精品解析：2024年四川省内江市第一中学中考三模数学试题

内江一中初2024届三模数学试卷 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 据统计，某城市去年接待旅游人数约为76000000人，76000000这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 1500名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶9 8. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则图中等于（ ）． A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（ ）． A. B. C. 8 D. 7 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 因式分解： _______． 14. 函数中，自变量x的取值范围为___________． 15. 如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ________． 三、解答题（本大题共5小题，共44分） 17. （1）计算 （2）先化简，再求值：，其中且x为整数． 18. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接． （1）求证：． （2）当，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 19. 某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，该校进行了环保知识竞赛，竞赛结束后，教务处随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： （1）条形统计图中，________，扇形统计图中，________．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组所对应的圆心角是_______度． （3）该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁4名学生中随机选取2名参加市上的比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 20. 清风阁（如图1）位于合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年，弘扬包公精神，宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图2，为了测量清风阁的高度（），菲菲站在清风阁附近的水平地面上的点C处，利用无人机进行测量，但由于周边树木遮挡，无法操控无人机直接飞到阁顶A处进行测量，因此她先控制无人机从点C与地面成向远离清风阁的方向匀速飞行5秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达阁顶A（A，B，O，C在同一平面内），已知无人机的速度为6米/秒，，求清风阁AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：，）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 若，则________． 23. 设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为_______． 25. 如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为______． 二、解答题（本大题共3小题，共36分） 26. 为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． （1）求的值； （2）商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件． ①求销售完这两种饰品的最大利润； ②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）过点D作，垂足为E，交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． （1）求此抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． （3）连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中初2024届三模数学试卷 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 据统计，某城市去年接待旅游人数约为76000000人，76000000这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图，即可解答．熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该立体图形的主视图为：   故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的加法和乘除法，积的乘方，幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂的加法和乘除法，积的乘方，幂的乘方等计算法则求解即可． 【详解】、，计算错误，该选项不符合题意． 、，计算错误，该选项不符合题意． 、，计算正确，该选项符合题意． 、，计算错误，该选项不符合题意． 故选． 6. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 1500名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．以上调查属于抽样调查，原说法错误，故A不符合题意； B．样本容量是300，说法正确，故B符合题意； C．1500名学生的视力情况是总体，原说法错误，故C不符合题意； D．每名学生的视力情况是一个个体，原说法错误，故D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的周长之比为， ， ， 故选：B． 8. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则图中等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，由对顶角相等得到，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，取舍得出的值即可，正确计算、根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， ∴， ∴； ∵是一元二次方程， ∴， ∴． 综上，的值是， 故选：B． 10. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大， 又∵点 ∴点A在第二象限内，点B、点C在第四象限内， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：C 11. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设车辆， 依题意得：． 故选：D． 12. 如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（ ）． A. B. C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查矩形的折叠问题、相似三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键．连接，先求出，再证明平分，证明，则，代入数值即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为矩形， ，，， 为中点， ， 由翻折知，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 14. 函数中，自变量x的取值范围为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】解：由题意得，， 解得，且， 故答案为：且． 15. 如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的内接四边形的性质，先求解正六边形的内角，再利用圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵P为上的一点（点P不与点A，B重合）， ∴， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键． 连接，作轴于，根据三角形中线平分面积求出的面积，再求证出是等边三角形，再利用反比例函数k的几何意义求出即可． 【详解】解：连接，作轴于， 的面积是2，， 的面积为1， ，， ， ， ， ， ∵， 为等边三角形， ， ， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共5小题，共44分） 17. （1）计算 （2）先化简，再求值：，其中且x为整数． 【答案】（1）3；（2），当时，原式 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值化简解答即可． （2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后从所给数中选一个使分式有意义的数代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，熟练掌握相关公式，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 18. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接． （1）求证：． （2）当，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴． （2）当，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定： （1）由平行四边形的性质得到，进而得到，据此利用即可证明． （2）根据（1）所求可得，则四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 19. 某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，该校进行了环保知识竞赛，竞赛结束后，教务处随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： （1）条形统计图中，________，扇形统计图中，________．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组所对应的圆心角是_______度． （3）该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁4名学生中随机选取2名参加市上的比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 【答案】（1），， 补全统计图如下： ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）先用C组的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出m、n，最后求出E组的人数进而补全统计图即可； （2）由乘以A组占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙2名学生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴此次一共调查了400人， ∴，， ∴； E组的人数为人， 【小问2详解】 解：； ∴在扇形统计图中，A组所对应的圆心角是； 【小问3详解】 解：分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙2名学生的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙2名学生的概率为． 20. 清风阁（如图1）位于合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年，弘扬包公精神，宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图2，为了测量清风阁的高度（），菲菲站在清风阁附近的水平地面上的点C处，利用无人机进行测量，但由于周边树木遮挡，无法操控无人机直接飞到阁顶A处进行测量，因此她先控制无人机从点C与地面成向远离清风阁的方向匀速飞行5秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达阁顶A（A，B，O，C在同一平面内），已知无人机的速度为6米/秒，，求清风阁AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：，）． 【答案】42米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点O作，交BC的延长线于点D，过点O作，垂足为E．根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E． 由题意得：（米），（米），，， ∴， ∵， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：清风阁的高度约为42米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移； （1）由正比例函数解析式确定，然后把A点坐标代入中求出得到反比例函数解析式； （2）根据，，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数下方所对应的自变量的范围，即可求解； （3）设平移后的直线与轴交于点，连接，，则的面积与的面积相等，进而求得,设平移后的直线的函数表达式为，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，， ， 的面积与的面积相等， 的面积为30， ，即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的加减运算，根据二次根式有意义的条件正确求出x的值是解题的关键；根据二次根式有意义的条件可得，解得x，进而可求出y，最后代入求值即可； 【详解】解：由题意知：，解得：， ， ， 故答案为：． 23. 设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解，再根据判别式选取符合要求的值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的两个实数根，， ， ， ， ， 或， 当时，方程，， 此时，方程无解，不符合题意，舍去， 当时，方程，， 此时，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． 25. 如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点．利用相似三角形的性质求出，设，则，，，求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接，则，由，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如图1中， 作点关于轴的对称点，连接， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、解答题（本大题共3小题，共36分） 26. 为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． （1）求的值； （2）商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件． ①求销售完这两种饰品的最大利润； ②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】（1）a的值为100 （2）①销售完这两种饰品的最大利润为41000元；②m的最大值为40 【解析】 【分析】（1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论； ②设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴a的值为100； 【小问2详解】 解：①设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元， 由题意得：， 其中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值y， 答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元； ②设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元， 由题意得：， ∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y的最小值， 解得：， ∴m的最大值为40． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）过点D作，垂足为E，交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） ①证明：如图，过点D作于点M，则， ， ， ， （对顶角相等）， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ； ②24 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质， （1）连接，由半径相等得到，由此推出，即可推出是的切线； （2）①过点D作于点M，则，证明，推出，根据推出，证得是等腰三角形，由三线合一得到，即可证得结论； ②由，得到，求出，由此得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：， ， ， ， ， ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． （1）求此抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． （3）连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线为：； （2） （3）点的坐标为：）或． 【解析】 【分析】（1）由题意设抛物线为，再进一步解答即可； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； 【小问3详解】 解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时， ∴，即； 当时， ∴， 即 ∴点的坐标为：）或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $