精品解析：2024年高考全国甲卷数学（理）高考真题解析（参考版）

6学科网命组卷网 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1.答题前，务必将自已的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若z=5+i,则(2+2)=（) A.10i B.2i C.10 02 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解 第1页/共26页 6学科网命组卷网 【详解】由2=5+i→z=5-iz+z=10,则(2+2)=10i 故选：A 2.已知集合A={红，2,34,59}，B={NF∈A,则C,(4nB)=（) A{1,4,9} B.3,4,9 c1,2,3} D.{2,3,5} 【答案】D 【解析】 【分析】由集合B的定义求出B,结合交集与补集运算即可求解 【详解1因为A={1,23,45,9},B={xG∈A,所以B={么，4,916,25,81， 则1nB={九，4,9以，C,(4nB)={2,35y 故选：D 4x-3y-3≥0 3.若 满足约束条件 {x-2y-2≤0 ,则 的最小值为() x,y 2x+6y-9≤0z=x-5y 1 5 7 A.2 B.0 C. D.2 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得 4x-3y-3≥0 【详解】实数 满足1 x-2y-2≤0 作出可行域如图： x,V 2x+6y-9≤0 4x-3y-3=0 2x+6y-9=0 A y- x-2y-2=0 第2页/共26页 6学科网 命组卷网 11 由z=x-5y可得y=5x- 552, 11 即2的几何意义为'=5一5的截距的5， 则该直线截距取最大值时，2有最小值， 11 此时直线y=5x一52过点A: 3 4x-3y-3=0 x= 联立 2x+6v-9=0,解得v=1,即)1 3 则2m -5x1=-7 故选：D 4记S为等差数列{a}的前n项和，己知S,=S0,a4,=1,则4=() 个 7 1 7 A.2 B.3 C.3 D.11 【答案】B 【解析】 【分析】由5，=S结合等差中项的性质可得4=0，即可计算出公差，即可得A的位 【详解】由5。-5=a,+a,+a+4+a0=5a,=0,则4=0， 故选：B, 5.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0,4)，点（-6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为《 第3页/共26页 6学科网 命组卷网 A.4 B.3 C.2 D.V2 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可得离心率. 【详解】由思意，设F(0,-4)、(0,4)、P(-6,4) 则|EE=2c=8,PF=V62+(4+4)2=10,1PF=V62+(4-4)2=6, 则2a=Pg-Ps=10-6=4,名-2 故选：C 6设函数f()= e*+2sinx 1+x2一，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 () 1 1 1 2 A.6 B.3 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可 得其面积 f'(x)= (e*+2cosx)(1+x2)-(e*+2sinx).2x 【详解】 (1+x2月 则了0)-e+2cos01+0)-e+2sn0*0 (1+0)2 即该切线方程为 -1=3x,即y=3x+l 第4页/共26页 学科网命组卷网 令x=0则y=1,令y=0,则刚s~ S=1 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积° 故选：A 7.函数f()=-r+(e-e)5inr在区间-2.8,2.8]的图象大致为() 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=1可得()>0，可排除D. 【详解】f（-)=-r+(e-e）sin(-x)=-r2+(e-e)sinx=f(x)】 又函数定义域为-2.8,2.8， 故该函数为偶函数，可排除A、C, z0=-1e--eg0 "622e42e, 故可排除D. 故选：B. cosa 8.己知cosa-sina 5,则a+}( 第5页/共26页 6学科网 命组卷网 √5 A.2N3+1 B.2W3-1 C.2 D.1-√5 【答案】B 【解析】 cosa 【分析】先将coso-sino弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解. cosa =3 【详解】因为cosa-sina g=5.→ma=l-5 所以1-tan 3 所ama+ tana+1=23-1 1-tan o 故选：B 9设向量ā=(x+1,,5=(x,2),则() A“x=-3是1b"的必要条件 B.x=l+5是a/历的必要条件 c.x=0是a1b的充分条件 D.x=-l+V5是/历的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可 【详解】对A,当1b时，则a:b=0 (x+1)+2x=0 所以 解得=0-3 或 ,即必要性不成立，故A错误： 对C,当x=0时，a=(1,0),b=(0,2),故a-万=0， 所以⊥b,即充分性成立，故C正确： 第6页/共26页 6学科网命组卷网 对B,当/历时，则2x+D=,解得=1±5，即必要性不成立，故B结误 对D,当=-1+5时，不满足2x+)=x,所以a/石不成立，即充分性不立，放D错误 故选：C a、B 10.设 为两个平面，m、”为两条直线，且” ∩B=m .下述四个命题： ①若m/m,则n/a或n/B 或 ②若m1n,则” n⊥an⊥B 或 ③若n/Iaan1/B 且 则m1n ③若”与“，P所成的角相等，则m上n 其中所有真命题的编号是( A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③ 【详解】对O,当nCa,因为m/n,mcB,则n/B ,则 当ncB 因为m/n,mca,则na, 当”既不在“也不在P内，因为mm.mca,mcB,则n1a且/B B 故①正确： 对②，若m上”，则”与“，P不定垂直，散②错误： 对@，过直线”分别作两平面与 ,P分别相交于直线和直线， 因为n/Ia,过直线n的平面与平面a的交线为直线S,则根据线面平行的性质定理知n/Is, 同理可行n/,则，因为平面B,1C平面P,则/平面B, 因为C平面“，anB=m,则s1m,又因为n/,则m/n ,故③正确： 第7页/共26页 6学科网命组卷网 n m B lla,nl/B 对④，若 nB=m,”与“和所成的角相等，如果 ,则 1,故④错误： 综上只有①③正确， 故选：A 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若B=60°b2、9 ,则sinA+sinC=() √7 √5 A.2 B.√2 C.2 D.2 【答案】C 【解析】 1 sin Asin C= 【分析】利用正弦定理得 3,再利用余弦定理有 2+c2=1 ac,由正弦定理得到 sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可 【详解】因 B=60,b=9aG sin Asin C=4sinB= ，则由正弦定理得 9 3 b2=a2+c2-ac= 9 由余弦定理可得 即：a2+c2= 4c,根据正弦定理得 sin 4+sin'C=13 sin AsinC=13 4 12, 所以sinA+sinC)'=sin2A+sin2C+2 2sin AsinC= 7 4, 第8页/共26页 学科网命组卷网 因为4，C为三角形内角，则sn4+snC>O,则m1+snCV月 2 故选：C 12已知b是a,c的等差中项，直线r+by+c=0与圆2+y广+4y-1=0交于4，B两点，则4B的最小 值为() A.1 B.2 C.4 D.25 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将C代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为a6,C成等差数列，所2b=a+e,c=2b-a,代入直线方程r+by+c=0 [x-1=0「x=1 ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令y+2=0得y=-2, 故直线恒过山，-2），设PL,-2),圆化为标准方程得：C:x+(+2=5 设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PC1AB时，M8最小， PC=l,4C=|=5,此时AB=2AP=2√AC2-PC2=25-1=4 故选：C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 第9页/共26页 6学科网6组卷网 10 -+x 的展开式中，各项系数中的最大值为一 【答案】5 【解析】 cc 【分析】先设展开式中第 项系数最大，则根据通项公式有 d 进而求出 r+1 c 即可求解 10-r 【详解】由题展开式通项公式为T1=C3 0≤r<10且r∈Z: 设展开式中第 项系数最大， 则 10- P+1 4 → rs 33,即29 33,又，故 -≤r≤ 4 4 4 r∈Zr=8 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 故答案为：5 14已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为2，圆合的母线长分别为25-)，3-)， 则圆台甲与乙的体积之比为一· √6 【答案】4 【解析】 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可 第10页/共26页 6学科网6组卷网 得解 【详解】由题可得两个圆台的高分别为，=[2(-2)了-(-5)}=V5(5-5), hz=V[3(G-5]-(-5)2=2W2(G-5), 5,+5+S3)h56-)-6 所以V2 3s,+s+s,S) 2hz2W2(G-5)4 6 故答案为：4· 115 15.已知a>1且1 ogsa log..42,则a= 【答案】64 【解析】 【分析】将 ,logs a,log。4 log2 a 利用换底公式转化成 来表示即可求解 1 13-og,a= 5 【详解】由题logs a log。4log2a2 2,整理得(1og2a)}-5log2a-6=0, →l0g2a=-1log2a=6 或 ,又a>1 所以bg,a=6=10g,2,故a=2=64 故答案为：64 16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球记m为 1 前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于2的 概率为 7 【答案】15 第11页/共26页 6学科网列组卷网 【解析】 a,b 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 ,第三个球的号码为‘，则 a+b-3≤2c≤a+b+3.c ,就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率。 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有4=120 ， a+b+c a+b1 设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则322， 故2c-(a+b列≤3，故-3≤2c-(a+b)s3, 故a+b-3≤2c≤a+b+3, 若c=1,则a+b≤5，则(a,b)为：(2,3).(3,2)，故有2种. 若c=2,则1≤a+b≤7，则(a,b)为：(3)，(，4).(1,5)，(1,6)，(3,4) (3,).(4,1,5,).(6,1(4,3),故有10种， 当c=3,则3≤a+b≤9，则(a,b)为： (1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5) (2,1),(4,1,(5,1,(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4) 故有16种， 当c=4,则5≤a+b≤11，同理有16种， 当c=5,则7≤a+b≤13，同理有10种， 当c=6,则9≤a+b≤15，同理有2种， 第12页/供26页 6学科网 命组卷网 1 共m与”的差的绝对值不超过2时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56 567 故所求概率为12015 > 故答案为：15 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必 考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件 进行检验，数据如下： 优级 合格 不合格 总 品 品 品 计 甲车 26 24 0 50 间 乙车 70 28 2 100 间 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级 非优级 品 品 甲车 间 第13页/共26页 命学科网命组卷网 乙车 间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产 品的优级品率存在差异？ p=0.5 D (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果 p>p+1.65 p1-p) 则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认 为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（V150≈12.247) n(ad -be)2 附： K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优 级品率存在差异 (2)可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【解析】 第14页/共26页 学科网 命组卷网 【分折】(1少根据腿中数据完苦列联表，计算K,并与临界值对比分析。 p(1-p) (2)用频率估计概率可得p=0.64,根据题意计算P+1.65, n, 结合题意分析判断. 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得K2 150(26×30-24×70)275 =4.6875 50×100×96×54 16 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品 的优级品率存在差异. 【小问2详解】 96 =0.64 由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为150 用频率估计概率可得p=0.64, 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5 则p+1.65 p0-p=0.5+1.65 0.50-0.5）=0.5+1.65× 150 0.5≈0.567， 12.247 可知D>p+1.65, p(1-p) n 第15页/供26页 6学科网列组卷网 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了· 18记S为数列{a.}的前n项和，已知4S,=3a,+4 (1)求a}的通项公式： (2)设，=(a,求数列，}的前n项和了，. 【答案】(1)0，=4(-3)- 2)7=(2n-1)-3+1 【解析】 【分析】(4)利用退位法可求a,}的通项公式。 (2②)利用错位相减法可求刀 【小问1详解】 当”=1时，48=4=3a,+4 解得94 当n≥2时，45-3a+4,所以4。-4=4a,=30,-3am0,=-3a, am=-3 而a1=4≠0，故an≠0，故an-1 “数列0}是以4为首项，-3为公比的等比数列， 所以4，=4(-3) 【小问2详解】 bn=(-1)”-.n.4(-3)-=4n.3m- 所以7，=6+b+6++6.=4-3°+8-3+12.32++4n-3 故37=4-3'+832+12-3++4n-3 第16页/供26页 命学科网组卷网 所以-27，=4+4-3+4-32+…+4-3-4n-3 =4+4.301-3 1-3 2-4n3”=4+23-(3-1-1）-4n3 =(2-4n)·3-2 .Tn=(2n-1)3+1 19.如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， EF/1AD,BC11AD.AD=4,AB=BC=EF=2,ED=而，FB=25,M为AD的中点 (1)证明：BM1/平面CDE: (2)求二面角F-BM-E的正弦值 【答案】(1)证明见详解： 45 (2)13 【解析】 【分析】(1)结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证BMIICD,进而得证： (②)作B0LD交4D于0，连接OF,易证 OB,OD,OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦 公式即可求解. 【小问1详解】 因为 BCHAD,EF=2,1D=4M为D的中点，所以BCMD,BC=MD 第17页/共26页 学科网命组卷网 四边形BCDM为平行四边形，所以BMIICD,又因为BM￠平面CDE, CDC CDE,所以 BM/CDE 平 平面 【小问2详解】 如图所示，作BO⊥AD交AD于O,连接OF, ABCD 因为四边形 为等腰梯形， BCHAD,AD=4.4B-BC-2CD=2. 结合(I)BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2,又AM=2, 所以△1BM为等边三角形，0为M中点，所以OB=V5 又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为1D中点，所以 EF MD,EFI/MD 四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF, 所以△AFM为等腰三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM, OF=AF2-A02=3 因为OB+0F=BF,所以OB1OF,所以OB.,OD,OF 互相垂直， 以OB方向为辅，OD方向为y轴，OF方向为2轴。建立0-2空何直角坐标系 F(0,0,3),B(5,0,0,M(01,0),E(0,2,3),BM=(V3,10）,BF=(-5,03. B距=(5,2,3)，设平面BFM的法向量为m=(,,, 平面EMB的法向量为7=(5，，马3)】 m.BM=0 「-V3x+y=0 则mBF=0,即-3x+32=0令x=5,得=3，名=1即m=(5,3) 第18页/供26页 学科网命组卷网 i.BM=0 「-√3x2+y2=0 则 nBE=0’ 即 -5x,+2%+32,=0:令x=5,得为=3,2，=-1 例历Vi丽15，则i血m万=45 m.n 1111 即i=(（5,3,-1）； cosm,n= 13 4V5 故二面角F-BM-E的正弦值为13· (1)求C的方程： (2)过点P(4,O)的直线交C于4B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点巳，证明： AQ⊥y 轴. 【答案】(1)43 (2) 直线AB的斜率必定存在，设AB:y=(x-4),A(,乃).B(:,) 第19页供26页 6学科网列组卷网 3x2+4y2=12 由y=k(x-4)可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0, 故△=1024k4-43+42(64k2-12)>0,故2 又+七 32k2 .64k2-12 3+4k25= 3+4k2, 故直线BW:y=五，5 、3 -3y2 X2一2 25-2x-5 X22 所以%=占+，3%三少x2x-5)★9 2x2-5 =k(x-4)×(2x-5)+3k(2-4) 2x2-5 =k255-506+5)+82x62-5x 32k2 °=k3+4k2 3+4k2+8 2x2-5 2x2-5 128k2-24-160k2+24+32k2 =k 3+4k2 =0， 2x2-5 故y=0,即40Ly轴 【解析】 【分析】1)设F(c,0）,根据M的坐标及MF⊥x轴可求基本量，故可求椭圆方程 第20页/共26页 学科网命组卷网 (2)设AB:y=k(x-4,A(,少)，B(,）,联立直线方程和椭圆方程，用4B的坐标表示 片-%，结合韦达定理化简前者可得-%=0，故可证40上y辅 【小问1详解】 b23a2-13 设F(c,0),由题设有c=1且a2,故a2,故a=2,故b=V3, x2 y2 =1 故椭圆方程为43 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为：，少)，(：，乃) (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，注意△的判断： (3)列出韦达定理： (4)将所求问题或题中的关系转化为+、（或少+片、少）的形式 (5)代入韦达定理求解 21.已知函数f()=(（1-ax)ln(1+x)-x 4)当a=-2时，求f()的极值， (2)当x之0时，f()20,求a的取值范围 【答案】(1)极小值为0，无极大值 1 (2) a-2 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值。 第21页/共26页 6学科网列组卷网 (2)求出函数的二阶导数，就2，)、 <a<0 、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当a=-2时，f四=1+2x)ln1+x)-x 做"cx)=2n0+x++2x1=2m0+0+x+ 1+x 因为=2+y=本1n以树为商数 故f(x)在（1，+∞)上为增函数，而f0)=0, 故当1<x<0时，f)<0.当>0时，f)>0, 时， 放f(四)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0,无极大值 【小问2详解】 f()=-ah0+x)+--1=-aih+x)a+ 1+x -,x>0 1+x 段e)h0对小0 则()-9-a+l-a6xa+1_+2a+ x+1(1+x2 (1+x)}2(1+x} 当as、 ≤2时，5()>0，故(x)在(0，+∞)上为增函数， 故()>s(0)=0,即f()>0, 所以f(四在[0，+o)上为增函数，故f()≥f(O)=0 第22页/供26页 学科网命组卷网 当2sa<0 0<x<- 2a+1 时，当 a时，s(x)<0 2a+1 2a+1 0,- 故s(x)在 0,- 上为减函数，故在 a 上s(x)<s(0), 0- 2a+1 即在 a 上∫'(x)<0即f(x)为减函数， 故在 0-2a a上f(x)<f(0)=0,不合题意，舍 当a≥0，此时()<0在(0，+)上恒成立， 同理可得在(0，+0)上f(~<f(0)=0恒成立，不合题意，合， 1 综上， a≤- 2 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导 数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. (二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂 黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修44：坐标系与参数方程] xOy 22.在直角坐标系 X 中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 p=pcos0+1 (1)写出C的直角坐标方程： 第23页/供26页 6学科网 命组卷网 x=t (2)设直线1： y=t+a(t为参数)，若C与I相交于AB两点，若AB=2,求a 【答案】(1)y=2x+1 (2a=4 【解析】 p=vx2+y2 【分析】(1)根据 pcos0=x 可得的直角方程 (2)将直线的新的参数方程代入C的直角方程， 法1：结合参数S的几何意义可得关于a的方程，从而可求参数Q的值： 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值 【小问1详解】 p=vx2+y2 由 p=pcos0+1'将 pcos0=x 代入 p=pcos0+1' 故可得V+厂=x+1,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为广=2x+1 【小问2详解】 对于直线的参数方程消去参数t,得直线的普通方程为y=x+4. 2 法1：直线1的斜率为1，故倾斜角为4， X= -S 故直线的参数方程可设为 y=a+- 2 S∈R 将其代入y=2x+1中得s2+2√2(a-ls+2(a2-1）=0 第24页/供26页 6学科网列组卷网 设4B两点对应的参数分别为，，则+，=-2N2(a-),,=2(a2-1） 且4=8(a--8(a2-l）=16-16a>0,故a<1 as 3 4=内-=+5广-4s5=8(a--8c2-)=2,解得a=子 y=x+a 法2：联立1y2=2x+1,得x2+(2a-2)x+a2-1=0: △=(2a-2}2-4(a2-1）=-8a+8>0,解得a<1, i设4(，)B(3,h)x+x=2-2a,xx=a2-1 则4=1+下Vx+x}-4xx=2V2-2a2-4(a2-)-2 3 解得0=4 [选修45：不等式选讲] 23.已知实数，D满足a+b≥3 a,b (1)证明： 2a2+2b2>a+b (2)证明：a-2b+b-2a2≥6 【答案】(1) 因为2a2+2b2-(a+b)}'=a2-2ab+b2=(a-b}≥0 当4=b时等号成立，则2a+2h≥(a+b, 因为a+b≥3，所以20+2b2≥(a+b2>a+b (2) 第25页/供26页 6学科网列组卷网 a-2b2+b-2a2≥a-2b2+b-2a2=|2a2+2b2-(a+b) =2a2+2b2-(a+b)≥(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)≥3×2=6 【解析】 【分析】(1)直接利 2a2+262≥(a+b即可证明 (2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第26页/共26页 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 10. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 11. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 15. 已知且，则______． 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 21. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出的直角坐标方程； （2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知实数满足． （1）证明：； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $