精品解析：2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题解析（参考版）

命学科网组卷网 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷) 数学 本试卷共10页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知集合4={x-5收<5，B=3,-1,0,23},则AnB=（) A.{-1,0 B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解 【详解】因为A={x-5<x<5,B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<5<2， 从而A∩B={-1,0 故选：A 2若三=1+i,则2=（) 2-1 A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 【答案】C 【解析】 第1页/共24页 可学科网可组卷网 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解 【详解】因为三=-1+=1+1=1+i,所以2=1+=1-i z-1z-1 z-11 故选：C 3.已知向量ā=(0,1)，b=(2,x),若b⊥(b-4),则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值 【详解】因为b1(6-4a,所以6-（石-4a=0, 所以6-4a6=0即4+x2-4x=0,故x=2, 故选：D 4.已知cos(a+B)=m,tan a tan B=2,则cos(a-β)=() A.-3m B、 3 C.mn D.3m 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求cosa cos B,sin a sin B的关系，结合tan a tan B的值可求前者，故可求 cosa-B)的值 【详解】因为cosa+B=m,所以cosa cos B-sin a sin B=m, 而tan o tan阝=2，所以sina sin阝=2 cosa cos B, 故cosa cos B-2 cosa cosβ=m即c0sac0sβ=-m, 从而sin a sin B=-2m,故cosa-β)）=-3m, 故选：A 5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为() A.23n B.33元 C.63m D.9N3元 【答案】B 第2页/共24页 学科网组卷网 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为”，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径”的方程，求出解后可求圆锥的体 积 【详解】设圆柱的底面半径为”，则圆锥的母线长为√r2+3, 而它们的侧面积相等，所以2πr×√3=πr×V3+r2即2√3=V3+r2, 故r=3,故圆锥的体积为二π×9×√3=3√3π 故选：B -x2-2ax-a,x<0 6.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是() e+ln(x+1),x≥0 A.(-0,0] B.[-1,0] c.[-1, D.[0,+o0) 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可 【详解】因为fx)在R上单调递增，且x≥0时，fx)=e"+lnx+l单调递增， -2a ≥0 则需满足 2×-1),解得-1≤a≤0， -a≤e°+lnl 即a的范围是[-1,0] 故选：B 7.当x∈0,2x]时，曲线y=sinx与y=2sin3x- 的交点个数为() 6 A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π， 第3页/共24页 可学科网 命组卷网 函数y=2sin 3x- 6 的最小正周期为T=2 所以在x∈[0,2m上函数y=2sin3x- 有三个周期的图象， 6 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： =2sin(3x-) 4元 v-sinx 2元 2元 由图可知，两函数图象有6个交点 故选：C 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时f(x)=x,则下列结论中一定 正确的是() A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f10)<1000 D.f(20)<10000 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到f(I)=1,∫(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当x<3时f(x)=x,所以f(I)=1,f(2)=2, 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2), 则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5, f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21, f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89, f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f11)>377 第4项/共24页 西学科网丽组卷网 f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987, f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确： 且无证据表明ACD一定正确 故选：B 【点晴】关键点点晴：本题的关键是利用f()=1,∫(2)=2，再利用题目所给的函数性质 ∫(x)>∫(x-1)+∫(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分 9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入 (单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=21,样本方差 s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正 态分布Nx,s2),则()（若随机变量Z服从正态分布N4,o2),P(Z<μ+o)≈0.8413） A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的3。原则以及正态分布的对称性即可解出 【详解】依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.12), 故P(Y>2)=PY>2.1-0.1=P(Y<2.1+0.1≈0.8413>0.5，C正确，D错误； 因为X≈N1.8,0.12,所以P(X>2）=P(X>1.8+2×0.1, 因为P(X<1.8+0.1≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1≈1-0.8413=0.1587<0.2， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1<0.2,B正确，A错误， 故选：BC 第5页/共24页 西学科网丽组卷网 10.设函数f(x)=(x-1)(x-4),则() A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<fx2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数f(x)的导数，得到极值点，即可判断A;利用函数的单调性可判断B;根据函数f(x 在(1,3)上的值域即可判断C;直接作差可判断D, 【详解】对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1(x-4)+(x-1)=3(x-1(x-3), 易知当x∈(1,3时，f'(x<0,当x∈(-0,1或x∈3，+o0)时，f'(x>0 函数f(x)在-0,1上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+o）上单调递增，故x=3是函数f(x)的极 小值点，正确； 对B,当0<x<1时，x-x2=x1-x>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f(x在(0,1)上单调递增，所以f(x)>fx2),错误； 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数fx)在(1,3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1>f3),即-4<f(2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x>0, 所以f(2-x)>f(x),正确： 故选：ACD 11.设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足： 横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则（) 第6页/共24页 可学科网列组卷网 A.a=-2 B.点(2√2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D当点()在C上时，为≤4 x。+2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a,故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利 用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误 【详解】对于A:设曲线上的动点P(x,),则x>-2且Vx-2+y2×x-a=4, 因为曲线过坐标原点，故V0-2)2+02×0-a=4,解得a=-2,故A正确 对于B:又曲线方程为Vx-2)2+y2×x+2=4,而x>-2, 故Vx-2)2+y2x(x+2)=4. 当x=22,y=0时， V22-2°x22+2=8-4=4, 故2√2,0在曲线上，故B正确 对于C:由曲线的方程可得y2= +2(x-2,取x=3 16 则2=4-，而4--1=64三-256-245>0，放此时y>1, ,而 494 494 49449×4 故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误 对于D:当点(，以)在曲线上时，由C的分折可得=16 (+2刃-(-2)}2≤、16 (x+22, )+25%54 4 。+2’故D正确 故选：ABD 第7页/共24页 学科网组卷网 【点晴】思路点晴：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等 来处理 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12设双曲线C:女 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F,,过E作平行于y轴的直线交C于A, a2 b2 B两点，若|FA=13,AB=10,则C的离心率为 【答笑1 3 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF,结合双曲线第一定义求出AF,即可得到a,b,c的值， 从而求出离心率。 【详解】由题可知4，B,F三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入亡 a261 又4-A,=2a,得4F=A5,+2a=2a+5=13,解得a=4,代入左=5得2=20， a 故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e=C=6=3 a42 故答案为： 2 B l3.若曲线y=e+x在点(0,1处的切线也是曲线y=ln(x+l)+a的切线，则a= 【答案】ln2 【解析】 第8页/共24页 学科网丽组卷网 【分析】先求出曲线y=e+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=lnx+l)+a的切点为 xo,lnx。+)+a,求出y,利用公切线斜率相等求出x,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可 求解 【详解】由y=e+x得y'=e*+1,y'k-0=e°+1=2， 故曲线y=e+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1; 由y=ln(x+1)+a得y= x+1, 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为xo,ln(x,+1)+a, 由两线有公切线将少=十=2，解得%=子则切点为 1 七0+1 2a+n2 切线方程为y=2 x+tath-2x+lta-2. 根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2. 故答案为：ln2 14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡 片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选 一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的 卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 【答案】3#0.5 【解析】 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X,X2,X3,X4,四轮的总得分为X 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在 该轮得分的服率PX==64,所以EX,)=k=12,34到 4×48 8 从而E(X)=E(X+X:+X+X,=立(x=2-3 台82 记Pk=P(X=k)(k=0,1,2,3 第9页/共24页 可学科网可组卷网 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8，所以 11 P0= A=24 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6，所以 11 B=A=24 而X的所有可限取值是0,1,2,3，改2+p+P,+P,,P+2p,+3p:=EX 所以p+p,+12 11 1 p+2p日内武相战即得224散P,+P 所以甲的总得分不小于2的概率为P,+P=2 故答案为：分 【点晴】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从 而避免繁琐的列举 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.记ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2c0sB,a2+b2-c2=√2ab (1)求B; (2)若ABC的面积为3+V3,求c. 【答案】(1)B= (2)2√2 【解析】 【分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC,最后结合已知sinC=√2cosB得cosB的值 即可； (2)首先求出A,B,C,然后由正弦定理可将，b均用含有C的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程 求解 【小问1详解】 由余弦定理有a2+b2-c2=2 abcosC,对比已知a2+b2-c2=√2ab, 第10页/共24页 绝密 ★ 启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷） 数学 本试卷共10页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ） A. B. 点C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在C上时， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 19. 设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． （1）写出所有的，，使数列是可分数列； （2）当时，证明：数列是可分数列； （3）从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $