精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

兴宁一中高二下期数学月考二试题 2024.6 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：B. 2. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 3. 对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ） A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 预报变量的值由解释变量唯一确定 C. 相关指数越小，说明该模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 【答案】D 【解析】 【分析】由线性回归方程的特点判断A与B；由相关指数与预报效果间的关系判断C；由残差图的形状与拟合效果间的关系判断D，即可求解. 【详解】对于一组具有线性相关关系的数据，可能所有的样本点都不在回归直线上，故A不正确； 预报变量的值由解释变量进行估计，所以B不正确； 相关系数越小，残差的平方和越大，说明该模型的拟合效果越不好，所以C不正确； 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了统计的相关关系的概念及其应用，其中解答中正确理解统计中相关性的概念是解答的关键，属于基础题. 4. 随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出. 【详解】设，， 由题意，，且， 解得，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 5. 设随机变量，已知，则（    ） A. 0.95 B. 0.05 C. 0.975 D. 0.425 【答案】A 【解析】 【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率． 【详解】. 故选：A. 6. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到10个数中任取5个不同的数的情况数，再分析出中位数为5的情况数，得到概率. 【详解】从10个数中任取5个不同的数，共有种情况， 其中中位数为5，则要选5，且0、1、2、3、4中选2个数，6、7、8、9中选2个数， 故有种情况， 故这5个不同的数的中位数为5的概率为. 故选：C 7. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得． 当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值， 当时，即， 解得或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 故选：A． 8. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将展开成，利用二项展开式特点分析即得. 【详解】令，得，令，得， 两式相减，． 因为， 其中被8整除，所以被8除的余数为1， 从而能被8整除． 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（    ） A. B. 单调递增区间为 C. 的极大值为1 D. 方程有两个不同的解 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，先求出的导数，再逐项分析即可. 【详解】函数的定义域为 , 求导得. 对于A，，A正确. 对于B，由解得，函数的单调递增区间为，B正确. 对于C，当时, ，当时, ，则函数在上递减，在上递增，当时, 取得极小值, 无极大值， C错误. 对于D，显然函数在上递减，在上递增, ，则方程有唯一解，D错误. 故选: AB. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 从一副扑克52张牌（去掉两张王牌后）中任取1张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率为 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件A发生的概率，若，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，即可判断A，根据条件概率的定义，即可判断B，根据二项分布的期望和方差公式，即可判断C，根据分布列的性质，结合裂项相消法，即可判断D. 【详解】对于A，依题意，，因此，A正确； 对于B.梅花有13张，所以在抽到梅花的条件下，抽到梅花5的概率为，故B错误； 对于C，依题意，，解得，C正确. 对于D，， 解得，D正确； 故选：ACD 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据所给新定义，进行转化，首先求出时关于原点对称的函数为，即在上有两解，构造函数，研究的图像与性质，即可得解. 【详解】首先求出时关于原点对称的函数为， 若要恰有两个“友情点对”， 则有两解，即在上有两解， 令，求导可得，， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 则， 所以其图像为： 若要在上有两解，则， 故选：BD 【点睛】本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定计算量，属于中档题.本题的关键有： （1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点； （2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为__________. 【答案】0.043 【解析】 【分析】代入全概率公式，列式求解. 【详解】设取到一件产品，是第一批产品，为事件，取到一件产品是第二批产品，为事件，取得一件产品，为次品，为事件， 则. 故答案为： 13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）． 【答案】4760 【解析】 【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得. 【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为， 一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝， 所以一年后公司收益的期望为（元）. 故答案为：4760. 14. 若定义在R上的函数满足，，则不等式的解为___________. 【答案】 【解析】 【详解】构造函数，则.由可知在（）内单调递增，从而有.故. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； （3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 【答案】（1） （2） 的分布列为 1 2 3 （3） 的分布列为 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式，即可求解； （2）根据超几何概率公式，列式求解； （3）根据题意，结合互斥事件，对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 令表示事件“三种粽子各取到1个”，则； 【小问2详解】 的所有可能值为， 且 综上知，的分布列为 1 2 3 【小问3详解】 由题意知的所有可能值为，且，. 综上知，的分布列为 1 2 3 16. 某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： 1 2 3 4 5 35 40 50 55 70 （1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱） （2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量． 参考数据：． 参考公式：相关系数； 回归直线方程中，． 【答案】（1）0.98，变量和的线性相关程度很强； （2），75.5万件． 【解析】 【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出； （2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程，令代入计算即可. 【小问1详解】 由题可知， ， 所以， 因为，所以变量和的线性相关程度很强． 【小问2详解】 ， ． 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件． 17. 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示： 应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计 广泛应用 60 50 110 没有广泛应用 40 50 90 合计 100 100 200 （1）根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？ （2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）无关； （2）且；． 【解析】 【分析】（1）计算出，对照临界值表即可作出判断； （2）根据二项分布概率公式即可得分布列，由和，列不等式组求解可得k. 【小问1详解】 零假设企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关． 【小问2详解】 由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用的概率为，没有广泛应用的概率为， 因为， 所以X的分布列为且． 若是最大值，则且， 根据， 即，整理得，解得, 又且，所以． 即使取得最大值时k的值为18. 18. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）当，的单调增区间为，单调减区间为； 当，的单调减区间为，单调增区间为； 当，的单调减区间为，没有单调增区间； 当，的单调减区间为，单调增区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求得，，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）讨论参数与和的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间； （3）将问题转化为在上的最大值，根据（2）中所求单调性，求得，再构造函数解关于的不等式即可. 【小问1详解】 ，，又，， 故的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，又，， 则时，当，，单调递增；当，，单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减； 时，当，，在单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减. 综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为； 当，的单调减区间为，单调增区间为； 当，的单调减区间为，没有单调增区间； 当，的单调减区间为，单调增区间为. 【小问3详解】 若对任意，都有，则在上的最大值； 由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减， 故； 令，则， 故在单调递增，又，则； 故当时，， 也即当时，对任意，都有. 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将在区间上恒成立，转化为，再根据第二问中所求函数单调性求得，再构造函数解不等式即可. 19. 某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为． （1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为； （ⅰ）若，试运用概率与统计的知识，求关于的函数关系， （ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值（，，，，，） 【答案】（1）（2）（ⅰ）．（ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）（ⅰ）先求出，再化简即得解；（ⅱ）由，得到，再利用导数解不等式得解. 【详解】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件，则 ， 即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为． （2）（ⅰ）由题意知，取值的可能有1，， ， ， 所以， 由，得，即，所以， 所以关于的函数关系． （ⅱ）由题意知，，所以，即， 所以，又，所以， 两边同时取对数，得，即， 设，则，易知函数在上单调递减， ，， 所以的最大值为8． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立重复试验的概率的计算，考查随机变量的期望的计算，考查利用导数解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中高二下期数学月考二试题 2024.6 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ） A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 预报变量的值由解释变量唯一确定 C. 相关指数越小，说明该模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 4. 随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量，已知，则（    ） A. 0.95 B. 0.05 C. 0.975 D. 0.425 6. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（    ） A. B. 单调递增区间为 C. 的极大值为1 D. 方程有两个不同的解 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 从一副扑克52张牌（去掉两张王牌后）中任取1张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率为 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件A发生的概率，若，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为__________. 13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）． 14. 若定义在R上的函数满足，，则不等式的解为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； （3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 16. 某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： 1 2 3 4 5 35 40 50 55 70 （1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱） （2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量． 参考数据：． 参考公式：相关系数； 回归直线方程中，． 17. 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示： 应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计 广泛应用 60 50 110 没有广泛应用 40 50 90 合计 100 100 200 （1）根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？ （2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 19. 某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为． （1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为； （ⅰ）若，试运用概率与统计的知识，求关于的函数关系， （ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值（，，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $