精品解析：2024年江苏省镇江市丹阳市中考二模数学试题

初中结业学科水平测试模拟评价 九年级数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1. 的倒数是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查倒数．乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案． 【详解】解：的倒数是2024， 故答案为：2024． 2. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 3. 分解因式：a2-4a+4=___ 【答案】（a-2）2． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2． 故答案为：（a-2）2． 4. 一副三角板如图放置，，，，则______°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，而，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 故答案为：75． 5. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4， 布袋中红球的个数大约是（个； 故答案为：16． 6. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．如图，连接，证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7. 一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是__________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【详解】解：扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 8. 抛物线与轴只有一个交点，则满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用二次函数图象与x轴的交点问题的解决方法是解决本题的关键． 9. 已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是_______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ， ，即， 故答案：． 10. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆（半径为r）的内接正八边形的面积来估计这个圆的面积，则估计值比圆的实际面积少________（用含r的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆．根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知正八边形内接于， 正八边形内接于， ， 在中，，， ， ， 这个估计值比圆的实际面积少． 故答案为：． 11. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化旋转．根据题意画出示意图，结合所画图形对顺时针旋转和逆时针旋转进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：将代入一次函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以点的坐标为． 当点绕点逆时针旋转时，如图所示， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 在中， ， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以点和点关于轴对称， 所以点的纵坐标为． 当点绕点顺时针旋转时，如图所示， 在中， ， 由旋转可知， ，， 所以， 即轴， 所以点的纵坐标为． 综上所述，点绕点旋转后对应点的纵坐标是或． 故答案为：或． 12. 如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，可得，从而即可解答． 详解】解∶如下图：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 13. 2024年春节假期我市旅游总收入31.63亿元，同比增长．将数据3163000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据3163000000用科学记数法表示为， 故选：B． 14. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则逐项计算即可判断选择． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算正确，符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选C． 15. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，证明根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为步， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故选D 16. 如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边的中线性质、三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”．先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，， ，， ， 为中位线，， ． ，， ， ． 故选：A． 17. 取一根长为1米的绳子，拉直后在任意位置处剪断，其中一段不大于0.4米的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率公式．根据题意画出图形，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图： 如果其中一段不大于0.4米，则只要不在之间的位置剪断绳子即可，因此概率是． 故选：C． 18. 为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，则最后留下的同学编号较小的是（ ） A. 3 B. 252 C. 243 D. 498 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先分析得到经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为；由，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意第一轮剩下： ，，，，，， 第二轮剩下： ，，，， ∴经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为； ∵，即， ∴当圆圈只剩两个人时，， ∴这两个同学的编号为． 故选C． 三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及分式的运算，实数及分式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． （1）先化简二次根式，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可； （2）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程与解不等式组，熟练掌握解分式方程方法和确定不待式组解集原则是解题的关键．注意解分式方程要验根． （1）先去分母将分式方程化成整式方程求解，再检验即可求解； （2）先分别求出每一个不等式和解集，再根据“大大取大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘以，得 ， 化简整，得， ∴， 检验：把代入，得， ∴原方程的解为：． （2）， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴不等式组的解集为． 21. 每年的3月5日是学雷锋纪念日，为了弘扬雷锋精神，某校组织“三月春风暖人心，雷锋精神永传承”活动，此次活动共有4名志愿者进行活动宣传，其中七年级有两名女生志愿者，八年级和九年级各有一名男生志愿者． （1）若从这4名志愿者中随机选取一名志愿者谈谈自己的感受，则抽到___________年级学生的可能性最大； A．七 B．八 C．九 （2）现在要从这4名志愿者中随机抽取两名学生谈谈自己的感受，请你用列表或画树状图的方法求抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）分别计算出抽取到三个年级的概率即可得到答案； （2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出这2名同学恰好是一男一女的情况数，即可求出所求概率． 小问1详解】 解：∵一共有4名志愿者，每名志愿者被选取概率相同， ∴抽到七年级学生的概率为，抽到八年级学生的概率为，抽到九年级学生的概率为， ∵， ∴抽到七年级学生的可能性最大， 故答案为：A； 【小问2详解】 解：用A、B表示七年级的两名女生，用C、D分别表示八年级的男生和九年级的男生，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数有8种， ∴抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为． 22. 2023年9月18日，据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第四课定于9月21日下午15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮将面向全国青少年进行太空科普授课，3名航天员展示介绍中国空间站梦天实验舱工作生活场景，演示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验，并与地面课堂进行互动交流．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩频数分布表 成绩x（分） 频数 4 a 14 b 4 50名学生“航空航天知识”测试成绩（百分制）扇形统计图 A： B： C： D： E： 成绩在这一组的是：（单位：分） 70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中________，________．在这次测试中，成绩的中位数是________分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________． （2）这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）10，18，78.5， （2）乙的说法不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下． 【解析】 【分析】（1）根据频率频数总数，即可求出的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出的值，根据中位数的定义求出中位数，用成绩不低于80分的人数除以被测试的人数； （2）根据平均数、中位数的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：， ， 将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是78.5， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为； 故答案为：10，18，78.5，； 【小问2详解】 略 23. 如图，平行四边形中，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）连接，当与满足条件________时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，，由、分别是、的中点，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，，由、分别是、的中点，得到，推出四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，，，， 、分别是、的中点， ，， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：当与满足条件时，四边形是矩形． 在平行四边形中，，，， 、分别是、的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）连接、，求的面积； （3）观察图像，直接写出时x的取值范围是________． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数与方程的关系，图像法求解不等式，直角坐标系内面积求解；理解函数与方程，不等式的联系是解题的关键． （1）将已知的点坐标代入反比例函数解析式，求解参数k，将点代入反比例函数解析式，求解m，由点A，B，坐标，构建二元一次访组求解，得一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求得点D坐标，进而求得的面积； （3）把不等式化为，再求解两个函数的交点的横坐标，再结合图像求解即可． 【小问1详解】 解：的图像经过， ∴，则， ∴． ∵的图像经过点，则， ∴． 一次函数的图像经过，， ，解得 ∴ 【小问2详解】 解：∵直线， 当时，， ∴，， ∴的面积 【小问3详解】 解：∵，即， ∴， 如图， 当时， ∴， 解得：，， ∴两点横坐标分别为，， ∴的解集是或． 25. 我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m． （1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度，求点B到海面HC的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离． （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°＝，cos22°≈，tan22°≈） 【答案】（1）点B到海面HC的距离为3米． （2）点O到岸边DH的距离为4.58米． 【解析】 【分析】(1)过点B作BFCH，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE、AE，再用BE+EF求出BH． (2)过点B作BNOH，垂足为N，延长AD交BN于点M，构建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【小问1详解】 解：过点B作BFCH，垂足为F，延长AD交BF于点E， 则AE⊥BF，垂足于E， 由cos∠BAE=， ∴cos22°=， ∴，即AE=4.5， ∴DE=AE-AD=4.5-0.4=4.1， 由sin∠BAE=， ∴sin22°=， ∴=，即BE=1.8， ∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3． 答：点B到海面HC的距离为3米． 【小问2详解】 解：过点B作BNOH，垂足为N，延长AD交BN于点M， 则AM⊥BN，垂足为M． 由cos∠BAM=, ∴cos53°=， ∴， 即AM=2.88， ∴DM=AM-AD=2.88-0.4=2.48, 由sin∠BAM= , ∴sin53°=， ∴, 即BM=3.84， ∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04, ∴ON==2.1， ∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58, 答：点O到岸边DH的距离为4.58米． 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解决关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度。 26. 如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，． （1）求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹） （2）延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________； （3）若，，求的长． 【答案】（1）画图见解析 （2）①②③ （3） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线垂足为E，连接，利用直角三角形斜边的中线性质可得点E即为所求； （2）①正确，利用全等三角形的性质证明即可；②正确，利用三角形中位线定理证明；③正确，根据线段的垂直平分线的判定判断即可；④错误，根据等边三角形的定义判断即可； （3）过点D作于点H．首先证明，求出，，，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求； ； 由作图可得：， 而为的直径， ∴， ∴． 【小问2详解】 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线，故①正确； 由作图可知，， ∴，故②正确； ∵，， ∴垂直平分线段，故③正确； ∵不一定是， ∴无法判断是等边三角形，故④错误． 故答案：①②③； 【小问3详解】 解：过点D作于点H． ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线性质、解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27. 丁字尺（T-square），又称T型尺，为一端有横档的“丁”字形直尺，由互相垂直的尺头和尺身构成，常在工程设计上绘制图纸时配合绘图板使用．在一节数学实验课上，同学们将如图1中的“T型尺”（其中于点O）放置在矩形上，摆放“T型尺”时，点O在线段上，直线与边交于点E，与直线相交于点F，射线与直线交于点G．已知，，E在上且． 【初步认识】 （1）在图2中画出当“T型尺”的点O与点A重合时的图形，此时线段的长为：________． （2）在图3中画出当“T型尺”的刚好过点B时的图形，求此时线段的长； 【深入思考】 （3）如图4，求的值． 【答案】（1）；（2）线段的长为或；（3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，据此求解即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，求得，进而勾股定理，分类讨论求得的长； （3）由得，进而根据求得，设，则，过点作，则，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）如图2， ∵矩形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图3， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，当点G与点B重合时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，整理得， 解得， ∴或， 当时，， 中，， 当时，， 中，， 当点G与点B重合时，线段OG的长为或； （3）如图4， 设， ∴， ， ， ， 即， ， ， 设，则， 过点作，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中结业学科水平测试模拟评价 九年级数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1. 的倒数是________． 2. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 3. 分解因式：a2-4a+4=___ 4. 一副三角板如图放置，，，，则______°． 5. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______． 6. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则______°． 7. 一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是__________cm． 8. 抛物线与轴只有一个交点，则满足的条件是__________． 9. 已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是_______．（用“<”连接） 10. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆（半径为r）的内接正八边形的面积来估计这个圆的面积，则估计值比圆的实际面积少________（用含r的代数式表示） 11. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是________． 12. 如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于________． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 13. 2024年春节假期我市旅游总收入31.63亿元，同比增长．将数据3163000000用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 14. 下列运算中，结果正确的是（ ） A B. C. D. 15. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 16. 如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 取一根长为1米的绳子，拉直后在任意位置处剪断，其中一段不大于0.4米的概率是（ ） A. B. C. D. 1 18. 为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，则最后留下的同学编号较小的是（ ） A. 3 B. 252 C. 243 D. 498 三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 每年的3月5日是学雷锋纪念日，为了弘扬雷锋精神，某校组织“三月春风暖人心，雷锋精神永传承”活动，此次活动共有4名志愿者进行活动宣传，其中七年级有两名女生志愿者，八年级和九年级各有一名男生志愿者． （1）若从这4名志愿者中随机选取一名志愿者谈谈自己的感受，则抽到___________年级学生的可能性最大； A．七 B．八 C．九 （2）现在要从这4名志愿者中随机抽取两名学生谈谈自己感受，请你用列表或画树状图的方法求抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 22. 2023年9月18日，据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第四课定于9月21日下午15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮将面向全国青少年进行太空科普授课，3名航天员展示介绍中国空间站梦天实验舱工作生活场景，演示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验，并与地面课堂进行互动交流．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩频数分布表 成绩x（分） 频数 4 a 14 b 4 50名学生“航空航天知识”测试成绩（百分制）扇形统计图 A： B： C： D： E： 成绩在这一组的是：（单位：分） 70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中________，________．在这次测试中，成绩的中位数是________分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________． （2）这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 23. 如图，平行四边形中，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）连接，当与满足条件________时，四边形矩形． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）连接、，求的面积； （3）观察图像，直接写出时x的取值范围是________． 25. 我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m． （1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度，求点B到海面HC的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离． （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°＝，cos22°≈，tan22°≈） 26. 如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，． （1）求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹） （2）延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________； （3）若，，求的长． 27. 丁字尺（T-square），又称T型尺，为一端有横档的“丁”字形直尺，由互相垂直的尺头和尺身构成，常在工程设计上绘制图纸时配合绘图板使用．在一节数学实验课上，同学们将如图1中的“T型尺”（其中于点O）放置在矩形上，摆放“T型尺”时，点O在线段上，直线与边交于点E，与直线相交于点F，射线与直线交于点G．已知，，E在上且． 【初步认识】 （1）在图2中画出当“T型尺”的点O与点A重合时的图形，此时线段的长为：________． （2）在图3中画出当“T型尺”的刚好过点B时的图形，求此时线段的长； 【深入思考】 （3）如图4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $