精品解析：2024河南省驻马店市新蔡县九年级中考二模数学试题

2024年河南省中招模拟试卷 数 学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．) 1. 给出四个数：其中为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解析 A．是分数，属于有理数，故A不符合题意； B．0是整数，属于有理数，故B不符合题意； C．是整数，属于有理数，故C不符合题意； D．π是无理数， 也是无理数，故D符合题意． 故选 D． 2. 据新华社消息称：地处豫南的南阳唐河县储备各类农药500余吨，整合资金4300万元用于病虫害防治．数据“4300万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】4300万． 故选 B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方的运算法则计算出各选项再进行判断即可 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B.与不是同类项，不能计算，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解： 解①得， 解②，得． 所以不等式组的解集是2． 故选：C． 5. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理等，如图，根据平行线的性质可得，根据对顶角相等可得，再利用三角形内角和为180度即可求解． 【详解】解：如右图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 6. 如图所示，在中，，，，以点B，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线交 于点D，则长在（ ） A. 0与1之间 B. 1 与2之间 C. 2与3之间 D. 3 与4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的作图，可证明，，再证明，得出，由此即可判断答案． 【详解】设直线交 于点E， ，，， ， 由题意可知，为 的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 故选 C． 7. 关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，把数值代入，且结合，进行化简计算即可作答． 【详解】解：∵a，b，c满足， ， ， 即， ∴方程有实数根． 故选C． 8. 周末，甲、乙、丙、丁四人小聚，餐桌摆放如图所示．若甲先坐定①号位，乙，丙，丁在剩下的三个位置中随机就坐，则乙恰能与甲坐对面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率：列表法或树状图法求概率，列出树状图得出共有6种等可能的结果，再代入公式计算，即可作答． 【详解】解：乙恰能与甲坐对面，则乙需要坐到④号位，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中乙恰能与甲坐对面的结果有2种， ∴乙恰能与甲坐对面的概率为 故选：B． 9. 如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心角以及半径，从而可得答案． 【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°， ∴点C运动3 秒转过的圆心角为 半圆长度， ∴． ∴扇形的面积为 故选 B． 10. 如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（ ） A. 3 B. 8 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】证明得，由平移性质可得，，从而，设，，求出，在中利用勾股定理求出x的值即可求解． 【详解】∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ． 由平移性质可得，， ，． 又∵点O 为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 在中， 设，， ∴． 在中， ， ∴ 解得 (负值舍去)． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平移的性质，以及线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 二、填空题(每小题3 分，共15分) 11. 能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是_______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果．．．，那么．．．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 选取的的值不满足“如果，那么”的即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， 所以可作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． 故答案为：． 12. 王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是________m． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可． 【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 将点(0，1.28)代入，得 即抛物线解析式为， 当 化简，得 解得： (舍去)． 故答案为：8． 13. 在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 【详解】如图所示， 延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：(分米)， ∴(分米)， ∴正方体礼品盒的棱长为(分米)， ∴体积为(立方分米)， 故答案为：． 15. 如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 _______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况考虑：①时；②PF⊥AB时；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， 则由勾股定理得， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 由折叠知：， 在中， ， 解得， ； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， 则四边形是矩形， ，， ； 设，则； 在中， ， 解得． ． 综上所述，满足条件的BE的值为或5． 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16. （1）计算∶ （2）化简∶ 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算及分式的混合运算，牢记法则是解题关键， （1）先算算术平方根、负指数幂及绝对值，再合并即可； （2）先算括号内的，再进行分式乘除运算即可； 【详解】解∶（1） ； （2） ． 17. 2024届全国高校毕业生人数达1179万人，同比增加21万人．王林对参加校招的甲、乙两家公司员工月收入进行了一项网上抽样调查，收集了两家公司各10名员工月收入情况(单位：千元)： 甲公司10名员工月收入∶4，4，4，5，5，5，5，9，9，10； 乙公司10名员工月收入∶4，5，5，▲，6，6，6，7，7，8．(▲部分无损) 整理数据，画出统计表和统计图，如图所示： 甲公司员工月收入频数分布表 月收入/千元 4 5 9 10 人数/个 3 4 2 1 备注 10个数据的方差为5 乙公司员工月收入扇形统计图 （1）甲、乙两家公司收入的平均数分别为 和 千元； （2）甲公司员工月收入的中位数为 ；扇形图中的m为 ； （3）王林决定从两家公司中选择一家签约，请从平均数、中位数、众数、方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并为其提出合理建议． 【答案】（1）6，6 （2）5，72 （3） 解：选乙公司签约，理由如下： 月平均工资都一样的情况下，乙公司方差较小，收入相对稳定(答案不唯一)． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先计算出数据6的频数，再利用平均数的定义分别计算后即可确定甲乙公司员工月收入平均数； （2）根据中位数的定义算出甲公司员工月收入的中位数，再根据乙公司收入为7千元人数除以总人数，再用该占比乘360度，即可解答； （3）根据平均数一样，方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：甲公司员工月收入平均数为； 乙公司收入6千元的占， 故数据6的频数为， 乙公司员工月收入平均数为． 故答案为：6，6； 【小问2详解】 解：甲公司员工月收入的中位数， 圆心角为：， 故答案为：5，72； 【小问3详解】 略 18. 项目式学习． 用固定双曲线三等分锐角 文化背景 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”．古希腊数学家帕普斯(，约)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线能解“三等分角问题”． 任务设定 用直尺和圆规三等分锐角∠AOB 解决途径 （1）以点O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函的图象，图象与的边交于点C； （3）以点 C为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点E； （4）分别过点 C 和 E 作 x轴和y轴的平行线，两线交于点 D，F； （5）作射线，交于点 G，得到． 问题解决 任务1 四边形的形状为_______； 任务2 请证明．． 【答案】任务1∶矩形； 任务2：证明：设点 点 ， ∴点 点 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 当时， ∴点 F在直线上． ∵四边形是矩形， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行线的传递性得，，从而四边形是平行四边形，再证明，可证四边形是矩形； （2）设点 点 ，则点 点 ，求出直线的解析式为，可证点 F在直线上，由矩形的性质得，从而，由三角形外角的性质得，再证明，可证． 【详解】解∶任务1∶ ∵轴，轴，轴，轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵x轴轴，轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形； 任务2：略 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 19. 舂(chong)米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆(如图1所示)，一口石臼(jiu)上架着用一根木头做成的“碓(dui)身”，“碓”的头部下面有杵(chu)．“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时(如图2所示)，碓尾落于深坑底部时，在点O处测得碓头B所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，求碓头B离地面的高度．(结果精确到，参考数据： 【答案】碓头B离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟知解直角三角形的应用． 延长，过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为G，然后在解直角三角形得到，然后在解直角三角形求解即可． 【详解】解：延长，过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为G． 由对顶角性质可知． 在中，，， ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴碓头B离地面的高度约为． 20. 盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示． （1）请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式； （2）研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1）根据题意直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据两种植物高度差距不超过建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设植物B生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得 解得 ． 将代入 得． ∴交点坐标为． 设植物A生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得 ，解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得 故盆栽呈现别致美的时候，药物施用量的取值范围为 21. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点 ，且抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点，求h的值； （2）若对于 ，，都有 求h的取值范围． 【答案】（1）h的值为1 （2）h的取值范围为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，待定系数法求二次函数解析式，是解决问题的关键． （1）根据抛物线经过点，得到．得到抛物线 ，化成顶点式即得； （2）根据，是抛物线 上两点，把，分别代入，得出对应的，，再根据联立式子化简，计算即得． 【小问1详解】 ∵抛物线 经过点， ∴， 解得，． ∴抛物线 ， 化为顶点式，得， ∴对称轴为直线， 即h的值为1； 【小问2详解】 ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴， ∴抛物线可化为， ∵，是抛物线上任意两点，且，， ∴，， ∵对于 ，都有 ， ∴， 即． ∴有①，或② ， 解①，得， 解②无解． ∴h的取值范围为． 22. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为唯美三角形，这个锐角叫做唯美角，且唯美角的正切值等于唯美角的对边与钝角的对边之比． 【性质探究】 （1）如图1 所示，是唯美三角形，是钝角，是唯美角，求证∶ 【拓展应用】 （2）如图2所示，四边形为的内接四边形，对角线交于点C，已知是的直径，且；若是唯美三角形且是唯美角，求的长． 【答案】（1）证明∶过点C作，交于点D，如图所示，则． ∵是唯美三角形，是钝角，是唯美角， ∵， ∴， 在中，， （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作，交于点D，如图所示，则．证明得，在中， ，从而可证； （2）先由勾股定理求出的长，由得，等积法可知 ，在中由勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解∶∵是⊙O 的直径， ∴． ∵ ∵ 为唯美角，过点 B 作 于点 F，如图2所示． 由(1)知∶ ∴． 由等积法可知 在中， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角函数，等腰三角形的性质和判定等，解题的关键是理解新定义． 23. 【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）解：（1）中结论成立． 理由：将线段绕点逆时针旋转得线段． 如图1所示，连接，． ∵ 为等腰直角三角形， ∴，． 由旋转性质可知为等腰直角三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ； 在中，且 （3）75°或15° 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． （1）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求解； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段．可证明，进而得到，，进而证明，进而得到在中，，再根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，在利用前面结论在中得， 得，进而得出． 【详解】证明：（1）将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）略 （3）如图所示，当点D在上时， 同理可得：，，，， ∴在中， ∴． ∵， ∴； 如图3所示，当点在延长线上时，，， ∴． 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省中招模拟试卷 数 学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．) 1. 给出四个数：其中为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 据新华社消息称：地处豫南的南阳唐河县储备各类农药500余吨，整合资金4300万元用于病虫害防治．数据“4300万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，，，，以点B，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线交 于点D，则长在（ ） A. 0与1之间 B. 1 与2之间 C. 2与3之间 D. 3 与4之间 7. 关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 8. 周末，甲、乙、丙、丁四人小聚，餐桌摆放如图所示．若甲先坐定①号位，乙，丙，丁在剩下的三个位置中随机就坐，则乙恰能与甲坐对面的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（ ） A. 3 B. 8 C. 4 D. 6 二、填空题(每小题3 分，共15分) 11. 能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是_______． 12. 王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是________m． 13. 在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ． 14. 延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是_______． 15. 如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 _______． 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16. （1）计算∶ （2）化简∶ 17. 2024届全国高校毕业生人数达1179万人，同比增加21万人．王林对参加校招的甲、乙两家公司员工月收入进行了一项网上抽样调查，收集了两家公司各10名员工月收入情况(单位：千元)： 甲公司10名员工月收入∶4，4，4，5，5，5，5，9，9，10； 乙公司10名员工月收入∶4，5，5，▲，6，6，6，7，7，8．(▲部分无损) 整理数据，画出统计表和统计图，如图所示： 甲公司员工月收入频数分布表 月收入/千元 4 5 9 10 人数/个 3 4 2 1 备注 10个数据的方差为5 乙公司员工月收入扇形统计图 （1）甲、乙两家公司收入的平均数分别为 和 千元； （2）甲公司员工月收入的中位数为 ；扇形图中的m为 ； （3）王林决定从两家公司中选择一家签约，请从平均数、中位数、众数、方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并为其提出合理建议． 18. 项目式学习． 用固定双曲线三等分锐角 文化背景 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”．古希腊数学家帕普斯(，约)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线能解“三等分角问题”． 任务设定 用直尺和圆规三等分锐角∠AOB 解决途径 （1）以点O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函的图象，图象与的边交于点C； （3）以点 C为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点E； （4）分别过点 C 和 E 作 x轴和y轴的平行线，两线交于点 D，F； （5）作射线，交于点 G，得到． 问题解决 任务1 四边形的形状为_______； 任务2 请证明．． 19. 舂(chong)米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆(如图1所示)，一口石臼(jiu)上架着用一根木头做成的“碓(dui)身”，“碓”的头部下面有杵(chu)．“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时(如图2所示)，碓尾落于深坑底部时，在点O处测得碓头B所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，求碓头B离地面的高度．(结果精确到，参考数据： 20. 盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示． （1）请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式； （2）研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点 ，且抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点，求h的值； （2）若对于 ，，都有 求h的取值范围． 22. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为唯美三角形，这个锐角叫做唯美角，且唯美角的正切值等于唯美角的对边与钝角的对边之比． 【性质探究】 （1）如图1 所示，是唯美三角形，是钝角，是唯美角，求证∶ 【拓展应用】 （2）如图2所示，四边形为的内接四边形，对角线交于点C，已知是的直径，且；若是唯美三角形且是唯美角，求的长． 23. 【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $