精品解析：江西省吉安市六校协作体2024届高三下学期5月联合数学试题

吉安市2024届高三 吉水中学 吉安县立中学 峡江中学 永丰中学 井冈山 中学泰和中学 六校协作体5月联合考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的分类得出结论． 【详解】由， 为实数，，解得． 故选：B． 2. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，根据向量垂直的坐标运算可求. 【详解】两边平方得，所以，解得. 故选:D. 3. 已知圆与直线有公共点，则整数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，由点到直线距离得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可知圆的标准方程为，圆心为，半径， 所以，得，即， 可得，又，故. 故选：B. 4. 已知三棱锥的所有棱长均为6，点分别在棱上，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体的性质结合已知，可以推断出的中点为的中心，则为高，再根据的面积关系，即可利用正面体的体积求所求体积. 【详解】如图，因为，， 所以，，所以， 取的中点，延长BO交CD于M，底面如下图所示： 因为在等边中，，， 所以，所以， 所以为等边的重心，也是中心，则平面， 所以， 故. 故选：C. 5. 为营造欢乐节日气氛､传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区两个规定区域燃放烟花爆竹，甲､乙两人各自决定从这7天选1天去中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲､乙两人不在同一天去同一个地方，则去的种数为（ ） A. 35 B. 84 C. 91 D. 182 【答案】D 【解析】 【分析】用分步乘法原理，分别从七天中任选一天，再任选一个地区，然后减去重复的，即两人同一天选同一个地区，计算即可. 【详解】甲、乙两人不在同一天去同一个地方的种数为. 故选：D. 6. 若，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分离常数可得，设，根据的性质，结合函数与方程的关系即可求解. 【详解】由，得， 设，则， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 若，则（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合两角和的正弦公式可得，求解即可. 【详解】因为 ， 所以， 即，所以. 故选：C. 8. 已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（ ） A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据和的关系，消去，可得数列是等差数列，求出，再根据放缩和裂项相消法即可求出，从而根据新定义解出. 【详解】因为， 当时，，，． 当时，由及， 即，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 因此，则， ， 又当时，， ， 对于， ， 即， ． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布高压平台，实现充电分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据：，则（ ） A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为3 C. 这组数据的平均数为2.5 D. 这组数据的分位数为2 【答案】AD 【解析】 【分析】把给定数据由小到大排列，再利用众数、极差、平均数及分位数的意义依次判断即得. 【详解】数据从小到大排列为， 对于A，该组数据的众数为1，A正确； 对于，极差为4，B错误； 对于C，平均数为，C错误； 对于D，由，得这组数据的分位数为第4个数2，D正确. 故选：AD 10. 已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的值可以为3 C. D. 若的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出；B选项，先设，计算出，从而得到；C选项，由对称性和椭圆定义求出C正确；D选项，由三角形面积求出点坐标，得到，得到D正确. 【详解】A选项，椭圆中，，离心率为，A正确； B选项，设，且，则， 故， 所以，B错误； C选项，由对称性可得，所以，C正确； D选项，不妨设在第一象限，，则，则， 则，则，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D. 【详解】因为， 所以， 所以的图象不关于点对称，A说法错误； 当时，，由可得， 当时，，由可得， 综上，B说法正确； 当时，由解得， 当时，由解得， 所以方程在上的前7个实根分别为， 所以，C说法正确； 由解得或， 又因为， 所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示， 所以有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以，解得， 设，则， 所以，所以的取值范围是，D说法错误， 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，则集合的子集个数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由交集的运算得到，再由集合子集的个数计算公式计算即可. 【详解】由题意可得，故的子集个数为. 故答案为：4. 13. 已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可得， 由余弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以根据基本不等式， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 14. 在以为原点的平面直角坐标系中，和分别为双曲线的左､右焦点，点为右支上一点，且是以为顶点的直角三角形，延长交的左支于点，若点为线段上靠近点的五等分点，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形边角关系和余弦定理得出，进而得到，即可求出离心率. 【详解】由点为线段上靠近点的五等分点， 不妨设，则，连接. 由双曲线的定义可知，. 由是以为顶点的直角三角形可知，， 则①. 在中，②， 在中，③， 由①②得，所以； 由①③得，所以. 所以，解得， 所以， 所以，故. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有2个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求切线的斜率，再代入求出，然后由点斜式求出直线方程即可； （2）求导后分大于零和小于等于零讨论，分析函数的单调性，求出极小值小于零时的取值范围即可； 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，因为， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 ，若在上单调递增，不满足题意， 若，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 且当和时，， 故，解得， 即的取值范围是. 16. 2023年10月国家发改委､工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年—2023年中国竹产业产值规模 （单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码依次为. 1 2 3 4 5 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 （1）记第年与年中国竹产业产值规模 差值的2倍的整数部分分别为，从中任取2个数相乘，记乘积为 ，求 的分布列与期望； （2）根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模 与年份之间的关系. 参考数据：，，， 相关系数若，则认为 与有较强的相关性. 【答案】（1）分布列： 数学期望为 （2）可以用线性回归模型拟合 与的关系. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，确定，，，的值，由此确定 的取值，求出 分布列及 0 1 2 期望即可； （2）根据已知条件，利用公式求出相关系数即可. 【小问1详解】 第 年和第 年中国竹产业产值规模 差值的2倍为， 整数部分为，所以； 第 年和第 年中国竹产业产值规模 差值的2倍为， 整数部分为 ，所以； 第年和第 年中国竹产业产值规模 差值的2倍为， 整数部分为 ，所以； 第 年和第年中国竹产业产值规模 差值的2倍为， 整数部分为 ，所以； 所以，， 所以 的取值依次为， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问2详解】 由题意得，， ， ， ，， 所以， . 因为 与的相关系数大于0.75，说明 与的线性相关程度高， 可以用线性回归模型拟合 与的关系. 17. 如图，为圆锥的轴截面，点为圆上与不重合的点. （1）在线段上找一点，使平面平面，并证明你的结论； （2）若平面，点在平面的两侧，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）点为中点，证明如下： 因为为圆的直径，所以， 当点为中点时，，所以， 在圆锥中，平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 所以当点为中点时，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）当为的中点时，平面平面，理由：由已知可得，，利用线线垂直可得平面，可得结论； （2）以点为原点，建立 空间直角坐标系，求得平面平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 当为的中点时，平面平面，证明略 【小问2详解】 以点为原点，直线为轴､过点与平面垂直的直线为轴､直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有， 取，得 设平面的一个法向量为， 则有， 取，得 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切. （1）若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程； （2）若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1），； （2）是定值0. 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率和中点坐标，得到，得到的方程，求出直线方程，联立抛物线，根据根的判别式为0求出，得到的方程； （2）由（1）知，直线斜率存在且为，表达出直线的方程，与联立，根据根的判别式为0求出，同理可得，两式相减得到. 【小问1详解】 因为直线的斜率为2，线段的中点为， 所以， 所以直线的斜率为， 所以的方程为， 直线方程为，即， 与联立得， 因为直线与相切， 所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线斜率存在且为， 设直线在轴上的截距为，则， 整理得 所以直线的方程为， 与联立得， 因为直线与相切，所以， 整理得， 同理可得， 以上两式相减得， 由直线与相切可得，由不重合可得， 所以，即为定值0. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量，幂和对称多项式，且；初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加，且.例如：对.已知三次函数有3个零点，且.记，. （1）证明：； （2）（i）证明：； （ii）证明：，且； （3）若，求. 【答案】（1）证明： ， ， （2）（i）证明：由（1）可知 由①+②+③得. （ii）证明：①，②，③各乘，得 ④+⑤+⑥得， 即. （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知有三个零点可得，结合题目中的多项式展开证明即可； （2）（i）由（1）可知，再①+②+③合并同类项即可；（ii）①，②，③各乘，，然后再将所得三式相加即可； （3）由已知结合题中多项式解出，再由（2）（ii）得解出，由解出即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【小问3详解】 由题可知， ， ， 由，得， 解得， 由（2）（ii）得， 解得 ， 解得， 即. 【点睛】关键点点睛：本题三小问的关键全是能够理解题目中多项式的新定义，再结合新定义计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市2024届高三 吉水中学 吉安县立中学 峡江中学 永丰中学 井冈山 中学泰和中学 六校协作体5月联合考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与直线有公共点，则整数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知三棱锥的所有棱长均为6，点分别在棱上，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 为营造欢乐节日气氛､传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区两个规定区域燃放烟花爆竹，甲､乙两人各自决定从这7天选1天去中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲､乙两人不在同一天去同一个地方，则去的种数为（ ） A. 35 B. 84 C. 91 D. 182 6. 若，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 8. 已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（ ） A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布高压平台，实现充电分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据：，则（ ） A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为3 C. 这组数据的平均数为2.5 D. 这组数据的分位数为2 10. 已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的值可以为3 C. D. 若的面积为，则 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，则集合的子集个数为__________. 13. 已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为__________. 14. 在以为原点的平面直角坐标系中，和分别为双曲线的左､右焦点，点为右支上一点，且是以为顶点的直角三角形，延长交的左支于点，若点为线段上靠近点的五等分点，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有2个零点，求的取值范围. 16. 2023年10月国家发改委､工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年—2023年中国竹产业产值规模 （单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码依次为. 1 2 3 4 5 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 （1）记第年与年中国竹产业产值规模 差值的2倍的整数部分分别为，从中任取2个数相乘，记乘积为 ，求 的分布列与期望； （2）根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模 与年份之间的关系. 参考数据：，，， 相关系数若，则认为 与有较强的相关性. 17. 如图，为圆锥的轴截面，点为圆上与不重合的点. （1）在线段上找一点，使平面平面，并证明你的结论； （2）若平面，点在平面的两侧，，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切. （1）若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程； （2）若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 19. 初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量，幂和对称多项式，且；初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加，且.例如：对.已知三次函数有3个零点，且.记，. （1）证明：； （2）（i）证明：； （ii）证明：，且； （3）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $