22.2.1. 直接开平方法和因式分解法 课件　　2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

22.2 一元二次方程的解法 华东师大版九年级上册 1. 直接开平方法和因式分解法 学习目标： 1. 会用直接开平方法解形如 a(x - k)2 = b（a ≠ 0，ab ≥ 0）的方程. 2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程. 3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用. 学习重点： 利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程. 学习难点： 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程. 1. 如果 x2 = a (a ≥ 0) ，则 x 就叫做 a 的________. 2. 如果 x2 = a (a ≥ 0) ，则 x = ______. 3. 如果 x2 = 64 (a ≥ 0) ，则 x = ______. 4. 把下列各式分解因式： (1) x2 – 3x _______________ (2) _______________ (3) 2x2 – x – 3 _______________ x(x – 3) (2x – 3)(x + 1) 平方根 复习导入 进行新课 解下列方程： （1）x2 = 4； （2）x2 – 1 = 0. 试 一 试 你是怎样解得？ 对于题（1），有这样的解法： 方程 x2 = 4 ， 意味着 x 是 4 的平方根，所以 即 x = ±2. 概括 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2 ，x2 = – 2. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 对于题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x – 1)(x + 1) = 0 必有 x – 1 = 0 或 x + 1 = 0 分别解这两个一元一次方程，得 x1 = 1 ，x2 = – 1. 利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法. 使用两种方法解方程： x2 – 900 = 0. 做 一 做 （1）移项，得 x2 = 900， 直接开平方，得 x =±30， ∴x1 = 30，x2 = – 30. （2）左边因式分解，得 x + 30 = 0或x – 30 = 0， 所以 得 x1 = 30，x2 = – 30. (x + 30)(x – 30)= 0， 例1 解 解下列方程： （1）x2 – 2 = 0； （2）16x2 – 25 = 0 （1）移项，得 x2 = 2. 直接开平方，得 即 （2）移项，得 16x2 = 25. 方程两边都除以16，得 直接开平方，得 即 解 解下列方程： （1）3x2 + 2x = 0； （2）x2 = 3x. （1）方程左边分解因式，得 x(3x + 2) = 0. 所以 x = 0 或 3x + 2 = 0. 得 例2 （2）移项，得 x2 – 3x = 0. 方程左边分解因式，得 x(x – 3) = 0. 所以 x = 0 或 x – 3 = 0. 得 x1 = 0，x2 = 3. （2）x2 = 3x 解下列方程： （1）(x + 1)2 – 4 = 0； （2）12(2 – x)2 – 9 = 0. 两个方程都可以通过简单的变形，化为 ( )2 = a (a ≥ 0) 的形式，用直接开平方法求解. 例3 分析 （1）原方程可以变形为 (x + 1)2 = 4. 直接开平方，得 x + 1 = ±2. 所以 x1 = 1，x2 = – 3. 解 你是这样解的吗？还有没有其他解法？ （2）原方程可以变形为 _______________________. 直接开平方，得 _______________________. 所以 x1 = ________，x2 = ________. 小张和小林一起解方程 x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小张将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x – 6) = 0， 所以 3x + 2 = 0 或 x – 6 = 0. 得 你知道吗？ 小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x + 2) = 6(3x + 2)， 方程两边都除以 (3x + 2)，得 x = 6. 小林说：“我的方法多简便！”可另一个根 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 3x + 2 可能为 0. 随堂演练 1. 用直接开平方法解下列方程 （1）3(x – 1)2 – 6 = 0 （2）x2 – 4x + 4 = 5 （3）(x + 5)2 = 25 （4）x2 + 2x + 1 = 4 解： （1）(x – 1)2 = 2 （2）(x – 2)2 = 5 （3）x1 = 0，x2 = – 10. （4）(x + 1)2 = 4 x1 = 1，x2 = – 3. 2.用因式分解法解下列方程： （1） x2 + x = 0 （2） （3） 3x2 – 6x = –3 （4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2 解：（1）x(x + 1) = 0； （2） （3）(x – 1)2 = 0； x1 = 0，x2 = – 1. x1 = x2 = 1. （4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2 (x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0 [(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0 (3x – 9) (1 – x) = 0 3(x – 3) (1 – x) = 0 得 x1 = 3，x2 = 1. 1.对于形如 a(x – k)2 = b(a ≠ 0，b ≥ 0)的方程，只要把 (x – k) 看作一个整体，就可转化为 x2 = n (n ≥ 0) 的形式用直接开平方法解. 2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解. 课堂小结 课后作业 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题. 教学反思 本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、 恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想. $$