精品解析：辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度（下）阶段练习（二） 八年级数学 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※ 注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A B. C. D. 5. 若，则的值是（ ） A 3 B. C. D. 6. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 9. 如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是____________________． 12. 当，时，______． 13. 如图，在正方形中，对角线交于点，的平分线交于点，过点作交于点，则______． 14. 如图，在菱形中，，．是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，以为边作菱形，其中，点位于直线的上方，且，点是的中点，连接，则线段的最小值是______． 15. 如图，中，，，点为内一点，，，若，则的长为______． 三、解答题（16题15分、17题6分，共计21分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 已知，求代数式的值． 四、解答题（18题8分，19题8分，共计16分） 18. 某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路．公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？ 19. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 五、解答题（8分） 20. 赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 六、解答题（8分） 21. 如图，正方形中，点是边上的一点（不与点重合），连接，平分，交边于点，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由． 七、解答题（10分） 22. 【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长． 八、解答题（12分） 23. 【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）阶段练习（二） 八年级数学 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※ 注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 【详解】解：A、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可． 【详解】解：由题意得：==． 故选A． 3. 如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行且相等可得，，再根据顶点A，B，D的坐标求出长及点C的纵坐标即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， A，B，D的坐标分别是，，， ，， ，点C的纵坐标为2， 顶点C的坐标是． 故选B． 4. 如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴点所表示的实数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，数轴与无理数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 5. 若，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：．可巧记为：“首平方，未平方，首末两倍中间放"． 首先根据计算出，再利用即可解答． 【详解】解：，即， ， ， 故选：B． 6. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用． 根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ， ∴这棵树在折断之前的高度． 故选：A． 7. 如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是构建直角三角形． 吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴露出杯口外的长度为：， 故选：C． 8. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，从而即可得出答案. 【详解】根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知： 较小两个直角三角形面积之和＝较大正方形的面积， 所以将三个方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积. 故选C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握“较小两个直角三角形的面积之和＝较大正方形的面积”是解答本题的关键. 9. 如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作交于H，利用证明可得， ，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点F作交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，, '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选:A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 10. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可得，根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 12. 当，时，______． 【答案】5 【解析】 【分析】先将转化为，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的运算法则，正确的计算． 13. 如图，在正方形中，对角线交于点，的平分线交于点，过点作交于点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解答的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，得到，由平分和平行线的性质得到，，再证明，即可求解． 【详解】解：∵正方形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，．是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，以为边作菱形，其中，点位于直线的上方，且，点是的中点，连接，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形性质，全等三角形判定与性质，垂线段的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，确定取最小值时的点位置是解题的关键． 连接，由菱形的性质可得，再证明可证得三点共线，进而可得当过点作于点，点位于点时，有最小值即的长，利用含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】解：连接， 在菱形中，， ∴是等边三角形，， ∴， 在菱形中，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴三点共线， 过点作于点，则当点位于点时，有最小值即的长， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段的最小值是． 故答案为：． 15. 如图，中，，，点为内一点，，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于，在上截取，连接．作于．首先证明是等边三角形，再证明，推出，再求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于，在上截取，连接．作于． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（16题15分、17题6分，共计21分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）0 （2） （3）14 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法； （3）根据多项式乘法和完全平方公式计算即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式． 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ． 四、解答题（18题8分，19题8分，共计16分） 18. 某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路．公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？ 【答案】公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米． 【解析】 【分析】首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，在中利用勾股定理可求得的长，则公路修通以后从A到D比原来缩短的路程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 在，(千米)， 则公路修通以后从A镇到D镇的路程比原来缩短了(千米)． 答：公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是正确证明是直角三角形． 19. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 五、解答题（8分） 20. 赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 六、解答题（8分） 21. 如图，正方形中，点是边上的一点（不与点重合），连接，平分，交边于点，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，证明见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，垂直的意义，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，解本题的关键是构造全等三角形，是一道中考常考题． 过点B作，与的延长线交于点G．证明()，可得，根据，得，根据线段的和可得结论：． 【详解】解：． 理由：如图所示，过点B作，与的延长线交于点G． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即． 七、解答题（10分） 22. 【问题背景】（1）如图1，点是线段，中点，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程；（2），理由见解答过程；（3） 【解析】 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 连接，如图： ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图： ∵为的中点， ∴， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． 八、解答题（12分） 23. 【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；探究： 【解析】 【分析】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． （1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 探究：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】解：（1）设等边三角形边长为， ， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； (2)∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ∴是奇异三角形； ， ∴是奇异三角形； 拓展：中，， ， ， ， ∵是奇异三角形， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$