精品解析：四川省成都市新津区 外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

2023-2024学年八年级（下）数学试卷 一、选择题（每题4分，本大题共8个小题，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各项中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点P(x-3，x)在第二象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 20或16 6. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分） 9. 多项式的公因式是________． 10. 若有一个因式，则_____． 11. 如图，，平分，，，若，则_____________． 12. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转α度得到．若点刚好落在边上，则_______________． 13. 如图，在等腰中，，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若，则______． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14. 分解因式： （1） （2） （3） 15. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）与关于点O成中心对称，画出对应的； （2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （3）若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为　　，旋转中心坐标为　　． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点 （1）求m的值和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； （3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________． 20. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____． 21. 若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是________． 22. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________． 23. 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为______． 二、解答题 24. 某市正式出台了住房限购政策：本市户籍居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房，有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表： A B 成本（万/套） 25 28 售价（万/套） 30 34 （1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? （2）该公司如何建房获得利润最大?最大利润是多少? 25. 已知长为a、b、c、d的四条线段．，以a、b为边构造，其中；以c、d为边构造，其中． （1）判断和的形状并证明； （2）将和按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取的中点M，连接．若，请猜想与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，当B、C、E不共线时，连接并取其中点M，连接、若，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由． 26. 【模型建立】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，则直线的函数表达式为 ． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边放到x轴上，若，在x轴上存在点M使的以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年八年级（下）数学试卷 一、选择题（每题4分，本大题共8个小题，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如果，那么下列各项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，故A错误； B、如果，则，故B正确； C、如果，则，故C错误； D、如果，则，故D错误； 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键． 3. 下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．不是几个整式的积的形式， 从左到右的变形不是分解因式， 选项A不符合题意； B．不是几个整式的积的形式， 从左到右的变形不是分解因式， 选项B不符合题意； C．， 从左到右的变形是分解因式， 选项C符合题意； D．是运用平方差公式计算， 从左到右的变形不是分解因式， 选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 4. 在平面直角坐标系中，若点P(x-3，x)在第二象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】∵点P（x-3，x）在第二象限， ∴， 解得：0＜x＜3． 故选A. 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）；熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键， 5. 等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 20或16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，运用好分类讨论思想是解答本题的关键．分腰长为4或8，两种情况讨论． 【详解】解：当等腰三角形腰长为4时， ， 不能构成三角形； 当腰长为8时， ，能构成三角形， 其周长为：， 故选：B． 6. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 7. 小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系． 【详解】解：设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟， 根据题意，得：， 故选：A． 8. 如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，勾股定理及平移的性质，知道平移的距离为是解决问题的关键． 由题意得，平移的距离为，根据含直角三角形的性质和勾股定理可设，则，则，解方程即可． 【详解】解：过作交于， ， 由题意得，平移的距离为， 在中，中，， ， ，， ，， ， 设，则， 则由勾股定理得：， 解得：， 平移的距离为， 故选：C． 二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分） 9. 多项式的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了公因式，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案． 【详解】解：， 则多项式的公因式是． 故答案为：． 10. 若有一个因式，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据有一个因式，设，再展开合并同类项，得出解出，即可作答． 【详解】解：∵有一个因式， ∴设， ∴ ∴， ∴． 故答案为：8． 11. 如图，，平分，，，若，则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】由，平分，可得，即可得到，根据可得的长，再根据角平分线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，负值舍去， ∵平分，，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握运用这相关性质是解题关键． 12. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转α度得到．若点刚好落在边上，则_______________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，由等腰三角形的性质得到，然后根据算出，即可得． 【详解】解：∵将绕点B按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，判断得出是解决此题的关键． 13. 如图，在等腰中，，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得垂直平分，交于点，如图，则，，再利用等腰直角三角形的性质得到，，得，为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出． 【详解】解：由作法得垂直平分，交于点，如图， ，， 为等腰直角三角形， ，， ，为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的作图和性质、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14. 分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）直接利用平方差公式进行因式分解； （2）直接利用十字相乘法进行因式分解； （3）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 ． 15. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别解每一个不等式，再取解集的公共部分，求出不等式组的解集，找出所有的整数解即可． 【详解】解： 由①得：，解得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：， ∴整数解的和为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）与关于点O成中心对称，画出对应的； （2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （3）若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为　　，旋转中心坐标为　　． 【答案】（1）如图，即为所求作． （2） 即为所求作．     （3）， 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可． （2）分别作出A，B，C的对应点即可． （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接 分别作的垂直平分线，交点即为旋转中心， 所以将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为，旋转中心坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点 （1）求m的值和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）, （2）6 （3），，， 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数过，可得m，设一次函数解析式为代入求解即可； （2）根据一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解； （3）根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底时求解即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数过， ， 解得：， ， 设一次函数解析式为，且过A、C，得： 解得 ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 的面积为：． 【小问3详解】 解：由（1），，，， ， 情况一：当底是时，如图： ， ； 情况二：当底是时，如图： M在A右侧，， ， ， M 在A左侧，， ， ， 情况三、当底是时，如图： ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述：，，，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键． 18. 如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； （3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 证明：由（1）可得， ∴，， 如图，连接， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∵， ∴，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论； （2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图，连接，并延长交于点M， 根据折叠的性质，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________． 【答案】0 【解析】 【分析】方程组两方程相减表示出，代入已知不等式即可求出的范围，进而确定出最大整数值即可． 【详解】解：， ②①得：， ∵x﹣y＞0， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 20. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键． 21. 若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有6个整数解，得出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组的整数解仅有6个， ， 解得：， 故答案为：． 22. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 23. 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接FB，EC，证明△BFM是等边三角形，△EMC是等边三角形，过点E作ED⊥AC，垂足为D，根据30°角的函数值，求得ED，AD，DC，再用勾股定理计算EC即EM的长，结合BM=BE+EM计算即可． 【详解】如图，连接FB，EC， ∵∠BAC=120°，∠BAE=∠CAF=90°，AB=AE=AC=AF=， ∴∠EAC=30°，∠BAF=150°，∠ABE=∠AEB=∠AFC=∠ACF=45°，BE=FC=4， ∵AB=AF， ∴∠ABF=∠AFB=15°， ∴∠FBE=∠BFC=60°， ∴△BFM是等边三角形， ∴△EMC是等边三角形， 过点E作ED⊥AC，垂足为D， 则ED=AEsin30°=，AD=AEcos30°=， ∴DC=AC-AD=， 根据勾股定理，得EC=， ∴BM=BE+EM==． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，特殊角的三角函数，勾股定理是解题的关键． 二、解答题 24. 某市正式出台了住房限购政策：本市户籍居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房，有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表： A B 成本（万/套） 25 28 售价（万/套） 30 34 （1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? （2）该公司如何建房获得利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）共有三种建房方案， 方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套， 方案二：建造型的住房49套，建造型住房31套， 方案三：建造型的住房50套，建造型住房30套； （2）建造型的住房48套，建造型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据表格中的数据和该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案； （2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到利润与建造型住房的函数关系，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【小问1详解】 解：（1）设建造型的住房套，则建造型住房套， ， 解得：， 为整数， ，49，50， 共有三种建房方案， 方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套， 方案二：建造型的住房49套，建造型住房31套， 方案三：建造型的住房50套，建造型住房30套； 【小问2详解】 解：设利润为元， ， ， 当时，取得最大值，此时，， 答：采用建房方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元． 25. 已知长为a、b、c、d的四条线段．，以a、b为边构造，其中；以c、d为边构造，其中． （1）判断和的形状并证明； （2）将和按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取的中点M，连接．若，请猜想与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，当B、C、E不共线时，连接并取其中点M，连接、若，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【答案】（1） 解：结论：，都是等腰三角形； 理由：∵， ∴， ∴，， ∴，都是等腰三角形； （2） 猜想：． 理由：延长到T，使得，连接，延长交的延长线于点K． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 解：猜想仍然成立． 理由：延长到Q，使得，连接，延长交于点J． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质证明，，可得结论； （2）猜想：．延长到T，使得，连接，延长交的延长线于点K．证明，推出，，推出，推出，再证明，推出，再利用四边形内角和为可得结论； （3）猜想仍然成立，延长到Q，使得，连接，延长交于点J．证明，则，得到，则，再证明，则，再利用四边形内角和为可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26. 【模型建立】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，则直线的函数表达式为 ． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边放到x轴上，若，在x轴上存在点M使的以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标． 【答案】 （1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）或； （4）点D的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点B作，交于F，过F作轴于H，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； （3）由（1）得，得，可求出或1，即可得出点M的坐标； （4）分点P为直角顶点或点C为直角顶点时或点D为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点D的坐标，即可解决问题． 【详解】证明：（1） 略 （2）解：过点B作，交于F，过F作轴于H， 则是等腰直角三角形， 由（1）同理可证， ∴，， ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设的函数解析式为， 将点A，F的坐标代入得，， ∴直线的函数解析式为， 故答案为：； （3）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当M在x轴负半轴时， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或； （4）解：①若点P为直角顶点时，构造K型图如图， 设点P的坐标为，则的长为， 同（1）可证明， ∴，， ∴点D的坐标为， 又∵点D在直线上， ∴， 解得：， 即点D的坐标为； ②若点C为直角顶点时，如图， 设点P的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ∴，， ∴点D的坐标为， 又∵点D在直线上， ∴， 解得：， ∴点P与点A重合，点M与点O重合， 即点D的坐标为； ③若点D为直角顶点时，如图， 设点P的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ∴，， ∴， 又∵点D在直线上， ∴， 解得：， ∴点P与点A重合，点M与点O重合， 即点D的坐标为， 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $