专题21.10 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.10 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法： （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程及相关概念 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． （1）若，求证：必是该方程的一个根； （2）当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【举一反三】 【变式1】（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）用合适的方法解方程． (1)； (2)． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法）； (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解下列方程： (1)2x2-5x+1＝0（公式法）； (2)x2-8x+1＝0（配方法）． 【题型3】配方法的应用 【例3】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且”． （1）求整式A； （2）嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． 【举一反三】 【变式1】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级下·山东临沂·阶段练习）若实数，满足等式，则 ． 【题型4】根的判别式 【例4】（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式2】（2024·广东广州·一模）已知：． （1）化简； （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合 【例5】（2024·甘肃天水·三模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值． 【题型6】实际问题与一元二次方程 【例6】（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【举一反三】 【变式1】（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 2、拓展延伸 【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 【例2】（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.10 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法： （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程及相关概念 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． （1）若，求证：必是该方程的一个根； （2）当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． （1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 【举一反三】 【变式1】（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）用合适的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）先整理成一般式，再用因式分解法求解即可；（2）直接用公式法求解即可 （1）解：， 整理得：， ， 或， ，； （2）解： ， ， 解得：，； 【点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法是关键． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法）； (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)； (2)；(3)；(4) （1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点拨】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解下列方程： (1)2x2-5x+1＝0（公式法）； (2)x2-8x+1＝0（配方法）． 【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)x1＝4+，x2＝4- 【分析】（1）根据公式法，可得方程的解； （2）根据配方法，可得方程的解． （1）解：∵a＝2，b＝-5，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． （2）解：移项得， 并配方，得， 即(x-4)2＝15， 两边开平方，得x＝4±， ∴x1＝4+，x2＝4-． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式． 【题型3】配方法的应用 【例3】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且”． （1）求整式A； （2）嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． 【答案】(1)； (2)嘉淇的说法正确． 【分析】本题考查整式的加减，配方法的应用．解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． （1）根据，去括号，合并同类项即可求解； （2）利用完全平方公式把整式A配方成，据此求解即可． （1）解： ； （2）解： ， ， ， 即整式A的值总小于或等于0，不可能是正数， 嘉淇的说法正确． 【举一反三】 【变式1】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A、B点的坐标，表示出的长，再根据配方法确定出的最小值；然后再根据三角形的面积可得的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答． 解：∵点和点， ∴， ∴的最小值为1，此时最长， ∴， 解得． 又∵点M在x轴负半轴， ∴点M的坐标为． 故选：D． 【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出最小时，最长． 【变式2】（21-22九年级下·山东临沂·阶段练习）若实数，满足等式，则 ． 【答案】 【分析】利用因式分解法解，求出，进而求出，再代入代数式求值即可． 解： ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型4】根的判别式 【例4】（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． （1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 根据题意得出且，求出的取值范围即可． 解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 故选：． 【变式2】（2024·广东广州·一模）已知：． （1）化简； （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键 （1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可； （2）根据一元二次方程根的判别式，求得或，再结合分母不为0，得到，代入计算求出的值即可． （1）解： ； （2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：或， ， ， ， 【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合 【例5】（2024·甘肃天水·三模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． （1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，熟悉掌握此公式是解题的关键． （1）利用根的判别式进行运算求解即可； （2）利用韦达定理表示出，，化简后，代入运算即可． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围为； （2）∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值． 解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法． （1）解：， 整理得：， ∵该方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围是； （2）∵，是方程的两实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴可化简为：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴的值为． 【题型6】实际问题与一元二次方程 【例6】（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是； (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用3月份的销售量月份的销售量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元． （1）设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 【举一反三】 【变式1】（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 【答案】的长是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形的面积公式及矩形的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可求出的长． 解：设的长为，则的长为，依题意，得： ， 整理，得：， 解得： ， 答：的长是 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】(1)超过人；(2)该单位这次共有名员工去旅游 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围； （2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可． （1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． （1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点拨】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 【答案】, 或，；或或，或， 【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为 方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为或． 解：两边同乘,得， 若， 若，由题意，知， 解得， 当时，，当时，， 若方程有两不等实根，则其中一个为增根， 当时，，， 当时，，． 【点拨】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论． 【例2】（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的关键． 根据分式有意义的情况得到，化简分式后代入即可得到的取值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 解：，化简得：， ∵，即， ∴，解得：， ∵有实数根， ∴， 解得：， ∴综上且， 故答案为：且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$