精品解析：2024年甘肃省天水市麦积区第三次中考检测模拟三模数学试题

麦积区第三次模拟检测 数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系 中，点关于 轴对称的点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，， 平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点 在 的边 上， 经过点 ，且与 相切于点 ．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. “准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则 关于 的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 对于实数 、 ，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线 作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：2a3﹣8a=________． 12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦 的长为________cm． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______． 16. 如图，矩形的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为____________． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 已知：如图1，线段线段 ． 求作：菱形使其两条对角线的长分别等于线段的长． 作法：①如图1，作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点 ； ②如图2，作射线 ，在 上截取线段； ③作线段 的垂直平分线 交线段 于点 ； ④以点 为圆心，线段 的一半为半径作弧，交直线 于点； ⑤连接． 四边形就是所求作的菱形． 问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， 四边形是_ 四边形是菱形．（_____________）（填推理的依据）． 21. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、 、 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 22. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为表）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为 米，求表的长（最后结果精确到米）．（参考数据：，，，） 四、解答题（本大题共5个小题，共50分） 23. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题： （1）根据给出的信息补全条形统计图； （2）计算图2中折纸龙所在扇形圆心角的度数； （3）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“做香囊”课程的教室至少需要几间． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边 垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过 的中点C，交 于点D，且．若点D的坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）设点E是x轴上一动点，若的面积等于6，求点E的坐标． 25. 如图，在 中，，点 在 上，以 为圆心， 为半径的半圆分别交， 于点，且点 是弧 的中点． （1）求证： 是 的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 26. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，， 平分 ，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在 上截取，连接，将线段的数量关系转化为与 的数量关系； ②如图3，乐琪同学从 平分 这个条件出发，想到将沿 翻折，所以她延长线段 到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4， 中，，平面内有点D（点D和点A在 的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段 的长度． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线 于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麦积区第三次模拟检测 数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确； B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误； C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误； D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4）， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，明确关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算，完全平方公式，逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算，完全平方公式，解决本题的关键是牢记公式与运算法则． 5. 如图，，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义和已知条件得到，据此证明，得到，再由即可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，点 在的边上，经过点 ，且与 相切于点．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的另一个交点为点D，连接，解直角三角形求出，然后可得 和的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，设与的另一个交点为点D，连接， ∵ 是切线， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理的推论以及弧长公式的运用，求出的度数是解答本题的关键． 7. “准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则 关于 的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，   故选：A ． 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y， 根据题意可得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 9. 对于实数 、 ，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得： ， 经检验 是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 10. 如图，在矩形 中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段讨论：当点P在 上时，当点P在 上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵在矩形 中，，，， ∴在中，， 根据点P的运动，需要分段讨论： ①当点P在 上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，； ∴，即， ∵点P在 上， ∴ ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象是开口向上的一段抛物线； 当点P在 上时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， ∴， ∵点P在 上， ∴， ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象开口向下的一段抛物线． 综上所述，选项A的图象符合题意． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可； 【详解】 关于x的一元二次方程有实数根， 且， 且； 故答案为：且． 14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦 的长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由题意，，进而得到，勾股定理求出的长，进而即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； ∴ 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与 的交点为 ，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得 ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与 的交点为 ， 根据作图可得，且平分， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 为 的中点， 中， ，， ， ， 四边形AECF的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 16. 如图，矩形 的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形 绕点O顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作 轴于点E，根据、 ，可得，从而得到，进而得到，可得到点，再由将矩形 绕点O顺时针旋转，第一次旋转后得点，将第二次旋转后得点，将第三次旋转后得点，第四次旋转后得点， 由此发现，矩形 绕点O顺时针旋转四次一个循环即可解答． 【详解】解：如图，过点C作 轴于点E， ∵、 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点， 将矩形 绕点O顺时针旋转，第一次旋转后，点， 将矩形 绕点O顺时针旋转，第二次旋转后，点， 将矩形 绕点O顺时针旋转，第三次旋转后，点， 将矩形 绕点O顺时针旋转，第四次旋转后，点， 由此发现，矩形 绕点O顺时针旋转四次一个循环， ∵ ， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标规律探究，涉及勾股定理、坐标与图形、图形的旋转、矩形的性质等知识点，明确题意、准确得到规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分） 17. 