精品解析：2024年山东省菏泽市鲁西新区中考三模数学试题

九年级阶段性学业水平考试检测（三） 数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达立方米，则n的值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（　　） A. 俯视图不变，左视图不变 B. 主视图改变，左视图改变 C. 俯视图不变，主视图不变 D. 主视图改变，俯视图改变 4. 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 5. 中国民间剪纸艺术是映出我国民间广大民众最基本的心理特征和审美情趣、价值观念的民俗文化之一．下列精美的剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 7. 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在，上．已知消防车道宽，，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 9. 济南市体质健康测试的技能测试要求学生从篮球、足球、排球、游泳四个项目中自选一项．两名同学选择相同项目的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（ ） A. B. C. －1 D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 12. 已知是方程 的一个解，则另一个解为 __________ 13. 如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m2，则地面上的阴影面积是________ m2 ． 14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入、的值分别为12、8，那么输出的值为______． 15. 为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标表示学生的期中考试成绩，直线上动点N的纵坐标表示学生的期末考试成绩，线段与直线的交点为P，则点P的纵坐标就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分：②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是__________．（填写序号） 16. 在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程组： （2）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 18. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 （1）若学校恰好用完预计进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？ （2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？ 19. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 21. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ，，，，， 随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ； （2） ，并补全图中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 22. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结． （1）求抛物线的解析式； （2）当为直角三角形时，求线段的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）【初步探究】如图2，当时，则_____； （2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； （3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． （4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性学业水平考试检测（三） 数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是； 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 2. 研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达立方米，则n的值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数且为小数点向左或右移动的位数是解题的关键． 将将数据表示成形式为的形式，n为且为小数点向左移动的位数，据此即可解答． 【详解】解：，即． 故选D． 3. 如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（　　） A. 俯视图不变，左视图不变 B. 主视图改变，左视图改变 C. 俯视图不变，主视图不变 D. 主视图改变，俯视图改变 【答案】A 【解析】 【分析】结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化. 【详解】将正方体①移走后， 新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图发生了改变， 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键． 4. 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G， ∵EF⊥平面镜， ∴CD//EF， ∴∠CDH＝∠EFH＝α， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC＝∠CDH＝α， ∴∠AGC＝α， ∵∠AGCAGB60°＝30°， ∴α＝30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB． 5. 中国民间剪纸艺术是映出我国民间广大民众最基本的心理特征和审美情趣、价值观念的民俗文化之一．下列精美的剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 6. 如图，，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 7. 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在，上．已知消防车道宽，，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据弧长公式，计算后作差计算即可，本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】设， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 故选B． 8. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∴与的面积相等， ∵矩形的面积是k、而、的面积为定值1，则四边形的面积只与k有关， ∴四边形的面积不会发生变化， 故选：C． 9. 济南市体质健康测试的技能测试要求学生从篮球、足球、排球、游泳四个项目中自选一项．两名同学选择相同项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及两名同学选择相同项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将篮球、足球、排球、游泳四个项目分别记为，，，， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两名同学选择相同项目的结果有4种， 两名同学选择相同项目的概率为． 故选：D 10. 定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（ ） A. B. C. －1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式，根据定义表示，并根据二次函数的性质确定最小值是解题的关键 根据定义表示出曼距，当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，求解即可． 【详解】由题意得：设，， ∴， 当A、B两点横坐标相等时，取得最小值， ∴， ∵曼距的最小值为1； ∴， 解得：或， ∵抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：， 因此， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 12. 已知是方程 的一个解，则另一个解为 __________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程，将代入方程中求得m值，进而解方程即可． 【详解】解：∵是方程 的一个解， ∴，则， ∴方程为，即， 解得，， 故答案为：3． 13. 如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m2，则地面上的阴影面积是________ m2 ． 【答案】2.7 【解析】 【详解】分析：本题考查的是相似三角形的性质和判定. 解析：本题的主试图为下图，根据题意得，因为DE∥BC,∴ AG=2.4m,FG=0.8m,∴AF=1.6m,所以 圆桌的面积与它的阴影的面积比为4：9，∵桌面的面积是1.2m²，∴地面上的阴影面积是2.7 m². 故答案为2.7 m². 定睛：本题的关键是把圆桌的和他的阴影面积的比转化为它的主视图的相似比，这个关键问题解决了，就可以根据相似三角形的性质得出结论. 14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入、的值分别为12、8，那么输出的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用已知运算程序即可得出答案． 【详解】解：如图所示：第一次输入：，则； 第二次输入：，则； 第三次输入：；此时a=b，故答案为4． 【点睛】此题主要考查了代数式求值，正确理解计算程序是解题关键． 15. 为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标表示学生的期中考试成绩，直线上动点N的纵坐标表示学生的期末考试成绩，线段与直线的交点为P，则点P的纵坐标就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分：②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是__________．（填写序号） 【答案】② 【解析】 【分析】①通过待定系数法求得函数关系式进而求解说明即可； ②根据题意在坐标系中画出对应的图象即可判断； ③可以通过举①的例子求解说明即可． 【详解】解：如图所示： ①中，与的交点大于75，故错误； ②中，乙与的交点大于甲与的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，故正确； ③中，假设某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，图象如图所示的①， 设①的函数关系式为， 将（0，70）和（10，80）代入，得： ， 解得：， ∴， 当时，， ∴该学生的总评成绩为76分， 若期中成绩占学期总评成绩的60%，则该学生的总评成绩为70×60%＋80×（1－60%）＝74（分）， ∵76≠74， ∴③错误； 故答案为：②． 【点睛】此题主要考查图象的坐标，画出相应的直线确定交点，即可解，也考查了用待定系数法求一次函数关系式． 16. 在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程组： （2）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，代数式求值； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，进而将分式化简，即可求解． 【详解】解：（1） ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解之，得， 原方程组的解是； （2）关于的方程有两个相等的实数根， . 原式. 18. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 （1）若学校恰好用完预计进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？ （2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？ 【答案】（1）黑色文化衫60件，白色文化衫80件；（2）购进黑色文化衫105件，白色文化衫35件时获得利润最大，最大利润为1995元． 【解析】 【分析】 （1）根据表格中提供的信息及等量关系列二元一次方程组即可求解；（2）设获得的利润为W元，购买黑色文化衫x件，可得到W关于x的函数关系式，从而求出W的最大值． 【详解】解：（1）设购买黑色文化衫x件，白色文化衫y件． 根据题意，得， ， 解得，． 答：应购进黑色文化衫60件，白色文化衫80件． （2）设获得利润W元，购买黑色文化衫x件，则购买白色文化衫（140-x）件． ∴W=(25−10)x+(20−8)(140−x)=3x+1680． ∴W是关于x的一次函数，且W随x的增大而增大． ∵黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍， ∴x≤3(140−x)． 解得x≤105． ∴当x=105时，W取得最大值． 此时，W==1995，140−x=35． 答：当购进黑色文化衫105件，白色文化衫35件时获得利润最大，最大利润为1995元． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题和利用一次函数求最值等知识点．列方程组解应用题的关键是从题目的叙述中找到关于已知量和未知量之间的等量关系；利用函数求最值的关键是判断函数在某个区间上的增减性． 19. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，灵活运用锐角三角函数解决问题是解题的关键． （1）由锐角三角函数可求的长； （2）由锐角三角函数可求，的长，即可求解； 【小问1详解】 解：如图3，在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图2，在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳篷的长为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）反比例函数表达式为：，一次函数表达式为 （2） （3）点坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质． （1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）分四边形和为平行四边形，两种情况讨论，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：； 【小问3详解】 解：存在 ∵， ∴直线的解析式为：， ∵过点作平行于x轴，交于点D， ∴， ∴， 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴点坐标为， 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴点坐标为． 综上，点坐标为或． 21. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ，，，，， 随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ； （2） ，并补全图中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2），补全如图所示 （3） （4）乙将获得“环保之星”称号 【解析】 【分析】（）直接即可； （）根据“”组即可； （）根据中位数的概念即可； （）根据的权重分别计算即可； 本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 “组”所对应的扇形的圆心角是:， 故答案为：； 【小问2详解】 ，并补全频数分布直方图如图， 故答案为：； 【小问3详解】 由（）得：，即抽取名学生， 即中位数排在第，位的平均数，为， 故答案为：； 【小问4详解】 甲：， 乙：， ∵， ∴乙将获得“环保之星”称号． 22. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结． （1）求抛物线的解析式； （2）当为直角三角形时，求线段的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在， 【解析】 【分析】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用分类讨论的方法分两种情况点为直角顶点，点为直角顶点讨论解答，设，则点，用的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； （3）在抛物线上存在点，使得，延长交轴于点，利用∽求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于和， ， 解得：． 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 令，则， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． 点为线段上一点， 设，则点， ． ，， ． ． ∵轴， ， 点不可能是直角的顶点． ①当点为直角的顶点时，设交轴于点， ，， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 解得：或不合题意，舍去． ． ． ②当点为直角顶点时，此时边在轴上，点与点重合， ． ． 综上，当为直角三角形时，线段的长度为． 【小问3详解】 在抛物线上存在点，使得，理由： ， ． ． ． 延长交轴于点，如图， 由知：， ． ， ． ． ， ∽． ． ． ． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． ， 解得：，． 点的坐标为． 24. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）【初步探究】如图2，当时，则_____； （2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； （3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． （4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）仍然成立，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知； （2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出； （3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出； （4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出． 【小问1详解】 等腰直角三角形和等腰直角三角形， ， 故答案为： 【小问2详解】 在与中， 又 重合， 故答案为： 【小问3详解】 同（2）可得 ， 过点，作，交于点， 则， ， 在与中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， 即， 【小问4详解】 过点作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 中，， ， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $