精品解析：重庆市育才中学校2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题

重庆育才中学教育集团初2024届初三（下）考前模拟 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 在实数2，3，，中，不是有理数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件不能判定是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. x≠3 B. x≥﹣1 C. x≥﹣1且x≠3 D. x≤﹣1或x≠3 5. 如图，与位似，点为位似中心，与的周长之比为，若点坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列一组图案，每个图案都是若干个“·”组成，其中图①中共有7个“·”，图②中共有13个“·”，图③中共有21个“·”，图④中共有31个“·”…，按此规律，图形⑩中的“·”个数是（ ） A. 113 B. 117 C. 125 D. 133 7. 估计的值应在（　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 8. 如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点D，连接．若平分，，则线段的长是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，E是正方形的边上的一点，连接，点F为的中点，过点F作的垂线分别交，于点M，N，连接，若，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 10. 有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个 ①，，，；②； ③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为________. 13. 现有三张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足的概率为________． 14. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________． 15. 如图，在等腰梯形中，，，，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分面积为______． 16. 如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为______． 17. 若关于y的不等式组有解且最多4个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 18. 对任意一个四位数m，如果m各个数位上数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 在学习矩形的过程中，小明发现将矩形折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，垂足为点O． ∵四边形是矩形， ∴① ， ∴，， ∵② ， ∴③ ， ∴， ， ， ， 又∵， ∴④ ， 即平分矩形的面积． 21. 12月2日是“全国交通安全日”，为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，某学校举行了交通安全知识竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组：：，：，：，：，下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在组的数量是组数量的一半，在组中的数据为：，，，； 八年级抽取的学生竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 88 a 95 八 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）该校；七、八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数． （3）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)． 22. 为了共同做好九龙坡区文明创建工作（创建全国文明城区和创建全国未成年人思想道德建设工作先进城区），九龙坡区建委决定对九龙坡区石坪桥街道一条长6400米步道展开整改，承担此任务的承包商在整改了1600米后，发现不能按时完成任务，于是安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用68天完成了全部任务． （1）原来每天整改了多少米步道？ （2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资329600元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 23. 如图，在梯形中，其中底边，，连接对角线，为等边三角形，动点P从C点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，同时Q点从B点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x秒，P、Q两点间的距离为y； （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知图象如图所示，若时，请直接写出x的取值范围． 24. 三月是草长莺飞好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向． （参考数据：，，，） （1）求A与C之间的距离（结果保留整数）； （2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数） 25. 如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接、，已知． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交于点F，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，上有一动点M，连接，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 26. 在中，，是边上的高，点E是线段上一点，点F是直线上的一点，连接、，直线交直线于点G． （1）如图1，点F在线段延长线上，若，，证明； （2）如图2，点F线段上，连接并延长至点H，满足，连接，若，证明：； （3）如图3，点F在线段延长线上，若，，点Q为上一点，，连接，点I在的下方，且，，连接，点M为的中点，连接，点N为线段上一动点，连接，将沿直线翻着得到，连接，点P为的中点，连接，．当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团初2024届初三（下）考前模拟 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 在实数2，3，，中，不是有理数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数的定义，实数分无理数和有理数：无理数是指无限不循环的小数；有理数是整数和分数的统称．根据无理数和有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：， 2，3，是整数，属于有理数；是无理数； 综上分析可知：不是有理数有1个，故B正确． 故选：B． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．关键是能否找到对称中心与对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，即，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，∴，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. x≠3 B. x≥﹣1 C. x≥﹣1且x≠3 D. x≤﹣1或x≠3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：x≥﹣1且x≠3． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,分式有意义的条件，二次根式有意义的条件. 自变量取值范围需注意的情况①整式型即等式右边是整式，自变量为全体实数；②分式型即等式右边的自变量在分母的位置上，保证分母不为0；③开平方型即等式右边是开平方的式子，被开方式大于或等于0. 5. 如图，与位似，点为位似中心，与的周长之比为，若点坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据周长比确定相似比，由点得坐标确定的，即可求解、长度，便可求解点的坐标． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，与的周长之比为， ∴，相似比为， 即， 又∵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为． 故答案为：A． 6. 观察下列一组图案，每个图案都是若干个“·”组成，其中图①中共有7个“·”，图②中共有13个“·”，图③中共有21个“·”，图④中共有31个“·”…，按此规律，图形⑩中的“·”个数是（ ） A. 113 B. 117 C. 125 D. 133 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形个数的变化特点．找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：图①中共有个“•”， 图②中共有个“•”， 图③中共有个“•”， 图④中共有个“•” …， 图形⑩中的“•”个数是， 故选：D． 7. 估计的值应在（　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】 ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点D，连接．若平分，，则线段的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、平行线的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得出，在中由可得出答案． 【详解】解：连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C． 9. 如图，E是正方形的边上的一点，连接，点F为的中点，过点F作的垂线分别交，于点M，N，连接，若，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理；连接，则得，设，在中由勾股定理建立方程即可求得a的值，从而求得面积值． 【详解】解：如图，连接， 点F为的中点，且， 为线段的垂直平分线， ； 四边形为正方形，， ； 设，则； 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ． 故选：B． 10. 有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个 ①，，，；②； ③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【详解】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算，掌握这些知识是关键．依次计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，最后相加即可． 【详解】解： ； 故答案为：3． 12. 太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为________. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：15500000用科学记数法表示为 故答案为： 【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 现有三张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由列表法得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： ∴共有种等可能的结果，其中满足的有：、、、、，共种， ∴满足的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，通过列表法得到所有情况后准确找到满足条件的情况是解答本题的关键． 14. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可求 ，， 由，即可求解． 【详解】解：设， 轴， ，，轴， ， 解得：， 在上， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键． 15. 如图，在等腰梯形中，，，，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于，过点作，证四边形是矩形，得，再证，得，从而有，，于是利用梯形面积公式及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于D， ∵在等腰梯形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴与弧相切， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，扇形的面积公式是解题的关键． 16. 如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键；由题意可得，得；由，利用三角形内角和及全等的结论，即可求得其度数为，由互补即可求得结果． 【详解】解：， ， 即； ， ， ； ，， ， 则； 故答案为：． 17. 若关于y的不等式组有解且最多4个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式组，注意分式方程取增根的情况；分别解不等式组与分式方程，由题意可得a的取值范围，进而得整数a的值，即可求得整数的和． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 因不等式组有解，则； 由于不等式组有解且最多4个整数解，则； 解关于x的分式方程，得， 由题意得：且， 解得：且； 综上，则a的范围为：且， 所以整数a的值为：0，1，2，其和为； 故答案为：3． 18. 对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积． 【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵能被20整除， ∴，则，即： ∴，， ∵各个数位上的数字都不为零且互不相同， ∴， ∴当，6，7，8时：，，，， ∴k的所有取值之积为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，分式的混合运算；正确运算是关键； （1）分别用单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）先通分，再把除法转化为乘法，并约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习矩形的过程中，小明发现将矩形折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，垂足为点O． ∵四边形是矩形， ∴① ， ∴，， ∵② ， ∴③ ， ∴， ， ， ， 又∵， ∴④ ， 即平分矩形的面积． 【答案】，垂直平分线段，，． 【解析】 【分析】根据要求作出图形，证明推出，可得结论． 【详解】解：图形如图所示： 四边形是矩形， ①， ，， ②垂直平分线段， ③， ， ， 又， ④， 即平分矩形的面积． 故答案为：，垂直平分线段，，． 【点睛】本题考查作图复杂作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 21. 12月2日是“全国交通安全日”，为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，某学校举行了交通安全知识竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组：：，：，：，：，下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在组的数量是组数量的一半，在组中的数据为：，，，； 八年级抽取的学生竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 88 a 95 八 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）该校；七、八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数． （3）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)． 【答案】（1），， （2）人 （3）八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，求中位数，众数； （1）根据中位数、众数的意义，分别求出七年级的中位数和八年级的众数，有“1”减去其他三组所占百分比可得的值； （2）利用样本估计总体即可； （3）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可． 【小问1详解】 解：根据题意，将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是，，故中位数为，即； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，即； ，即． 故答案为：，，； 【小问2详解】 (人)， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀学生总数约420人； 【小问3详解】 八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同都是，但八年级学生竞赛成绩的中位数高于七年级学生竞赛成绩的中位数，所以八年级参加竞赛活动的学生成绩更好． 22. 为了共同做好九龙坡区文明创建工作（创建全国文明城区和创建全国未成年人思想道德建设工作先进城区），九龙坡区建委决定对九龙坡区石坪桥街道一条长6400米步道展开整改，承担此任务的承包商在整改了1600米后，发现不能按时完成任务，于是安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用68天完成了全部任务． （1）原来每天整改了多少米步道？ （2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资329600元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 【答案】（1）80米 （2）4000元 【解析】 【分析】（1）设原来每天修x米，则加班后每天修米，列出方程计算即可． （2）设加班前每天需支付工人工资y元，则加班后支付工人工资元，列出方程计算即可． 【小问1详解】 设原来每天修x米，则加班后每天修米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来每天修80米步道． 小问2详解】 设加班前每天需支付工人工资y元，则加班后支付工人工资元， 根据题意，得， 解得， 答：安排工人加班前每天需支付工人工资4000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键． 23. 如图，在梯形中，其中底边，，连接对角线，为等边三角形，动点P从C点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，同时Q点从B点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x秒，P、Q两点间的距离为y； （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知图象如图所示，若时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）画出图象见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况考虑：点P在边上运动时，易得是等边三角形，则可求得的长；点P在边上运动时，设交于点E，利用三角函数知识即可求得；最后确定函数式； （2）由函数式即可画出函数图象，根据图象即可写出一条性质； （3）求出两个函数图象的交点，借助图象即可得x的取值范围． 【小问1详解】 解：当点P在边上运动时，则； 由题意知：； 为等边三角形， ，； ， 是等边三角形， ， ； 当点P在边上运动时，设交于点E，如图， ， ， ； ， ； ，， ； ， ， ， ， 即； 综上，； 【小问2详解】 解：画出的函数图象如下： 【小问3详解】 解：当时，，整理得， 解得：， 故当时，． 【点睛】本题是几何与函数的综合，考查了一次函数图象与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角函数等知识，分类讨论与数形结合是关键． 24. 三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向． （参考数据：，，，） （1）求A与C之间的距离（结果保留整数）； （2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数） 【答案】（1）500米； （2）走线路①用时更短 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握方位角的概念是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点H，利用锐角三角函数依次求出即可； （2）设与的交点为M；利用矩形的性质、解直角三角形等知识求出米，米，米，米，米，再分别求出两条线路的用时，比较后即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，过点A作，交的延长线于点H， 则， 由题意可知，，， ∴（米）， ∴（米）， 即A与C之间的距离为500米； 【小问2详解】 设与的交点为M，由题意可知， ， ∴四边形矩形， ∴米，（米）， 米， 由题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴路线①的步行的时间为（分钟） 路线②的步行的时间为（分钟） ∵， ∴走线路①用时更短． 25. 如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接、，已知． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交于点F，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，上有一动点M，连接，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 【答案】（1） （2）最大值为；P点的坐标为 （3）点M的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）由可得点C的坐标；设，把点C的坐标代入即可求得a的值，从而求得函数解析式； （2）过点F作于G，则得，，则；又，则，只要求出的最大值即可；由B、C的坐标可求得直线的解析式，设，则可得点的坐标，从而表示出，并求得其最大值，即可求得点P的坐标； （3）由抛物线的平移确定出平移后的解析式为；作A点关于y轴的对称点Q，连接，交于点H，过H作轴；设，则可得，从而可证明，则可求得；由，得，从而可求得点H的坐标，进而求出直线，联立直线与抛物线解析式即可求得点M的横坐标；当点H关于x轴对称时，同理也可求得点M的横坐标． 【小问1详解】 解：，， ； ； 由于抛物线与x轴交于点、两点， 故设， 把点C的坐标代入中，得， ， 故， 化为一般式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点F作于G， 轴， ， ， ； ， ， ； 轴， ， ， ， ， ； ，即， 由勾股定理得：， ， 则， 当取最大值时，取最大值； 设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； 因点P在抛物线上，设， 轴， ， 则， ， 当时，取最大值，从而取得最大值； 当时，， 故点P的坐标为； 【小问3详解】 解：， 抛物线顶点坐标为； ，， 抛物线沿方向先向下平移个单位，再向左平移个单位， ， 故平移后的解析式为； 如图，作A点关于y轴的对称点Q，连接，交直线于点H，过H作轴； 则，，； 设，则， ， ，，， ， ， ， ； ， ， ，即， 由勾股定理得，则， ， 点H的坐标； 设直线的解析式为， 把点B、H的坐标代入得：，解得：， 即直线的解析式为； 令， 整理得：， 解得：； 即点M的横坐标为或； 当点H关于x轴对称点为，则， 同理，直线的解析式为； 令， 整理得：， 解得：； 即点M的横坐标为或； 综上，满足条件的点M的横坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，解一元二次方程等知识，综合性强，运算量较大，灵活掌握相关知识，添加适当辅助线是解题的关键． 26. 在中，，是边上的高，点E是线段上一点，点F是直线上的一点，连接、，直线交直线于点G． （1）如图1，点F在线段延长线上，若，，证明； （2）如图2，点F在线段上，连接并延长至点H，满足，连接，若，证明：； （3）如图3，点F在线段延长线上，若，，点Q为上一点，，连接，点I在的下方，且，，连接，点M为的中点，连接，点N为线段上一动点，连接，将沿直线翻着得到，连接，点P为的中点，连接，．当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由已知得，由三角形内角和得，由三角形外角的性质则可得； （2）连接，作交延长线于点M，作于K，延长至N，使，连接，可证明，则；设，则得出，进而得出，从而，进而有，可证得，则，最后即可得出结论； （3）首先确定点P的轨迹：取中点O，连接，则有，从而点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，则当点A、O、P共线时，最大，此时最大，可得，从而；其次，确定点P在上：过点O作于J，易得，则可得的长，由勾股定理求得，，即可证明，从而得，，由此可得，即得点P在上，从而可得出结果． 【小问1详解】 证明：设， ，是边上的高， 平分， 即； ， ， ， ； ， ； ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接，作交延长线于点M，作于K，延长至N，使，连接； 在中，； ， ； ， ， 则； 设，则， ； ， ， 即， ， ， ， ； ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ， ， 即； 【小问3详解】 解：， ； ， ，， ， ； 如图，取中点O，连接， 点是的中点， 则， 所以点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，则当点A、O、P共线时，最大，此时最大； ， ； 过点O作于J， ， ， ， ， 即， ； 在中，由勾股定理得， 而，即， ； ， ， ， ， 即， 而， 所以点P在上，，， ． 【点睛】本题是几何综合性题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，确定圆的条件，解直角三角形，三角形中位线定理等一系列知识，关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$