2023-2024学年苏科版七年级数学下册期末复习专题 -乘法公式

2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习 专题2-乘法公式 （期末必考考点分类专题练习2） 【题型梳理】 题型 1: 利用乘法公式求最值 题型 2: 利用面积法验证乘法公式 题型 3: 乘法公式中的新定义题型 题型 4: 乘法公式的综合运用 【考点1】单项式与多项式的乘法 【例1】 关于多项式的值说法正确的是（  ） A．非负数 B．不少于1 C．不大于1 D．不低于 【变式1】对于代数式:，下列说以正确的是（　　　） A.有最大值1 B.有最小值1 C.有最小值2 D.无法确定最大最小值 【变式2】老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值． （1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b； 再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝　　+b2； 再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣　　）2+　　； 根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是　　． （2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值． 【变式3】 上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　　； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　　时，y有最 　　值（填“大”或“小”），这个值是 　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 【变式4】阅读下列材料： 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　　． （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状． 【变式5】 【材料阅读】 若，求m和n的值． 解：由题意得． ． 解得，． 【问题解决】 （1）对于代数式，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值； （2）已知的边长a，b，c满足，若c是最长边且为偶数，求的周长． 【考点2】利用面积法验证乘法公式 【例2】如图，若将①中的阴影部分剪下来，拼成图②所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（        ） A． B． C． D．． 【变式2】如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（       ） A． B． C． D． 【变式3】 如图，在边长为 a 的正方形中减去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A． B． C． D． 【变式4】从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（       ） A． B． C． D． 【变式5】 如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（　　） A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9 C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 【考点3】乘法公式中的新定义题型 【例3】现定义运算“△”，对于任意有理数a，b，都有a△b＝a2﹣ab+b．例如：3△5＝32﹣3×5+5＝﹣1，由此可知（x﹣1）△（2+x）等于（　　） A．2x﹣5 B．2x﹣3 C．﹣2x+5 D．﹣2x+3 【变式1】依次排列的两个整式A＝x2﹣1，B＝x2+x，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B求和后得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，…，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法： ①当x＝a时，C5＝（a+1）2； ②整式C10与整式C14结果相同； ③当C9•C2＝0时，A•B＝0； ④＝+2． 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22…），请把9表示为两个正整数的平方差的形式 　 　． 【变式3】 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算：　　． 【变式4】第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份． （1）八进制数3746换算成十进制数是 　 　； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值． 【变式5】 如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)28是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？是8的倍数吗？为什么？ (3)两个连续的奇数的平方差（取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 【考点4】乘法公式的综合运用 【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【变式1】如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出 一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长是（     ） A．4m+10 B．4m+2 C．4m+12 D．2m+6 【变式2】育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为　 　． 【变式3】 如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）． (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：S阴影＝　　． 方法2：S阴影＝　　． (2)写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为　　． (3)①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）2＝6，则mn的值为　　． ②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值． 【变式4】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　； （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值； ②计算：． 【变式5】 阅读：若满足，求的值， 解：设，，则______，______，所以______． 请仿照上例解决下面的问题： （1）补全题目中横线处： （2）已知，求的值； （3）若满足，求的值； （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是400，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$