计算：． 【答案】4． 【解析】 【分析】利用零指数幂法则、负指数幂法则、特殊角的三角函数值、绝对值的代数意义计算即可得到结果． 【详解】原式==4． 【点睛】本题考查了的混合运算，涉及了负整数指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 已知：如图1，线段线段 ． 求作：菱形使其两条对角线的长分别等于线段的长． 作法：①如图1，作线段 的垂直平分线，交线段 于点 ； ②如图2，作射线 ，在 上截取线段； ③作线段的垂直平分线 交线段于点 ； ④以点 为圆心，线段 的一半为半径作弧，交直线 于点； ⑤连接． 四边形 就是所求作的菱形． 问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， 四边形 是_ 四边形 是菱形．（_____________）（填推理的依据）． 【答案】（1）如图，四边形 即为所求作． （2）平行四边形；对角线垂直的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】解：（1）略 （2），， 四边形 是平行四边形． ， 四边形 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、、 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1 （2）、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果 （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： ∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种， ∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ， 答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为． 【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法． 22. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为表）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为 米，求表的长（最后结果精确到米）．（参考数据：，，，） 【答案】3.3米 【解析】 【分析】在中，，中，有，进而即可求解． 【详解】解：在中，， ∴． 同理，在中，有． ∵， ∴． ∴， ∴（米）． 答：表的长是米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 四、解答题（本大题共5个小题，共50分） 23. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题： （1）根据给出的信息补全条形统计图； （2）计算图2中折纸龙所在扇形圆心角的度数； （3）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“做香囊”课程的教室至少需要几间． 【答案】（1）补全条形统计图如下： （2） （3）估计至少需要7间教室 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图已知数据和扇形统计图已知的对应数据，即可求出被调查的总人数，再利用总人数减去选择“折纸龙” “做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，即可补全条形统计图； （2）用“折纸龙”的人数除以总人数，再乘以即可作答； （3）根据选择“做香囊”人数所占比例乘以1000，可求出学校选择“做香囊”的总人数，设需要x间教室，根据题意列方程，取最小整数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得（人）， ∴本次调查抽取的学生人数为50人， 选“采艾叶”的人数：（人）； 【小问2详解】 解：选“折纸龙”课程的比例， ∴“折纸龙”对应的扇形的圆心角度数为， 【小问3详解】 解：选“做香囊”课程的比例为， ∴选“折纸龙”课程的总人数为（人）， 设需要x间教室， 可得， 解得， ∴x取最小整数7， ∴估计至少需要7间教室． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，用一元一次不等式解决实际问题，结合条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边 垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过 的中点C，交 于点D，且．若点D的坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）设点E是x轴上一动点，若的面积等于6，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点D的坐标与 的长度，表示出点C的坐标，然后将点C的坐标代入即可求得； （2）根据的面积求出 的长度，然后分类讨论点E的位置即可． 【小问1详解】 解：∵点D的坐标为，， ∴点A的坐标为， ∵点C是 的中点， ∴点C的坐标为， 把点C、D的坐标代入， 得， 解得：， 则反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设点E的坐标为， 由（1）知，， ∵， ∴， 当点E在点B左侧时，； 当点E在点B右侧时，． 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数，相关知识点有：待定系数法求函数表达式、根据面积求点的坐标等，点C的坐标的准确表示是解题关键． 25. 如图，在中，，点 在 上，以 为圆心， 为半径的半圆分别交， 于点，且点 是弧的中点． （1）求证： 是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） 连接 、 ， ， ， ， ， ， 点 是弧的中点， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 、 ，证出，即可得出结论； （2）根据，分别求出和即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 26. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形 中，，，平分 ，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在 上截取，连接，将线段的数量关系转化为与 的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分 这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段 到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在 的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵，平分 ，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 乐琪同学的证明方法 证明：∵，平分 ，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长到点 ，使，连接，延长， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明得出是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长到点 ，使，连接，延长证明,进而根据等腰直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿 折叠得到，得出三点共线，是等腰直角三角形，则，延长 交 于点 ，过点 作于点 ，则是等腰直角三角形，，证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，将沿 折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，延长 交 于点 ，过点 作于点 ，则是等腰直角三角形，， ∵，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴ ，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）. 【解析】 【分析】（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式； （2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可； （3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可. 【详解】解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上， 令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6， ∴B（6，0），D（0，-6）， ∵点C和点D关于x轴对称， ∴C（0，6）， ∵抛物线经过点B和点C，代入， ，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）设点P坐标为（m，0）， 则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6）， ∴MN=-m+6=， ∴S△BMD=S△MNB+S△MND = = =-3（m-2）2+48 当m=2时，S△BMD最大=48， 此时点P的坐标为（2，0）； （3）存在， 由（2）可得：M（2，12），N（2，-4）， 设点Q的坐标为（0，n）， 当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图， 可得，此时点Q和点M的纵坐标相等， 即Q（0，12）； 当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图， 可得，此时点Q和点N的纵坐标相等， 即Q（0，-4）； 当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图， 分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F， ∵∠MQN=90°， ∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°， ∴∠NQF=∠QME， ∴△MEQ∽△QFN， ∴，即， 解得：n=或， ∴点Q（0，）或（0，）， 综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $