（网络 收集版）2024年全国甲卷数学（理）高考真题文档版（含答案）

参考答案 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.5 14. 15.64 16. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（1）列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18.（1） （2） 19.（1）证明见详解； （2） 20.（1） （2） 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 21.（1）极小值为，无极大值. （2） （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22.（1） （2） [选修4-5：不等式选讲] 23.（1） 因为， 当时等号成立，则， 因为，所以; （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 10. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 11. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 15. 已知且，则______． 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 21. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出的直角坐标方程； （2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知实数满足． （1）证明：； （2）证明：． 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 【13题答案】 【答案】5 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】64 【16题答案】 【答案】 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 【17题答案】 【答案】（1）列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见详解； （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【21题答案】 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【22题答案】 【答案】（1） （2） [选修4-5：不等式选讲] 【23题答案】 【答案】（1） 因为， 当时等号成立，则， 因为，所以; （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $