八年级下学期期末卷01-2023-2024学年八年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

2023-2024 八年下数学期末测试卷01 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若，下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（    ）． A．扩大倍 B．扩大倍 C．扩大10倍 D．不变 5．如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 6．市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案I    作边的垂直平分线，分别交于点E，F，G，H，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案Ⅱ    连接，过四边形各顶 点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A．I可行、Ⅱ不可行 B．I不可行、Ⅱ可行 C．I、Ⅱ都可行 D．I、Ⅱ都不可行 8．关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A． B．6 C．和6 D．0 9．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2） 10．如图，已知直线与直线的交点横坐标为－5．根据图象有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论个数为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．因式分解： ； 12．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ． 13．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 个． 14．如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为 ． 15．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，．则点C的坐标是 ． 三、解答题 16．（1）计算：； （2）解方程：． 17．先化简，再求值： ,其中a满足. 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）； (2)将△ABC绕着点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），此时四边形BCB2C2的形状是________； (3)在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是________． 19．某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： (2)在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 20．如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点． （1）求证：MD和NE互相平分； （2）若BD⊥AC，EM=2，OD+CD=7，求△OCB的面积． 21．某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该商店第一次购进这种水果多少千克？ (2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售，若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 22．如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．当一个凸四边形的一条对角线把四边形分成一个等腰直角三角形，另一个非等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把四边形分成一个等腰直角三角形，另一个等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，，，则四边形（填“是”或“否”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，求； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024 八年下数学期末测试卷01 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的概念，根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、为整式的乘法运算，故A项不符合题意； B、变形为因式分解，故B项符合题意； C、该变形不为因式分解，故C项不符合题意； D、中为分式，则该变形不为因式分解，故D项不符合题意； 故选：B． 3．若，下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，这一法则判断A项；根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，这一法则判断B项；根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，这一法则判断C、D三项． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； B、∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； C、∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； D、∵a＜b， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（    ）． A．扩大倍 B．扩大倍 C．扩大10倍 D．不变 【答案】B 【分析】将原式中的x、y分别用、代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍， 则原式变为， 分式的值扩大倍， 故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5．如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③（同一平面）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；即可求解． 【详解】解：A、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、，，对角线相互平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 6．市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米， 根据题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意，找出对应的关系是解题的关键． 7．现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案I    作边的垂直平分线，分别交于点E，F，G，H，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案Ⅱ    连接，过四边形各顶 点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A．I可行、Ⅱ不可行 B．I不可行、Ⅱ可行 C．I、Ⅱ都可行 D．I、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】方案Ⅰ，利用三角形的中位线定理，即可得出结论；方案Ⅱ，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：方案Ⅰ：连接，    ∵作边的垂直平分线，分别交于点E，F，G，H， ∴E，F，G，H分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 方案Ⅱ：由题意，得：， ∴四边形是平行四边形； ∴ 方案I、Ⅱ都可行， 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 8．关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A． B．6 C．和6 D．0 【答案】C 【分析】化为整式方程，求得方程的最简公分母，根据方程有增根，得到x，代入整式方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：最简公分母为，当时，， 去分母得：， 当增根为时，，解得； 当增根为时，，解得； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，根据方程有增根求解参数的值，熟练掌握分式方程的求解以及分式方程增根的含义是解题的关键． 9．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2） 【答案】A 【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）． 【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M， ∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2）， ∴AH=2，HO=1， ∴Rt△AOH中，AO=， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴MG=-1， ∴G（-1，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 10．如图，已知直线与直线的交点横坐标为－5．根据图象有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论个数为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象和性质可得；，据此可判断①、②；根据直线与直线的交点即可判断③、④，由此即可得答案． 【详解】解：由图象可知，①；②；故①②错误． 直线与直线的交点的横坐标是，即方程的解为，故③正确． 当时，直线与直线的下方，不等式的解集是．故④正确． 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握其性质是解题的关键． 二、填空题 11．因式分解： ； 【答案】 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 12．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且． 【分析】本题考查了分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并合并同类项：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 13．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 个． 【答案】3 【分析】根据符号[x]的定义即可列出不等式进行求解. 【详解】∵ ∴5＞≥4 解得＞≥7 整数有7,8,9,共3个. 【点睛】此题主要考查不等式的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组. 14．如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，角平分线的尺规作图和定义，由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的中点为点M， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：2． 15．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，．则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 过点B作，交直线于点D，过点D作轴于点E，根据题意易得为等腰直角三角形，进而证明，得出，再利用待定系数法求得直线AC的解析式为，最后求出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，过点B作，交直线于点D，过点D作轴于点E， 直线与坐标轴交于A、B两点， ，， ，， ，， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， 直线AC的解析式为， 令得，则， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题 16．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解． 【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）把分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程两边同时乘，得：， 整理，得：． 当时，， 不是原方程的根，故原分式方程无解． 【点睛】本题考查实数的混合运算，解分式方程．掌握实数的混合运算法则和解分式方程的方法和步骤是解题关键． 17．先化简，再求值： ,其中a满足. 【答案】-1 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把进行变形，代入运算即可. 【详解】原式 ， 原式 【点睛】考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序是解题的关键. 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）； (2)将△ABC绕着点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），此时四边形BCB2C2的形状是________； (3)在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，平行四边形 (3)（2，－1）或（0，3）或（6，5） 【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，并连线作图即可； （2）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，并连线作图即可； （3）有三种情形，画出平行四边形，并根据平移坐标的变化求解即可． 【详解】（1）解：如图，△A1B1C1，即为所求． （2）解：如图，△A2B2C2，即为所求． 将△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到的△A2B2C2， ， 四边形BCB2C2是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）解：如下图： ①当BC为对角线时，， 平移到是向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 经过平移，可得； ②当AB为对角线时，， 平移到是向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度， 经过平移，可得； ③当AC为对角线时，， 平移到是向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度， 经过平移，可得； 综上，D的坐标是（2，－1）或（0，3）或（6，5）． 故答案为：（2，－1）或（0，3）或（6，5）． 【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换，平移坐标的变化，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 19．某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： (2)在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元 (3)商场购进A商品件时，可获得最大利润 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依题意得，，则y与x之间的函数关系式是，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由一次函数的增减性求解作答即可； （3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，由，可得，则w随x的增大而减小，然后作答即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式是； 依题意得，， 解得，， ∴x的取值范围； （2）解：， ∵， ∴当时，y取最大值，为， ∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元； （3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则， ∵， ∴， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取最大值， ∴商场购进A商品件时，可获得最大利润． 20．如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点． （1）求证：MD和NE互相平分； （2）若BD⊥AC，EM=2，OD+CD=7，求△OCB的面积． 【答案】(1)见试题解析（2）8.5． 【分析】（1）连接ED、MN，根据三角形中位线定理可得ED∥MN，ED=MN，进而得到四边形DEMN是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得MD和NE互相平分； （2）利用（1）中所求得出OC=2DN=4，再利用勾股定理以及三角形面积公式求出S△OCB=OB×CD即可． 【详解】（1）证明：连接ED、MN， ∵CE、BD是△ABC的中线， ∴E、D是AB、AC中点， ∴ED∥BC，ED=BC， ∵M、N分别为OB、OC的中点， ∴MN∥BC，MN=BC， ∴ED∥MN，ED=MN， ∴四边形DEMN是平行四边形， ∴MD和NE互相平分； （2）解：由（1）可得DN=EM=2， ∵BD⊥AC， ∴∠ODC=90°， ∵N是OC的中点， ∴OC=2DN=4（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ∵OD2+CD2=OC2=32， （OD+CD）2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49， 2OD×CD=49﹣32=17， OD×CD=8.5， ∵OB=2OM=2OD， ∴S△OCB=OB×CD=OD×CD=8.5． 21．某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该商店第一次购进这种水果多少千克？ (2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售，若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 【答案】(1)100千克 (2)15元 【分析】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于950元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克． 由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：该商店第一次购进水果100千克． （2）设每千克这种水果的标价是y元，则 ， 解得． 答：每千克这种水果的标价至少是15元 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键． 22．如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或，理由见详解 【分析】（1）根据题意，设直线的解析式为，把点，代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点，分别求出的坐标，根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质，图形几何分析即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：直线的解析表达式为：， ∴令时，；令时，； ∴， ∵直线的解析式为：， ∴令时，；令时，； ∴， 联立直线，得， ， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得，， ∵异于点的另一点，且， ∴，即； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下， 如图所示，，，， 根据题意，四边形，四边形，四边形为平行四边形， ∴的中点坐标的横坐标为，纵坐标为0， ∴设， ∴，， 解得，， ∴； ∵， ∴， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴； 同理，的横坐标为，纵坐标为， ∴； 综上所述，存在，点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，一次函数交点与二元一次方程组的运用，掌握一次函数图象，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 23．当一个凸四边形的一条对角线把四边形分成一个等腰直角三角形，另一个非等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把四边形分成一个等腰直角三角形，另一个等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，，，则四边形（填“是”或“否”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，求； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； 【答案】(1)是 (2)32或18 (3) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，从而是等腰直角三角形，又因为是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形， 是等腰直角三角形，当时，当时，再利用勾股定理可得答案； （3）利用证明，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，而， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． （2）∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， ∴是等腰三角形， 是等腰直角三角形， 当时，由勾股定理得：， 当时，由勾股定理得：， 综上：或． （3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$