精品解析：2024年辽宁省盘锦市兴隆台区中考三模数学试题

九下第三次阶段测试 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 下面是某中学初二的同学为自己班设计的几个班徽，是轴对称的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列运算正确的是（　　） A. x8÷x4＝x4 B. （a+1）2＝a2+a+1 C. 3（a3）2＝6a6 D. x3•x2＝x6 6. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 7. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值是(　　) A. B. C. D. 10. 、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（ ） A B. C. D. 二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 方程的根为_______． 13. 如图，，，的角平分线交于点，则的度数为__________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，点A的坐标，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，反比例函数经过点C，则k的值是__________． 15. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 三.解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 19. 服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示． （1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？ 20. 为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺（约），胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸． 如图，为桌面，某同学眼睛看作业本的俯角为为身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离． （1）通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求； （2）为确保符合要求，需将作业本沿方向移动．当眼睛看作业本的俯角为时，求作业本移动的距离．（，． 结果精确到0.1） 21. 如图，已知中， （1）已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若与AB切于点D，与CB另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA． （3）若，，求的半径． 22. 实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． 当点P与点A重合时， ；当点E与点A重合时， ； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 23. 对某一个函数给出如下定义，当自变量满足（，实数，）时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数． （1）当，时，在①；②中，__________理想函数： （2）当时，反比例函数是理想函数，求实数的值； （3）已知二次函数是理想函数，且最大值为，将该函数图像向左平移个单位长度所得图像记为，若图像的顶点为，与轴交于、（点在左侧），与轴交于点，求点、、、围成的四边形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九下第三次阶段测试 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 2. 如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看可得到的图形是： 故选：D． 【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知俯视图的定义． 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义估计无理数的大小，即可得出答案． 【详解】， ， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 4. 下面是某中学初二的同学为自己班设计的几个班徽，是轴对称的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，第二个和第三个图形为轴对称图形 故选：B 5. 下列运算正确的是（　　） A. x8÷x4＝x4 B. （a+1）2＝a2+a+1 C. 3（a3）2＝6a6 D. x3•x2＝x6 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂除法、乘法、完全平方公式、幂的乘方等法则进行计算即可． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减，故A正确． B、完全平方公式为两数的平方和与两数之积的2倍的和或差，本选项两数之积少了2倍关系，故B错． C、系数3不用平方也不用与指数2相乘，故C错． D、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，不是相乘，故D错． 故选：A． 【点睛】此题主要考查幂与整式乘法的运算，解题的关键是熟知其运算公式的运用． 6. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率事件的定义理解逐一判断即可． 【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确 B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误 C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误 D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误 故答案选A 【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键． 7. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可． 【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： 第一次 第二次 开始 ∴两次都是红球． 故选D． 【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，所得的抛物线的表达式为， 再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为， 故选C． 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∴． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲行驶的函数关系式为，把代入， 求得，设乙行驶的解析式为，把，代入，求得，解方程组，得到，得到相遇时间为，乙行驶时间为．解答即可． 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组等，解决问题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系． 【详解】设甲行驶的函数关系式为， 把代入，得，解得 故解析式为， 设乙行驶的解析式为， 把，代入，， 解得， 故乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故相遇时间为，此时乙行驶时间为． 故选C． 二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 13. 如图，，，的角平分线交于点，则的度数为__________. 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质求得，再根据角平分线的定义求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，点A的坐标，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，反比例函数经过点C，则k的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质，由A的坐标，，可知，，过点作轴，则，可证，利用其性质得，即可求解．熟练掌握旋转的性质，灵活运用反比例函数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵A的坐标，，则， ∴， 过点作轴，则， 由旋转可知，，， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 三.解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数运算和分式化简，解题关键是熟练掌握相关运算法则和方法； （1）先求绝对值、0指数和三角函数值，再计算即可； （2）先通分计算括号内的，再进行分式除法运算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ． 17. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5． 【解析】 详解】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可． 试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100． 答：甲礼品100元，乙礼品60元； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5． 答：最多可购买5个甲礼品． 考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 19. 服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示． （1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝（2）批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数； （2）根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值． 【详解】（1）当10≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ，得， ∴当10≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+105， 当x＞50时，y＝80， 即y与x的函数关系式为：y＝； （2）由题意可得， w＝（﹣0.5x+105﹣65）x＝﹣0.5x2+40x＝﹣0.5（x﹣40）2+800， ∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝800，y＝﹣0.5×40+105＝85， 答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用，解题关键是通过对实际问题的分析，抽象出数学模型，建立一个分段函数并求解. 20. 为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺（约），胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸． 如图，为桌面，某同学眼睛看作业本的俯角为为身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离． （1）通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求； （2）为确保符合要求，需将作业本沿方向移动．当眼睛看作业本的俯角为时，求作业本移动的距离．（，． 结果精确到0.1） 【答案】（1）不符合要求 （2）作业本移动的距离约为 【解析】 【分析】（1）依题意，，在中，求得的长，比较大小，即可求解． （2）依题意，移动后，，在中，求得的长，与在（1）中求得，求差即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，依题意，， 在中，， ∴， ∵ ∴这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求； 【小问2详解】 依题意，移动后，， 在中， ∴ ∴ 答：作业本移动的距离约为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键． 21. 如图，已知在中， （1）已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA． （3）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作∠CAB的平分线与BC的交点即为圆心O，然后以点O为圆心，以OC的长为半径作圆O即可； （2）连接OD，CD，只要证得Rt△AOC≌Rt△AOD（HL），利用等腰三角形的三线合一的性质证得OA⊥CD，然后利用CE是圆O的直径，证得CD⊥DE，即可证得DE∥OA； （3）圆O的半径为R，则OC=OD=R，利用，表示出，然后证得△BOD∽△BAC，利用相似三角形的性质得到，解得，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 连接OD，CD， ∵AB是圆O的切线， ∴OD⊥AB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADO=90°， 又∵OC=OD，AC=AC， ∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL） ∴AC=AD，∠CAO=∠DAO， ∴OA⊥CD， ∵CE是圆O的直径， ∴∠CDE=90°， 即CD⊥DE， ∴DE∥OA； 【小问3详解】 设圆O的半径为R，则OC=OD=R ∵DE∥OA， ∴∠DEO=∠AOC， ∵， ∴， ∴， ∵∠ACB=∠ADO=90°，∠B=∠B， ∴△BOD∽△BAC， ∴， 即， 解得， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（不合题意，舍去） ∴的半径为3． 【点睛】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、直径所对的圆周角是90°、平行线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正切等，根据题意作出图形和辅助线是解题的关键． 22. 实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． 当点P与点A重合时， ；当点E与点A重合时， ； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90，45；（2）时的菱形EPFD的边长为；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，，当点与点重合时，此时； （2）当点在上，点在上时，是的中垂线，，四边形是矩形，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，设菱形的边长为x，则，由勾股定理得：，进而求得； （3）情况一：，设，则，则，求得；情况二，，设，则，则，求得． 【详解】（1）解；当点与点重合时，如图1， ∴是的中垂线， ∴， 当点与点重合时，如图2， 此时， 故答案为：90，45； （2）解；当点上，点在上时，如图3， ∵是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， 当时，设菱形的边长为， 则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴时的菱形的边长为：； （3）解；存在， 情况一：如图4，连接， ∵，，， ∴， 设，则，则， ∵， ∴， ∴， 解得：； 情况二，如图5，令交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，则， 则， ∴， 解得：， 综上，线段的长为：或． 23. 对某一个函数给出如下定义，当自变量满足（，实数，）时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数． （1）当，时，在①；②中，__________理想函数： （2）当时，反比例函数是理想函数，求实数的值； （3）已知二次函数是理想函数，且最大值为，将该函数图像向左平移个单位长度所得图像记为，若图像的顶点为，与轴交于、（点在左侧），与轴交于点，求点、、、围成的四边形面积． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由当，时，可得，，再根据一次函数的性质分别求出函数的最大值，判断是等于6即可； （2）由时，，可得，根据、、时反比例函数的增减性求得y的最大值，再利用y的最大值为列等式求解即可； （3）由最大值为最大值为，可得，即，再由，可得，从而可得，对称轴为直线，当，即，不符合题意，当，即时，，即时，则当时，y取最大值，，解得：，从而求得图像C：，求出点A、B、E、D的坐标，即可求出结果． 【小问1详解】 解：当，时，，， ①在函数图像中，y随x的增大而增大， 当时，y的最大值为：， ②在函数图像中，y随x的增大而减小， 当时，y的最大值为：， ∴是理想函数， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：当时，， ∴，即， 当时，，在反比例函数的图像中，y随x的增大减小， 则当时，y的最大值为：， ∴，即，解得：， 当时，，在反比例函数的图像中，y随x的增大而增大， 则当时，y的最大值为：， ∴，即，此方程无根， 当时，，函数y没有最大值，不符合题意， ∴； 【小问3详解】 解：∵最大值为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 此时， ∴对称轴为直线， 当，即， ∴当时，时，y的最大值为：， ∴，解得：， ∵， ∴（舍）， 当，即， ①若，即时，则当时，y取最大值， ∴，解得：， ∵， ∴， ②，即时，则当时，y取最大值， ∴， 解得：（舍去） ∴，此时图像C：， ∴， 当时，，当时，，解得：，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查新定义、勾股定理及逆定理、切线的性质定理、二次函数顶点式、一次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $