精品解析：甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

兰州一中2023—2024-2学期5月月考试题 高二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ，，，若，，共面，则实数k（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 5. 袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（　　） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ） A. 0.25 B. 0.27 C. 0.48 D. 0.52 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 有最小值但没有最大值 B. 对于任意的，恒有 C. 有两个零点 D. 有两个极值点 10. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ） A. B与C相互独立 B. C. D. 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________. 13. 写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______. 14. 已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； （2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率； （3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，已知 （1）证明：平面； （2）求点D到平面的距离 17. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，侧棱底面，且． （1）若，试计算底面面积的最大值； （2）过棱的中点作，交于点，连，若平面与平面所成锐二面角的大小为， （i）证明：平面（ii）试求的值． 18. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． （1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验教师人数的分布列； （3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由． 19. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数取值范围； （2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兰州一中2023—2024-2学期5月月考试题 高二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ，，，若，，共面，则实数k为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可. 【详解】由于共面，则存在，使得， 又， 故， 故，解得. 故选：D. 2. 某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案. 【详解】设为“第次按对密码”（）， 则事件 “不超过2次就按对”可表示为， 记“密码的最后一位数字是奇数”为事件， 由条件概率的性质可得. .故选：C. 3. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是， 第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是， 第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是， 由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为. 故选：C. 4. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B. 5. 袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项. 【详解】设为“甲摸到标有字母的球”，为“乙摸到标有字母的球”，则， 而， 故. 故选：. 6. 已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥、对立事件概率的运算性质可得，进而可得，即可得解． 【详解】因为事件，互斥，它们都不发生的概率为， 所以. 将代入上式可得， 所以，. 故选:B. 7. 在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 8. 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ） A. 0.25 B. 0.27 C. 0.48 D. 0.52 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知： ，， 故. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 有最小值但没有最大值 B. 对于任意的，恒有 C. 有两个零点 D. 有两个极值点 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数判断出的单调性，结合图象可得答案. 【详解】， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，且当时，， 画出函数的大致图象，如图， 对于A，所以有极小值为， 即有最小值但没有最大值，故A正确； 对于B，对于任意的，恒有，故B正确； 对于C，仅有一个零点，故C错误； 对于D，只有一个极小值点，故D错误. 故选：CD． 10. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ） A. B与C相互独立 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D. 【详解】因为， 所以，所以B与C不相互独立，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以D正确． 故选：BCD. 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算可判断A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，可判断B；根据点到直线的向量公式可判断C；利用坐标表示出，即可判断D； 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 故，， 对于A，所以，A错误； 对于B，记异面直线与所成角为，则， 所以，故B正确. 对于C，记同向的单位向量为， 则点P到直线的距离，故C错误； 对于D，设点，使，， 则，故， 则， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故D项正确； 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有： （1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析； （2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算； （3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答. 【详解】依题意，，解得， 所以a的值为. 故答案为： 13. 写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切点和斜率写出切线方程，并根据切线过原点求得切线方程. 【详解】当时，，则， 曲线在点处的切线方程为. 若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为. 当时，同理可得满足题意的切线方程为. 故答案为：； 14. 已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为点在底面的射影为中点H，则平面， 又因为四边形为正方形， 以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； （2）若采取不放回方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率； （3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）利用对立事件的概率公式计算可得； （3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为， 所以两次都取得白球的概率； 【小问2详解】 采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率； 【小问3详解】 记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球， 则，， 利用条件概率的计算公式，可得. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，已知 （1）证明：平面； （2）求点D到平面的距离 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，结合线面平行的判定定理即可； （2）建系，利用空间向量求点到面的距离即可. 【小问1详解】 连接,连接, 在直三棱柱中，四边形为长方形， 则为的中点，且分别是的中点， 所以，且平面，平面. 所以平面. 【小问2详解】 , 所以, 即， 在直三棱柱中，平面, 所以两两垂直，以为原点，建如图所示空间直角坐标系， 则, 则，,, 设面的一个法向量， 则， 令，则，故. 点D到平面的距离. 17. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，侧棱底面，且． （1）若，试计算底面面积的最大值； （2）过棱的中点作，交于点，连，若平面与平面所成锐二面角的大小为， （i）证明：平面（ii）试求的值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得，，由基本不等式可得最小值； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，（i）向量法证明，又已知，从而可证平面； （ii）设出，分别求解出平面与平面的法向量，然后利用已知条件，求解出，即可求解出的值． 【小问1详解】 设， 由已知可知，而底面的面积为， 则由均值不等式，可知， 当且仅当时等号成立； 小问2详解】 如图，以点为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴， 建立空间直角坐标系， 设，则， （i）所以，由于是的中点，则，故， 于是，即， 又已知，而， 所以平面； （ii）由（i）是平面的一个法向量， 而因为平面，所以是平面的一个法向量， 由已知平面与平面所成锐二面角的大小为， 则，解得，所以． 故当平面与平面所成锐二面角的大小为． 18. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． （1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； （3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）1，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由古典概率公式求解即可； （2）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列； （3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，求出的可能取值及其对应的概率，即可得出答案. 【小问1详解】 5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率： ． 【小问2详解】 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2． ；；． 所以分布列为： 0 1 2 0.1 0.6 0.3 【小问3详解】设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有： 因为， 故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人． 19. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出给定函数导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程在上有两个不同的解的实数的范围作答. （3）将问题转化为方程，即有一个实数解，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数，是“跃点”函数， 则方程有解，即有解， 而，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数的导函数为， 依题意，方程，即在上有两个不等实根， 令，因此函数在上有两个不同零点， 则，解得或， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”， 则方程，显然，所以在上恰有一个实数根， 令，求导得， 由，得；由，得且，， 于是函数在上单调递减， 恒成立，函数的取值集合是， 在上单调递减，函数的取值集合是， 在上单调递增，函数取值集合是，函数的图象，如图， 当时，直线与函数的图象有唯一公共点， 即方程恰有一个实数根，从而， 所以b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$