精品解析：天津市耀华中学2023-2024学年高一下学期学科训练（二）数学试卷

耀华中学2023-2024学年度下学期高一学科训练数学（二） 一、单选题（每小题6分，将答案涂在答题卡相应位置上） 1. 复数（为虚数单位）虚部为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 复数在复平面内对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题6分，将答案填写在答题卡相应位置上） 9. 如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 10. 三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为__________. 11. 在四边形中，为中点． 记，用表示_____________________；若，则的最大值为_____________________． 12. 如图，在矩形中，，沿将折起，当三棱锥 体积取得最大值时，与平面所成角的正切值为______. 13. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 14. 如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________. 三、解答题（本题16分，将答案填写在答题卡相应位置上，解答过程要完整清晰） 15. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 耀华中学2023-2024学年度下学期高一学科训练数学（二） 一、单选题（每小题6分，将答案涂在答题卡相应位置上） 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为，即虚部为. 故选：B 2. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法二：利用等角定理找到异面直线与所成角（或其补角），利用余弦定理即可的解. 方法一：通过建立空间直角坐标系，设出边长，写出相关点坐标，由空间两向量的夹角公式计算即得. 【详解】方法一：延长CB到G,使得BG=CB，则， 则即异面直线与所成角或其补角， 设，则， ， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为 方法二： 如图，取分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则，故,, 设，则， 因异面直线与所成角是锐角，故它们所成角的余弦值为. 故选：D. 4. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算出复数，求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C. 5. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理，求出的值，进而由三角形内角范围得出再依题意取舍即可. 【详解】由题意在中，由正弦定理， 则，所以，因为， 所以或，又因为，，所以，所以. 故选：B. 7. 在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．解法二：根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离. 【详解】解法一：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ． 设平面的法向量为， 则即， 令，则， ，∴点到平面的距离为． 故选：A. 解法二 底面， ，又，且平面， 平面， 平面 ， ， ， ， 在中，， 令点到平面距离为， ， ， ． 故选：A. 8. 长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成的角求得长方体中棱的关系，再根据线面角定义计算． 【详解】长方体中，，所以就是直线与直线所成角， 因此，即， 又由平面知是直线与平面所成角， ， 故选：B． 二、填空题（每小题6分，将答案填写在答题卡相应位置上） 9. 如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取BC的中点D，连结PD，AD，根据线面垂直关系可知即为二面角的平面角，根据所给边长关系可求得的正弦值. 【详解】 取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以，， 即二面角的正弦值是. 故答案为：. 10. 三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为__________. 【答案】30° 【解析】 【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解. 【详解】由题可得，即， 如图： 平面ABC，平面ABC，， 又，，PC，平面PAC， 平面PAC， 而平面PAC，， 即为二面角的平面角， 在直角三角形PCA中，， 可得 故答案为： 11. 在四边形中，为中点． 记，用表示_____________________；若，则的最大值为_____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出；利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得. 【详解】由是中点，，得； 在四边形中，令，由，得， 由，得，中，由余弦定理得， ，即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 所以的最大值为. 故答案为：； 12. 如图，在矩形中，，沿将折起，当三棱锥 的体积取得最大值时，与平面所成角的正切值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用面面垂直的性质证得平面，得到与平面所成角，即为，又由平面，所以，在直角中，即可求解. 【详解】由题可知，当三棱锥的体积取最大值时，平面平面，如图所示， 作，连接DE， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以与平面所成角，即为， 在直角中，因为，可得， 则，且， 在直角中，可得， 在中，可得，所以， 由平面，且平面，所以， 在直角中，可得. 故答案为：. 13. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】 对于①，连接， ，，，平面，平面， 平面，平面， ，同理，， ，平面，平面， 直线平面，故①正确； 对于②，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故③错误； 对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确. 故答案为：①②④ 14. 如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，连接，过点作平面，垂足为，当三点共线，且时，取得最大值，进而可得出答案. 【详解】过点作，垂足为，连接， 因为平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， 则， ， 过点作平面，垂足为， 当三点共线，且时，取得最大值， 最大值为 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：过点作平面，垂足为，由三点共线，且时，取得最大值，是解决本题的关键. 三、解答题（本题16分，将答案填写在答题卡相应位置上，解答过程要完整清晰） 15. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$