． 【答案】（1）函数没有不变值；函数不变值为，；函数的不变值为1或0，； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案； （2）①首先由函数，求得，然后由其不变长度为零，求得答案；②由①，利用，可求得其不变长度的取值范围． 【小问1详解】 解：函数，令，则，无解； 函数没有不变值； 函数，令，则，解得：， 函数的不变值为，， 函数，令，则，解得：，， 函数的不变值为1或0，； 【小问2详解】 ①函数，令，则， 整理得：， ， 且， 则， 解得：； ②由①知：， 或， 解得：，， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了二次函数，解一元一次方程、一元二次方程，分式方程，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； （2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，， 同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则， 在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $