精品解析：四川省达州市万源市万源中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

万源中学高2025届高二（下）期中考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有一组样本数据 4， 7， 2， 6， 5， 9， 10，13，则样本中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把数据从小到大排序，一共8个数，则中位数是第4个数与第5个数的和的平均数. 【详解】把数据从小到大排序：2，4，5，6，7，9，10，13.根据中位数的定义得： 故选：C 2. 若复数为纯虚数，则复数在复平面对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由复数的几何意义求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得：， 所以，则， 复数在复平面对应的点为，在第二象限. 故选：B. 3. “”是直线和圆相交的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若，则函数的两个零点分别位于区间 A. 和内 B. 和内 C. 和内 D. 和内 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点. 考点：零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件. 5. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，现在盘子中装有15个粽子，其中豆沙馅6个，蛋黄馅4个，火腿馅5个，这些粽子外观完全相同.现从中任意取4个粽子，则每种馅的粽子都有的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由组合数分别计算出基本事件总数与符合要求的基本事件个数，然后结合概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，基本事件总数为， 每种馅的粽子都有分三种情况， 第一种情况为所取的4个粽子中豆沙馅，蛋黄馅，火腿馅分别为1个，1个，2个，则， 第二种情况为所取的4个粽子中豆沙馅，蛋黄馅，火腿馅分别为1个，2个，1个，则， 第三种情况为所取的4个粽子中豆沙馅，蛋黄馅，火腿馅分别为2个，1个，1个，则， 所以符合要求的基本事件个数为， 则所求概率为. 故选：C 6. 记的内角的对边分别是已知，则角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，整理得，而， 因此，而，所以. 故选：B 7. 有5名大四学生报名参加公开招聘考试，总共有三个岗位，每人限报一个岗位，若这三个岗位都至少有1人报考，则这5名大四学生不同的报考方法总数有（ ） A. 144 B. 150 C. 196 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】分有两个岗位各有2名同学报考，一个岗位有1名学生报考和有两个岗位各有1名学生报考，一个岗位有3名学生报考两种情况进行讨论，进而结合部分分组问题即可求出结果. 【详解】若有两个岗位各有2名学生报考，一个岗位有1名学生报考，则有种报考方法． 若有两个岗位各有1名学生报考，一个岗位有3名学生报考，则有种报考方法． 所以总共有种报考方法， 故选：B． 8. 在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列的前项和为，即可求出. 【详解】因为任意有， 所以，，，……，， 上式累乘可得：， 因为，所以， 设数列的前项和为， ， ， ， 两式相减可得：， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得零分. 9. 设随机变量，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的期望 D. 的期望 【答案】AC 【解析】 【分析】因为X服从二项分布，A,B选项代入即可判断；C选项代入期望公式即可判断，D选项利用二项分布期望的性质即可. 【详解】,故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ,故D错误； 故选：AC 10. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的通项公式和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】在等差数列中，由为， 可得， 所以，可得 又由，所以A正确，B正确； 由，所以，所以C错误； 由且，可得当时，；当时，， 所以，当时，取最大值，所以D正确. 故选：ABD. 11. 设正整数，其中，记，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B选项，直接用已知条件展开5,4,8，分别可以得到对应，即可直接求出值；对C选项，举反例即可；对于D选项，巧妙的利用替换“”中的“n”，然后进行配凑，可以得到与的关系，从而得解. 【详解】对于A选项，，则，故A错误； 对于B选项，, ，所以，故B正确； 对于C选项，令，由A知，，易知，， 所以，故C错误； 对于D选项， 所以， 所以， 所以，故D正确， 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的解决关键是，利用替换“”中的“n”，然后进行配凑，可以得到分别与的关系，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 【答案】160 【解析】 【分析】由题意利用二项式定理可得解. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：160. 13. 某人到一单位应聘，第一轮笔试有三道题目，至少做对两道才能进入第二轮，若此人每个题答对的概率都为，则他能够进入第二轮的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式与组合的知识即可得解. 【详解】设他能够进入第二轮为事件， 则. 故答案为：. 14. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数零点的定义，结合单调性可得，构造函数，求出直线与函数的图象有两个公共点的范围. 【详解】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到关于和的方程组，求出和即可求解； （2）根据等差数列和等比数列的求和公式进行分组求和即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，且， 因为，且、、成等比数列， 所以，解得：， 则， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 已知函数，的图象在处的切线交轴于点. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1）6 （2）的极大值为；极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，以及切点，然后写出切线方程，再将点代入可求； （2）由（1）得到函数解析式，求极值步骤：①求导，②求导函数零点，③列表，④下结论即可求得极值. 【小问1详解】 ，所以，即切线斜率为2， 又，所以切点坐标为 的图象在处的切线方程为：， 代入点，得； 【小问2详解】 由（1）得， ， 令，得或 当变化时，变化情况如下表： 2 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，时，取得极大值，极大值为； 时，取得极小值，极小值为. 17. 如图，已知四棱锥中，平面，，. （1）求证：平面平面； （2）若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长度. 【答案】（1）证明：取BC中点为E，连接AE. 平面ABCD，平面ABCD ，， ， 且，四边形ADCE为正方形 ，， ，又，平面， 平面SAB，又平面SAC，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取BC中点为E，利用线面垂直的性质和勾股定理的逆定理得到线线垂直，再根据面面垂直的判定即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，再求出相关向量和法向量，再利用面面角的向量求法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，建立如图所示空间直角坐标系， 由已知，得， 则 设平面SCD的法向量为， 由得，令，得， 取平面SAB的法向量为， 则，解得， 即线段的长度. 18. 甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人. （1）当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望； （2）求第次传球后球恰好在甲手上的概率. 【答案】（1） 0 1 2 ； （2） 【解析】 【分析】(1) 列举出经3 次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算球在乙手上次数的概率，列出分布列，并求出数学期望即可. (2) 记 表示 次传球后球在甲手中的事件， ，利用相互独立事件概率及条件概率探求 与 的关系，再借助数列求解作答. 【小问1详解】 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为: 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲， 甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能， 记球在乙手上次数为，则可能为：0，1，2； ；；； 的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问2详解】 n次传球后球恰好在甲手中的事件记为 , 则有 ， 令 ，则 ， 于是得 ， 因此， ，则 ， 而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即 ， 则有 , 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， , 整理得 ， 所以 次传球后球在甲手中的概率是 . 19. 已知椭圆的短轴长为2，点，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）不过右焦点的直线与以短轴为直径的圆相切，且与椭圆交于两点，直线与轴交点记为. （ⅰ）若，证明：为定值； （ⅱ）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明： ， ， 由，得，故， 为定值4. （ii）8 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）（ⅰ）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式以及椭圆的定义，即可证明；（ⅱ）表示出三角形的周长，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知，得，得故椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 设， 原点到直线的距离，即， 由得，， ，， ， ， ，同理， (i)略 （ii）由，得，由（i） 的周长为， ，当且仅当时取“”， 当时，的周长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万源中学高2025届高二（下）期中考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有一组样本数据 4， 7， 2， 6， 5， 9， 10，13，则样本中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 2. 若复数为纯虚数，则复数在复平面对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是直线和圆相交的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则函数的两个零点分别位于区间 A. 和内 B. 和内 C. 和内 D. 和内 5. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，现在盘子中装有15个粽子，其中豆沙馅6个，蛋黄馅4个，火腿馅5个，这些粽子外观完全相同.现从中任意取4个粽子，则每种馅的粽子都有的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别是已知，则角为（ ） A. B. C. D. 7. 有5名大四学生报名参加公开招聘考试，总共有三个岗位，每人限报一个岗位，若这三个岗位都至少有1人报考，则这5名大四学生不同的报考方法总数有（ ） A. 144 B. 150 C. 196 D. 256 8. 在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得零分. 9. 设随机变量，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的期望 D. 的期望 10. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 11. 设正整数，其中，记，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 13. 某人到一单位应聘，第一轮笔试有三道题目，至少做对两道才能进入第二轮，若此人每个题答对的概率都为，则他能够进入第二轮的概率为____________. 14. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数，的图象在处的切线交轴于点. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 17. 如图，已知四棱锥中，平面，，. （1）求证：平面平面； （2）若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长度. 18. 甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人. （1）当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望； （2）求第次传球后球恰好在甲手上的概率. 19. 已知椭圆的短轴长为2，点，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）不过右焦点的直线与以短轴为直径的圆相切，且与椭圆交于两点，直线与轴交点记为. （ⅰ）若，证明：为定值； （ⅱ）若，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $