精品解析：辽宁省大连市第二十三中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题

大连市第二十三中学2023-2024下学期高三校模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再根据集合并集运算求解. 【详解】由题意得，则. 故选：B． 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的周期性化简，再利用复数的四则运算化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以虚部为， 故选：D. 3. 随机变量X服从正态分布，若，则为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求的概率，再求可得结论. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，又， 所以，故 所以， 故选：D. 4. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解. 【详解】由余弦定理得． 又因为，所以， 故． 故选：D． 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列得通项公式及前n项和计算即可. 【详解】设数列的公差为， 由，， 得，解得. 故选：D. 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 7. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式可知，然后根据古典概型分别求解代入计算即可. 【详解】由题意得：，， 所以, 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出的对称性以及单调性，进一步只需比较离对称轴的距离大小即可，结合指数函数单调性、对数函数单调性以及三角函数单调性即可得出结论. 【详解】因为，所以的图象关于成轴对称， 注意到当时，由复合函数单调性可得在上为增函数， 故在上为增函数， 所以距离越远值越大， 因为， 距离最远的为，故最大， 而， 且， 所以， 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到距离越远值越大，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D. 圆锥侧面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 对于A，因为圆锥的体积为，故A错误； 对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为， 当时，面积有最大值，最大值为，故C正确； 对于D，圆锥的侧面积为，故D正确. 故选：BCD. 10. 设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与相切 C. 以为直径的圆过坐标原点 D. 为直角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】设过点的直线为，联立直线和抛物线的方程求出可判断A；以为直径的圆的圆心为和半径，再求出圆心到准线的距离为，即可判断B；求出圆心到坐标原点的距离为，可判断C；取特列可判断D. 【详解】设过点的直线为， 对于A，联立，得， ，， 所以，故A正确； 对于B，因为 ，， 所以，的中点为，所以以为直径的圆的圆心为， 又， 设圆的半径为，则， 所以， 又圆心到准线距离为， 而，因为，所以， 所以以为直径的圆与相离，故B错误； 对于C，圆心到坐标原点的距离为， ， 所以，所以， 所以以为直径的圆过坐标原点，故C正确； 对于D，因为联立，得， 若，则上述方程为，解得：或， 取，则，则， 取，则，则， 又抛物线过焦点，所以，， ， 所以不为直角三角形，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若动直线与的图象的交点分别为，则的长可为 B. 若动直线与的图象的交点分别为，则的长恒为 C. 若动直线与的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的单调性及值域，由条件确定的范围，设点的坐标分别为，列方程化简可得，由此判断AB，判断直线与的图象能围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件，结合两角差余弦公式可求，根据二倍角公式可求，由此判断D. 【详解】由，可得， 所以在区间上单调递减， 且，， 所以， 由，可得， 所以函数在区间上单调递减， 且，， 所以， 由已知， 所以直线与函数都只有一个交点， 设点的坐标分别为， 则， ，， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以， 所以，A错误，B正确， 设直线与函数的交点为， 则，又， 所以四边形为平行四边形，其面积，C正确； 对于D，因为， 所以，， 所以，，即， 又， 所以， 所以，又， 所以 所以，D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是利用正弦型函数的性质得到点横坐标之间的关系，即. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，令，求得， 由于， 故其展开式中的常数项为 故答案为：. 13. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. 14. 根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则__________，设，的前n项和为，则___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得，根据等比数列的定义可得，即可求解空1，根据错位相减法即可求解空2． 【详解】， 因为， 所以，将换成，此时， 两式相减可得， 即，又， 所以对任意都成立， 此时是首项为，公比为的等比数列， 所以，故 ， ， ， 两式作差得 ， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：根据，即可利用数列的递推关系求解是首项为，公比为的等比数列，，利用错位相减法即可求解和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明//即得； （2）先证明平面，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接,由是的中点可得， 易得与相似，所以， 又，所以//， 又平面平面，所以//平面； 小问2详解】 因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得 又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， ，则，. 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 设平面的法向量为，由， 则，故可取. 故平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 16. 某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表： 体育项目 第一项 第二项 第三项 第四项 第五项 第六项 学生人数 140 50 300 200 800 510 未达标率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值. 假设所有体育项目是否达标相互独立. （1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率； （2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率； （3）假设每项体育运动项目学生未达标概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“”表示第项体育运动项目达标，“”表示第项体育运动项目未达标.计算并直接写出方差的大小关系（不用写出计算过程）. 【答案】（1）0.075 （2）0.35 （3）， 【解析】 【分析】（1）求出全校总人数，第四项达标人数后可得结论； （2）设事件A为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则估计为0.75，设事件为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则估计为0.8，然后由计算概率； （3）利用二项分布的方差公式计算方差即可得． 【小问1详解】 由题意知，全校总人数是 第四项体育运动中达标的人数是 故所求概率为. 【小问2详解】 设事件A为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则估计为0.75， 设事件为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则估计为0.8，则所求概率为 ; 【小问3详解】 ，，， ，，， 17. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】 由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为， 因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以， 又点在双曲线上，所以，整理得： 因为的面积为8，所以，则， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，所以为 当直线的斜率存在时，设方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点，使为常数，且. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况. 18. 已知． （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）证明：当时，在上恒成立． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出函导数，根据函数的调性求出的取值范围即可； （2）求出函数的数，通过讨论范围，求出函数的单调区间，而求出的最小值，即可证得结论. 【详解】解： （1）. 若在上单调递增，则当，恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 当时，，，， 此时， 若在上单调递减，同理可得. 所以的取值范围是. （2）时，，. 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，. ∴存在，使得在上，在上， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 故在上，，所以在上恒成立. 19. 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列（，）满足（），（），，求， 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. 【小问2详解】 由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. 【小问3详解】 因为（）， 所以， 所以， 所以. 【点睛】知识点点睛：新定义题型，弄清题意是关键.第二问考查了构造等比数列求数列的通项公式，第三问考查了裂项相消法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大连市第二十三中学2023-2024下学期高三校模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量X服从正态分布，若，则为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 4. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 7. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D. 圆锥侧面积是 10. 设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径圆与相切 C. 以为直径的圆过坐标原点 D. 为直角三角形 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若动直线与的图象的交点分别为，则的长可为 B. 若动直线与的图象的交点分别为，则的长恒为 C. 若动直线与的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 13. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 14. 根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则__________，设，的前n项和为，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM夹角. 16. 某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表： 体育项目 第一项 第二项 第三项 第四项 第五项 第六项 学生人数 140 50 300 200 800 510 未达标率 0.4 0.2 015 0.25 0.2 0.1 未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值. 假设所有体育项目是否达标相互独立. （1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率； （2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率； （3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“”表示第项体育运动项目达标，“”表示第项体育运动项目未达标.计算并直接写出方差的大小关系（不用写出计算过程）. 17. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 已知． （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）证明：当时，在上恒成立． 19. 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列（，）满足（），（），，求， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$