八年级下学期期末卷02-2023-2024学年八年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

2023-2024 八年下数学期末测试卷02 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（    ） A．a2–4a+5=a(a–4)+5 B．(x+3)(x+2)=x2+5x+6 C．a2–9b2=(a+3b)(a–3b) D．(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．设是实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 5．一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（   ） A．9条 B．54条 C．27条 D．6条 6．如图，是带有滑道的铁杠，是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是的中点，螺钉E在滑道内上下滑动时，橡皮筋的长度（    ） A．螺钉E滑至两端处时，的长度最大 B．螺钉E滑至中点处时，的长度最大 C．上下滑动时，的长度时而增大时而减小 D．上下滑动时，的长度始终不变 7．某县城要在一河道两旁建造休闲文化长廊，计划栽种一名贵树种960棵，由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，若设原计划每天种树棵，根据题意列的方程是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（    ）      A．18 B．15 C．12 D．9 9．一块麦田m亩，甲收割完这块麦田需n小时，乙比甲少用0.5小时就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要的时间是（    ） A． B． C． D． 10．如图，峰巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 12．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 13．如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ． 14．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 15．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，将沿着翻折，使得点落在点处，当时，的长为 ．    三、解答题 16．（1）分解因式： ①4m2﹣36；            ②2a2b﹣8ab2+8b3. （2）解分式方程： ①；    ②． 17．化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点旋转，点的对应点为，直接在图中画出旋转后的△； (2)平移，点的对应点的坐标为，点的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到； ①旋转中心的坐标为 （直接填空）； ②若点是边上一动点，旋转后点的对应点为，则的最小值为 （直接填空）． 19．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 20．如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以/分钟的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，2号机从原点O处沿仰角爬升，到高的A处立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求1分钟后到达处．【注（1）及（2）中不必写s的取值范围】 (1)求的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； (2)求的h关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标． 21．已知：如图，、为平行四边形的对角线所在直线上的两点，且．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 22．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，直线BC与x轴交于点，P是线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合）． (1)求直线BC的函数表达式； (2)设动点P的横坐标为t，的面积为S． ①求出S与t的函数关系式； ②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 23．已知：绕点顺时针旋转得到，点对应点，点对应点，以为边作等边（，，按顺时针排列），连接，，设． (1)如图1所示，若点，点在两侧，当时， ①请直接写出的度数； ②用适当的方式表述：线段与之间的关系；所在直线与之间的关系； (2)如图2所示，若点在内部，请判断四边形是否为平行四边形，并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024 八年下数学期末测试卷02 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（    ） A．a2–4a+5=a(a–4)+5 B．(x+3)(x+2)=x2+5x+6 C．a2–9b2=(a+3b)(a–3b) D．(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2 【答案】C 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】A、a2–4a+5=a(a–4)+5，不符合因式分解的定义，故A选项错误； B、(x+3)(x+2)=x2+5x+6，是多项式的乘法运算，故B选项错误； C、a2–9b2=(a+3b)(a–3b)，符合因式分解的定义，故C选项正确； D、(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2，是多项式的乘法运算，故D选项错误； 故选C. 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项合题意． 故选：D． 3．设是实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A.若，，则，原结论错误，不符合题意； B.若，，则，原结论错误，不符合题意； C.若，，则，原结论错误，不符合题意； D.若，则，结论正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 【答案】C 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC， 又∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD=180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意； ∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥CB， ∵∠ABD=∠BDC， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（   ） A．9条 B．54条 C．27条 D．6条 【答案】C 【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可． 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于140°， ∴每个外角是180°-140°=40°， ∴这个多边形的边数是360°÷40°=9， ∴这个多边形所有对角线的条数是：n(n-3)÷2=9×(9-3)÷2=27． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的外角和，外角和，以及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键． 6．如图，是带有滑道的铁杠，是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是的中点，螺钉E在滑道内上下滑动时，橡皮筋的长度（    ） A．螺钉E滑至两端处时，的长度最大 B．螺钉E滑至中点处时，的长度最大 C．上下滑动时，的长度时而增大时而减小 D．上下滑动时，的长度始终不变 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵P，Q分别是的中点， ∴， ∵的长度是固定不变的， ∴的长度始终不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线等于第三边的一半”是解题的关键． 7．某县城要在一河道两旁建造休闲文化长廊，计划栽种一名贵树种960棵，由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，若设原计划每天种树棵，根据题意列的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意列方程即可得到本题答案． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际种树为， 根据题意可列：， 故选：C． 8．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（    ）      A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形．即可算出周长． 【详解】由折叠可知， 由折叠可得， 是等边三角形 故 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称图形的性质，以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变化． 9．一块麦田m亩，甲收割完这块麦田需n小时，乙比甲少用0.5小时就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量÷甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间． 【详解】乙收割完这块麦田需要的时间是小时， 甲的工作效率是（亩/小时）， 乙的工作效率 （亩/小时）， 故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为 小时， 答：两人一起收割完这块麦田需要 小时． 故选A． 【点睛】考查了列代数式（分式），解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系． 10．如图，峰巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质等知识，连接，设正六边形的边长为，由正六边形的性质及点的坐标可求得的值，即可求得点的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ， 即； ，， 点的坐标为． 故选：A． 二、填空题 11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x＞ 【分析】由题意根据被开方数是非负数且分母不能为零，进行分析计算即可得出答案． 【详解】解：由题意，得3x+1＞0， 解得：x＞． 故答案为：x＞． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0以及被开方数大于等于0是解题的关键. 12．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】先去分母得3－x+a＝x-4，根据分式方程无解分母为0，则x＝4，把x＝4代入整式方程即可求出a的值． 【详解】去分母得3－x+a＝x-4 当分母为0时，方程无解，即x＝4 ∴3－4+a＝0， 解得a＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 13．如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质；根据和的平分线交于边上一点，结合平行四边形的性质，得出，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，分别是和的平分线， ，， ，，， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 14．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 15．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，将沿着翻折，使得点落在点处，当时，的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：①当在的右侧时；②当在的左侧时，由翻折性质，结合含的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，点为的中点， ，， 当在的右侧时，延长交于，如图所示：   ， ， 由翻折的性质知，，， 设，则，， ， 在直角三角形中，，则， ， ； 当在的左侧时，如图所示：      由翻折性质知，，，， ， ， ，， 在直角三角形中，， ，解得， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折性质，充分利用翻折性质及含的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键． 三、解答题 16．（1）分解因式： ①4m2﹣36；            ②2a2b﹣8ab2+8b3. （2）解分式方程： ①；    ②． 【答案】（1）①4（m﹣3）（m+3）；② 2b（a﹣2b）2；（2）①x＝1；②原方程无解． 【分析】（1）①先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； ②先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）①先对分子分母因式分解，然后去分母，然后解方程求解即可； ②先去分母，然后解方程求解即可． 【详解】解：（1）①4m2﹣36 =4（m２﹣9） =4（m﹣3）（m+3） ②2a2b﹣8ab2+8b3 =2b（a2-4ab+4b2） =2b（a﹣2b）2 （2）①解： ﹣1＝ x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝6 x2+2x﹣x2+4＝6 2x＝2 x＝1 检验：把x＝1代入（x+2）（x﹣2）≠0 ∴原方程的解是x＝1． ②＝﹣2 ＝﹣2 2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3） 2﹣x＝﹣1﹣2x+6 ﹣x+2x＝﹣1+6﹣2 x＝3 检验：把x＝3代入（x﹣3）＝0 ∴x＝3不是原方程的解 ∴原方程无解． 【点睛】此题考查了因式分解的方法和解分式方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和解分式方程的步骤．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 17．化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式或当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质及运算法则先对分式化简，由分式有意义的条件可得，再取或代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ∵， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点旋转，点的对应点为，直接在图中画出旋转后的△； (2)平移，点的对应点的坐标为，点的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到； ①旋转中心的坐标为 （直接填空）； ②若点是边上一动点，旋转后点的对应点为，则的最小值为 （直接填空）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了作图平移变换，作图旋转变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）①连接，交于点，则点即为所求，写出点的坐标即可； ②由题意结合图形可知，的最小值为线段与线段之间的距离，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①如图所示，旋转中心的位置如图所示，， ②如图，连接，四边形是平行四边形， 则的最小值即为线段与线段之间的距离， 设的最小值为， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故答案为：；． 19．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时，A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡． 【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论； （3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论． 【详解】（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨， 根据题意，得， 解得， 答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，设总运费为y元， 根据题意得：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040， ∵， ∴0≤x≤200， 由于函数是一次函数，k=4＞0， 所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元； （3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元， 所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040， 当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大， ∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡； 当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样； 当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小， ∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论． 20．如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以/分钟的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，2号机从原点O处沿仰角爬升，到高的A处立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求1分钟后到达处．【注（1）及（2）中不必写s的取值范围】 (1)求的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； (2)求的h关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标． 【答案】(1)的函数解析式为，2号机的爬升速度为，详见解析， (2)的函数解析式为，2号机着陆点的坐标，详见解析． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，一次函数的应用等知识点， （1）由爬升角度为，可知上的点的横纵坐标相同，由此得到点A坐标，用待定系数法解析式可求；利用2号试飞机一直保持在1号机的正下方，可知它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度； （2）设的解析式为，由题意将坐标代入即可求得；令，求得s，即可得到结论； 待定系数法是确定解析式是解此题的关键． 【详解】（1）∵2号飞机爬升角度为， ∴上的点的横纵坐标相同． ∴， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方， ∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同， ∵2号机在爬升到A处时水平方向上移动了，飞行的距离为， 又1号机的飞行速度为， ∴2号机的爬升速度为：. （2）设的解析式为， 由题意：， ∴， 解得：． ∴的解析式为， 令，则， ∴预计2号机着陆点的坐标为． 21．已知：如图，、为平行四边形的对角线所在直线上的两点，且．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再由证明即可得出结论； （2）连接，交于点，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， （）， ； （2）连接，交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，直线BC与x轴交于点，P是线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合）． (1)求直线BC的函数表达式； (2)设动点P的横坐标为t，的面积为S． ①求出S与t的函数关系式； ②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①S=-2t+8(0＜t＜4)；② 【分析】（1）根据函数表达式求出点B坐标，结合点C坐标求出BC的表达式即可； （2）①根据三角形面积求法可得S与t的表达式即可；②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q，得出P和Q的坐标，利用平行四边形的性质建立方程求解即可. 【详解】（1）解：直线y=-x+4与x轴、y轴交点坐标分别为A(4，0)、B(0，4)两点． 设直线BC所对应的函数关系式为y=kx+4． ∵直线BC经过点C(-2，0)， ∴-2k+4=0，解得：k=2， ∴直线BC所对应的函数关系式为y=2x+4． （2）解：①由题意，设点P的坐标为(t，-t+4)， ∴S=S△POA=×OA×yP=×4×(-t+4)=-2t+8． 即S=-2t+8(0＜t＜4)． ②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q． ∵点P的坐标为(t，-t+4)， ∴点Q的坐标为(，-t+4)． ∵四边形COPQ是平行四边形， ∴PQ=OC，即.解得：t=， ∴点Q的坐标为(，)． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数表达式、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是画出图形、借助平行四边形的性质解题. 23．已知：绕点顺时针旋转得到，点对应点，点对应点，以为边作等边（，，按顺时针排列），连接，，设． (1)如图1所示，若点，点在两侧，当时， ①请直接写出的度数； ②用适当的方式表述：线段与之间的关系；所在直线与之间的关系； (2)如图2所示，若点在内部，请判断四边形是否为平行四边形，并证明你的结论． 【答案】(1)①;②AD∥EF且AD=EF, 直线EF垂直平分AB (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）①根据旋转可得△ABE是等边三角形，即可求出的度数； ②由旋转可得AC=EF,再由等边三角形可得AC=AD，即可得到AD=EF，由①得，再由①可得AD∥EF；连接AF，证明△AEF≌△BEF，可得AF=BF，再结合EA=EB，即可得到直线EF垂直平分AB； （2）参考（1）中的过程证明AD∥EF且AD=EF即可． 【详解】（1）①根据旋转可得：AB=BE,AC=EF， ∴△ABE是等边三角形， ∴ ∵等边 ∴, AC=AD， ∴ ②由旋转可得AC=EF, ∴ 由①得 ∴ ∴AD∥EF ∵等边 ∴AC=AD， ∴AD=EF， 连接AF 在△AEF和△BEF中， ∴△AEF≌△BEF（SAS） ∴FA=FB ∴点F在AB的垂直平分线上 ∵EA=EAB ∴点E在AB的垂直平分线上 ∴直线EF垂直平分AB （2）四边形是平行四边形，证明如下： 根据旋转可得：AB=BE,AC=EF，， ∴△ABE是等边三角形， ∴ ∵等边 ∴, AC=AD， ∴ ∵ ∴ ∴AD∥EF ∵等边 ∴AC=AD， ∴AD=EF， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是由旋转得到对应边相等、对应角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$