精品解析：湖南省长沙市长沙县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

数学 时量：120分钟 总分值：120分 一、选择题（3分×10=30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正五边形 D. 等边三角形 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 一组对边平行且另一组对边相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 7. 已知一组数据：3，2，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 5 C. D. 3 8. 如图，在中，，点D，E分别是的中点，连接，，若，则的周长为（ ） A. 13 B. C. D. 18 9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　　） A 40° B. 50° C. 60° D. 80° 10. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 二、填空题（3分×6=18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 甲、乙两名同学10次跳远成绩的方差分别为，则跳远成绩更稳定的是___________． 13. 在菱形中，已知，，那么菱形的面积为______． 14. 若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为___________． 15. 已知是整数，则正整数n的最小值为__________ 16. 如图，在正方形中，点E在对角线上，，连接，于点E，交于点F，连接，，已知，则面积为_____． 三、解答题（写出必要的解题步骤）（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知一次函数的图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式． 19. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上） （1）先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． （2）与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 20. 如图，在中，，边上的高，求的长． 21. 我县某初中举办“课外读物知识竞赛”，八年级和七年级组根据初赛成绩各选出名选手组成组代表队参加全县的决赛，两个年级各选出名选手的决赛成绩如图所示： 平均分分 中位数分 众数分 方差 八年级 七年级 （1）根据图示，填写 ______ ， ______ ； （2）结合两个年级成绩平均数和中位数进行分析，哪个年级的决赛成绩较好？ （3）计算八年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定，参考公式：方差 22. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； （2）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 23. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形． 24. 对于点，规定：若，那么就把叫a点P的亲密数．例如：若，则，那么4叫点P的亲密数． （1）在平面直角坐标系中，已知点． ①，与点A的亲密数相等的点是___________； ②若点E在直线上，且与点A的亲密数相同，则点E的坐标是___________； ③若点F在直线上,且与点A的亲密数相同，则点F的坐标是___________； （2）如图点P是矩形边上的任意点，且点，，点Q是直线上的任意点，若存在两点P、Q的亲密数相同，请求出b的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A． （1）求出点A的坐标． （2）若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 时量：120分钟 总分值：120分 一、选择题（3分×10=30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正五边形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解． 【详解】解：、平行四边形是中心对称图形，符合题意； 、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、等边三角形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解并掌握中心对称图形的概念，及特殊四边形的性质是解题的关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式中不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式是解题的关键． 3. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义， 则必须即：． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 4. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得点A到原点的距离即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，点A到原点的距离为：， 则数轴上点A表示的实数是， 故选：B． 【点睛】本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得点A到原点的距离是解题的关键． 5. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出的取值范围即可． 【详解】解：一次函数的图象经过二、三、四象限， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在二、三、四象限． 6. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 一组对边平行且另一组对边相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 已知一组数据：3，2，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义，计算即可． 本题考查中位数．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． 【详解】根据题意，得数据排序如下：2，2，3，4，5， 中位数是第3个数据，即3， 故选D． 8. 如图，在中，，点D，E分别是的中点，连接，，若，则的周长为（ ） A. 13 B. C. D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据，点D，E分别是的中点，，得到，，结合的周长为，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】∵，点D，E分别是的中点，， ∴，， ∴ ∵的周长为， 故选 D． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可． 解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°， ∴∠BAD=180°-∠B=100°． ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE=∠BAD=50°． ∴∠AEB=∠DAE=50° ∵CF∥AE ∴∠1=∠AEB=50°． 故选B． 10. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 二、填空题（3分×6=18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标的特征：横、纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 甲、乙两名同学10次跳远成绩的方差分别为，则跳远成绩更稳定的是___________． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差越小，越稳定，比较方差大小解答即可． 考查了方差的意义，熟练掌握方差越小，越稳定是解题的关键． 【详解】∵， ∴甲更稳定， 故答案为：甲． 13. 在菱形中，已知，，那么菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半求得． 【详解】解：由已知得，菱形的面积． 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半，掌握菱形的面积的计算公式是解题的关键． 14. 若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数，得到，解得，解得即可． 本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵是正比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 已知是整数，则正整数n的最小值为__________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据是整数，得到是一个完全平方数，进而求出正整数n的最小值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一个完全平方数， ∴正整数n的最小值为； 故答案为：3． 16. 如图，在正方形中，点E在对角线上，，连接，于点E，交于点F，连接，，已知，则的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】过点E作交于点G，交于点H，由正方形，，，得，，，，证，，证得，从而求得的面积． 【详解】解：如图，过点E作交于点G，交于点H， ∵正方形， ， ∴， ∴，． ∵正方形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵在正方形中，点E在对角线上， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练运用相关几何性质是解题的关键． 三、解答题（写出必要的解题步骤）（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据二次根式加减的混合运算法则解答即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可． 本题考查了二次根式加减混合运算，乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 已知一次函数的图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，把两个已知点的坐标代入得到k、b的方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b， 根据题意得，解得， 所以一次函数的解析式为y=2x-1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 19. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上） （1）先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． （2）与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成中心对称， 【解析】 【分析】（1）根据旋转和平移变换的定义和性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连接可得； （2）根据中心对称的概念即可判断． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求； 【小问2详解】 由图可知，与关于点成中心对称． 【点睛】本题主要考查作图旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． 20. 如图，在中，，边上的高，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 21. 我县某初中举办“课外读物知识竞赛”，八年级和七年级组根据初赛成绩各选出名选手组成组代表队参加全县的决赛，两个年级各选出名选手的决赛成绩如图所示： 平均分分 中位数分 众数分 方差 八年级 七年级 （1）根据图示，填写 ______ ， ______ ； （2）结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级的决赛成绩较好？ （3）计算八年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定，参考公式：方差 【答案】（1）85；85 （2）八年级，见解析 （3）80；八年级 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数的定义即可得出答案； （2）首先比较平均数，然后根据中位数的大小判断； （3）先求出八年级的方差，再根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【小问1详解】 ， 八年级的成绩分出现了次，出现的次数最多， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 两队的平均成绩相同，而八年级的中位数较大，因而八年级的决赛成绩较好； 【小问3详解】 八年级决赛成绩的方差： ， 八年级的方差是，七年级的方差是，， 八年级代表队选手成绩较为稳定． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 22. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； （2）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【答案】（1）甲，乙； （2）当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多； 当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱； 当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱 【解析】 【分析】（1）根据题意列出解析式，甲商场直接用商品原价乘以折扣等于购物金额，乙商场分情况讨论，区分200元以内和超过200元两种情况； （2）比较甲乙两家商场的购物金额，解一元一次不等式即可 【详解】（1）商品原价乘以折扣等于购物金额 甲 当时， 当时， 乙 （2）两商场购物花钱一样多时： ，解得： 在甲商场购物省钱： ，解得： 乙商场购物省钱： ，解得： 当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多； 当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱； 当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意列出解析式是本题解题的关键． 23. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可． （2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可． 【详解】（1）∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴AG=DC． ∵E、F分别为AG、DC的中点， ∴GE=AG，DF=DC， 即GE=DF，GE∥DF． ∴四边形DEGF是平行四边形． （2）连接DG， ∵四边形AGCD是平行四边形， ∴AD=CG， ∵G为BC中点， ∴BG=CG=AD， ∵AD∥BG， ∴四边形ABGD平行四边形， ∴AB∥DG， ∵∠B=90°， ∴∠DGC=∠B=90°， ∵F为CD中点， ∴GF=DF=CF， 即GF=DF， ∵四边形DEGF是平行四边形， ∴四边形DEGF是菱形． 24. 对于点，规定：若，那么就把叫a点P的亲密数．例如：若，则，那么4叫点P的亲密数． （1）在平面直角坐标系中，已知点． ①，与点A的亲密数相等的点是___________； ②若点E在直线上，且与点A的亲密数相同，则点E的坐标是___________； ③若点F在直线上,且与点A的亲密数相同，则点F的坐标是___________； （2）如图点P是矩形边上的任意点，且点，，点Q是直线上的任意点，若存在两点P、Q的亲密数相同，请求出b的取值范围． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据点，得到点A的亲密数是． ①根据定义的亲密数是，的亲密数是．的亲密数是，解答即可； ②根据点E在直线上，设其坐标为，结合与点A的亲密数相同，得到，解得m值，代入计算即可； ③根据点F在直线上，设其坐标为，结合与点A的亲密数相同，得到，解得m值，代入计算即可； （2）根据矩形，且点，，根据矩形的轴对称性质，得，，根据亲密数相等，转化为直线与矩形有交点的范围问题解答即可． 本题考查了一次函数的新定义，熟练掌握新定义的定义是解题的关键． 【小问1详解】 （1）根据点，得到点A的亲密数是． ①根据定义得的亲密数是，的亲密数是．的亲密数是， 故答案为：，； ②根据点E在直线上，设其坐标为， ∵与点A的亲密数相同， ∴， 解得值， 故， 故答案为：； ③根据点F在直线上，设其坐标， ∵与点A的亲密数相同， ∴， 解得值， 故， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵矩形，且点，， 根据矩形的轴对称性质， ∴，， ∵存在两点P、Q的亲密数相同， ∴直线与矩形一定有交点， 当经过点时，此时，解得； 当经过点时，此时，解得； 故b的取值范围是． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A． （1）求出点A的坐标． （2）若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点或 【解析】 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【小问1详解】 根据题意，得， 解方程组，得， 故点； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． 【小问3详解】 ∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得； 当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$