精品解析：2024年湖南省益阳市大通湖管理区三校联考二模数学试题

2024年中考第二次模拟考试 数 学 姓名： 准考证号： 座位号： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中既中心对称图形又是轴对称图形的是的是（ ） A. 平行四边形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰梯形 D. 菱形 2. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 我校开展了“书香校园”的活动，小腾班长统计了本学期全班40名同学课外图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这40名学生的图书阅读数量中，中位数是（ ） A. 22 B. 23 C. 21 D. 24 4. 下列函数中， 随 的增大而增大的函数有（ ） A. B. C. D. 5. 坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 、窥衡杆与四分仪的一边交于点 ．图中，四分仪为正方形 ．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得 为，为，实地测得为．则井深为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（ ）时，最大． A. B. C. D. 1 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点 ，于点 ，连接 并延长交于点 ，连接交 于点，有下列结论：① 平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11. 因式分解：_______． 12. 当______时，分式的值为0． 13. 幺米是公认的最小长度单位，1幺米米，24幺米用科学记数法表示为__________米 14. 某校学生期末评价从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面依次按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示（说明：由图可知第一方面“德”，得分为10分），则他的期末成绩为______分． 15. 如图，小红同学用仪器测量一棵大树 的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树 的高度为__________． 16. 某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（，0），B（0，），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______． 18. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交 和于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线 交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G，连接．若，，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中x取满足的整数． 21. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．九（1）班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）在图②中， 是的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？ 22. 如图，四边形是的内接四边形，，点 是的中点． （1）求的度数； （2）求证：四边形是菱形． 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管 的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 24. 为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买 台甲型设备比购买台乙型设备多元. 甲型 乙型 价格（元/台） 有效半径（米/台） （）求，的值； （）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （ ）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案. 25. 如图，在等腰和等腰中，． （1）观察猜想：如图1，点 在上，线段 与的关系是_________； （2）探究证明：把绕直角顶点 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把绕点 在平面内转动一周，若，， 、交于点时，连接 ，直接写出最大面积_________． 26. 如图，抛物线与 轴交于点，与 轴交于点，连接 ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，若点为直线 下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为 ， 交 于点 ，当点 是 的三等分点时，求点坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线 与新抛物线交于， 两点，若点A是线段的中点，求新抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考第二次模拟考试 数 学 姓名： 准考证号： 座位号： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中既中心对称图形又是轴对称图形的是的是（ ） A. 平行四边形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰梯形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形：一个平面图形绕一点旋转180°与自身重合；轴对称图形：一个平面图形沿对称轴翻折后，能够完全重合进行判断即可． 【详解】A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，注意中心对称图形和轴对称图形指的是一个平面图形． 2. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，根据同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 我校开展了“书香校园”的活动，小腾班长统计了本学期全班40名同学课外图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这40名学生的图书阅读数量中，中位数是（ ） A. 22 B. 23 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由于40名学生，为偶数，所以中位数即为中间两位数的平均值，也就是按大小依次排列后的第20和21个数，取这两个数的平均值即可； 【详解】解：由折线统计图可知，阅读20本的有4人，21本的有8人，23本的有20人，24本的有8人，共40人， ∴其中位数是第20、21个数据的平均数，即23． 【点睛】本题主要考查数据的收集与整理，并且通过统计图表求出中位数，熟练掌握中位数的计算方法是解决本题的关键. 4. 下列函数中， 随 的增大而增大的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】A. ，， 随 的增大而减小，故A选项不符合题意； B. ，， ，的图像位于第二象限， 随 的增大而增大，故B选项符合题意； C. ，，对称轴为 轴，在对称轴的左边， 随 的增大而减小，在对称轴的右边， 随 的增大而增大，故C选项不符合题意； D. ，， 随 的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键． 5. 坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点向右平移两个单位长度可得平移后点的坐标为，然后根据该点与点关于原点对称可求解． 【详解】解：由题意可知点平移后的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查点的平移及关于原点对称，熟练掌握点的平移及关于原点对称的特征是解题的关键． 6. 如图，，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，即可得到，根据平分得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线有关计算，解题的关键是根据角平分线及角比例式得到角度关系列式求解． 7. 我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个， 根据题意得： ， 故选：C． 8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图 是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 、窥衡杆与四分仪的一边交于点 ．图 中，四分仪为正方形 ．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得 为 ，为，实地测得为．则井深为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得 为 ，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（ ）时，最大． A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时，最大，设圆心，用n的代数式表示出，，即可求解． 【详解】解：设 的中点为M，作轴于点H，作轴于点G， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为，切点为Q， ∵是 的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 当C与Q重合时，最大， ∵，， ∴ ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，特殊角的三角函数值，求一次函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，找出使最大的位置． 10. 如图，在矩形中，，的平分线交 于点 ，于点 ，连接并延长交于点 ，连接 交 于点，有下列结论：① 平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知分解因式的方法是解题的关键； 根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 当______时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 13. 幺米是公认的最小长度单位，1幺米米，24幺米用科学记数法表示为__________米 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：∵1幺米米， 24幺米用科学记数法表示为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 14. 某校学生期末评价从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面依次按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示（说明：由图可知第一方面“德”，得分为10分），则他的期末成绩为______分． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．根据加权平均数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，（分）， 故答案为：9． 15. 如图，小红同学用仪器测量一棵大树 的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树 的高度为__________． 【答案】米 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出 、，由于，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形， 、均为直角三角形， 所以米，米． 在中，， 即， 在中，， 即， 又， ， 即， ， （米）， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键． 16. 某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元． 【答案】50 【解析】 【分析】设商场对这种台灯的售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解． 【详解】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得： ， 解得：， 由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元； 故答案为50． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（，0），B（0，），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，OQ．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短，结合面积法先求出OP，再利用勾股定理可得出PQ的长． 【详解】解：连接OP，OQ． ∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ， 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PO最短，∴此时线段PQ最短． ∵A（，0），B（0，）， ∴OA=，OB=， ∴， 当OP⊥AB时，，∴OP==2， ∴PQ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，构造直角三角形来解决有关问题． 18. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交 和 于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G，连接．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图得平分，垂直平分 ，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：由作图得平分，垂直平分 ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式和相似三角形的性质是关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用绝对值的性质计算，最后一项利用立方根定义计算，再算加减法，即可得到结果； 【详解】解：原式＝ =． 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值的性质，立方根和算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中x取满足的整数． 【答案】 ，时值为 【解析】 【分析】先计算括号内的，再将除法变为乘法约分化为最简分式，然后代入适合的值，计算即可． 【详解】解：原式， 由分式有意义的条件可知：， 当时， 原式．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．代入数值要注意：x≠0，1，2． 21. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．九（1）班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）在图②中， 是的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？ 【答案】（1） 总人数为400人， 补全的统计图如下： （2）图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数为 （3）随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是 【解析】 【分析】（1）首先根据 是⊙O的直径得到“不赞成”占调查总人数的，然后利用“不赞成”的人数和所占的百分比求出总人数，然后利用“非常赞成”的百分比求出“非常赞成”的人数，进而求出“基本赞成”的人数，然后补全图①即可； （2）用乘以“基本赞成”所占的百分比求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 由于 是⊙O的直径，所以“不赞成”占调查总人数的， （人）， 样本中“非常赞成”的人数：（人）， “基本赞成”的人数为：（人）， 【小问2详解】 ， 答：图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数为； 【小问3详解】 样本中，被调查的400名家长中，“无所谓”的有16名， 所以随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是， 答：随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及简单概率求解，明确题意，读懂表中数据是解题关键． 22. 如图，四边形是的内接四边形，，点 是的中点． （1）求的度数； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） ； （2） 证明：连结 ∵点 为的中点 ∴弧弧 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可； （2）连结，根据等弧对等角，和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，为等边三角形，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 解：∵ ∵ ∴ 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，以及弧，弦，圆心角之间的关系和菱形的判定．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，等弧对等角，是解题的关键． 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管 的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管 的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）真空管上端B到水平线的距离为 （2）安装热水器的铁架水平横管 的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过点作交于点 ，根据坡度比得到，设，再利用勾股定理建立方程进行求解即可； （2）利用，求出 的长，根据，以及，求出 的长度，再根据，求出 的长，再用即可求出 的长度． 【小问1详解】 解：过点作交于点 ， 由题意，得：， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴真空管上端B到水平线的距离为； 【小问2详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 答：安装热水器的铁架水平横管 的长度为． 24. 为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买 台甲型设备比购买 台乙型设备少元，购买 台甲型设备比购买 台乙型设备多元. 甲型 乙型 价格（元/台） 有效半径（米/台） （ ）求，的值； （ ）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （ ）在（ ）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案. 【答案】（1）；（2）学校有三种购买方案：方案一甲台乙 台；方案二甲台乙 台；方案三甲台乙 台；（3）最省钱的购买方法为购买甲台，乙 台． 【解析】 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15-x）台，根据总价=单价×数量结合购买该批设备的资金不超过7200元且两种型号的设备均要至少买一台，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出各购买方案； （3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得, 解得; （2）设购买甲型设备 台，则购买乙型设备台, 由题意得 ， 解得 ∵ 取整数，∴，，共三种方案， 答：学校有三种购买方案：方案一甲台乙 台；方案二甲台乙 台； 方案三甲台乙 台． （3）由题意 解得∴ 的取值为或 当时，所需资金为：（元）， 当时，所需资金为：（元）， ∵， ∴方案二省钱 答：最省钱的购买方法为购买甲台，乙 台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 如图，在等腰和等腰中，． （1）观察猜想：如图1，点 在 上，线段 与的关系是_________； （2）探究证明：把绕直角顶点 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把绕点 在平面内转动一周，若，， 、交于点时，连接 ，直接写出最大面积_________． 【答案】（1），； （2） 解：结论仍成立，仍有：，；理由如下： 如图2，延长AE交BD于H，交BC于O， ∵， ∴，即， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即． （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得即可； （2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得，，再根据直角三角形两锐角互余可得，然后根据对顶角相等、等量代换可得，从而可得即可； （3）如图：由题意可知点在以 为直径的上运动，点 在上运动，观察图形，可知当与相切时，面积最大；此时，四边形为正方形，；然后在运用勾股定理求出BD，进而求出BP的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 如图1，延长AE交BD于H， 由题意得：，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：∵， ∴点在以 为直径的上运动. ∵， ∴点 在上运动， 观察图形，可知当与相切时，面积最大. 此时，四边形为正方形，. 在中，. 当的面积最大时，，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等、旋转变换以及几点共圆等知识点，正确作出辅助线并能综合应用所学知识是解答本题的关键． 26. 如图，抛物线与 轴交于点，与 轴交于点，连接 ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，若点为直线 下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为 ， 交 于点 ，当点 是 的三等分点时，求点坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线 与新抛物线交于 ， 两点，若点A是线段的中点，求新抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）先确定直线 的解析式为：，设点，，根据题意得出或，求解即可； （3）设平移后的抛物线解析式为，然后联立方程组设点，点，由根与系数的关系得出，即可求解确定新的解析式． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ； 【小问2详解】 解：，， 设直线 的解析式为， 代入得：， 解得：， 直线 的解析式为：， 设点，， ∴，， 为 的三等分点， 或， 解得（不合题意舍去）或（不合题意舍去）， 或； 【小问3详解】 解：抛物线解析式为， 设平移后的抛物线解析式为， 联立方程组可得：， ， 设点，点， 直线 与新抛物线交于 ， 两点， ，是方程的两根， ， 点A是的中点，， ， ， ， 新抛物线解析式为． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，交点问题，线段问题及二次函数的平移，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $