精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023-2024学年高二下学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知等差数列，前项和为，且，，则（ ） A. 54 B. 45 C. 23 D. 18 2. 已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ） A 212 B. 168 C. 121 D. 163 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ） A. B. C. 2023 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（ ） （参考数据：①；②； ③） A. 这次考试成绩超过100分的约有500人 B. 这次考试分数低于70分的约有27人 C. D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程为___________. 13. 某中学食堂共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有______种不同的分配方式． 14. 已知，求数列__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，公差，且成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 17. 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方. （1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率； （2）假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望. 18. 已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍， （1）求椭圆方程； （2）点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值. 19. 定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）． （1）若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）； （2）若数列中，，．判断数列否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二下学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知为等差数列，前项和为，且，，则（ ） A. 54 B. 45 C. 23 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列公差为，依题意由等差数列求和公式及通项公式求出，从而得解. 【详解】设等差数列公差为， 因，， 所以，解得， 所以. 故选：C 2. 已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ） A. 212 B. 168 C. 121 D. 163 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合等比数列性质求出，再列方程求出数列的公比，利用等比数列求和公式可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 因为，又， 所以，因为， 所以或， 若，则，解得，， 所以， 若，则，解得，， 所以， 所以， 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 4. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝种颜色的运动服中选择种有种不同的结果， 分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝）， （黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝）， （白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝）， （蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）． 他们选择相同颜色运动服有种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝）， 故他们选择相同颜色运动服的概率为，所以他们选择不同颜色运动服的概率为. 故选：A． 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D 6. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在区间上是减函数，转化为，对恒成立求解. 【详解】解：因为函数在区间上是减函数， 所以，对恒成立， 即，对恒成立， 令，由对勾函数的性质得， 所以， 故选：D 7. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. 【详解】设，则， 故为上的增函数， 而可化为即， 故即，所以不等式的解集为， 故选：A. 8. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ） A. B. C. 2023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，进而即得. 【详解】令，得. 又因为，所以. 由，得，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可. 【详解】由在上是增函数，故A正确； 对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误； 函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确； ， 定义域为， 在定义域内不是增函数，故D错误； 故选：AC. 10. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（ ） （参考数据：①；②； ③） A. 这次考试成绩超过100分的约有500人 B. 这次考试分数低于70分的约有27人 C. D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质和原则求出和即可求出成绩超过100分和低于70分的人数判断A、B；由正态分布的对称性和原则可求出，进而判断C；利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式结合A选项即可求解判断D. 【详解】由题意可知，对于选项A，，，则， 则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误； 对于选项，， 所以分数低于70分的人数约为，即约为27人，故选项B正确； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下： ①恰好2人时概率为； ②3人均超过100分时的概率为， 则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误. 故选：ACD. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，计算出切线斜率，同时计算出函数值，然后可得切线方程． 【详解】由得，所以，所以的图象在处的切线方程为，即. 故答案为：． 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数图象在点处的切线方程是． 13. 某中学食堂共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有______种不同的分配方式． 【答案】100 【解析】 【分析】先根据甲的要求将人数分组再按甲同学不去二楼优先分配有甲的一组，再将剩下两组分配到另外两层即可求解. 【详解】若甲1个人一组，其他两组人数为1，3或2，2， 因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有（种）； 若甲和另外1个人两人一组，其他两组人数为1，2， 因为甲同学不去二楼，则不同的分配方式有（种）； 若甲和另外2个人三人一组，其他两组人数为1，1， 因为甲同学不去二楼，则不同的分配方式有（种）， 综上，共有种不同分配方法. 故答案为：100. 14. 已知，求数列__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式. 【详解】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得结果； （2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 且，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得， 可得 ， 所以. 16. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 17. 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方. （1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率； （2）假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） X 1 2 3 4 p 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X的可能取值为1，2，3，4，及对应的概率，写出分布列，求出期望值. 【小问1详解】 设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜. 事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则， 事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则； 则 【小问2详解】 X的可能取值为1，2，3，4. ，，，， 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 p 其中. 即数学期望为. 18. 已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍， （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）分析出两点关于轴对称，设出直线，故，联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，求出，得到. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意知，解得， 椭圆的方程； 【小问2详解】 因为的面积与的面积总相等，故为的中点， 结合对称性可知两点关于轴对称， 由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0， 设直线，故， ，化简得， 由得，， 设，则， 则， 直线，令得， ， 所以. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）． （1）若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）； （2）若数列中，，．判断数列否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用累加法求得数列的通项不等式； （2）根据“类等差数列”的定义，计算，然后通过单调性求得，从而证得结论成立. 【小问1详解】 依题意有：，，，， 将这个不等式相加，得， 经检验成立，从而，； 【小问2详解】 数列是类等差数列，理由如下： 法一：因为， 所以， 即， 因为，所以，则是递减数列，最大项为， 所以， ， 所以， 所以， 所以是递减数列，故其最大项为，且， 所以， 所以数列是类等差数列． 法二：， 又，所以，则是递减数列，最大项为， 由于数列为递减数列，则为递增数列，且， 所以是递减数列，故其最大顶为，所以， 又由法一知，所以，所以， 所以数列是类等差数列． 【点睛】关键点点睛：理解“类等差数列”的定义，是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$