2024年北京市各区中考二模数学试题汇编：几何综合

202405初三数学 几何综合 北京各区二模试题分类整理 2024.05北京市各区二模初三数学试题汇编： 几何综合 1、 以四边形为背景的几何综合题 （一）四边形+轴对称+旋转 1.（202405石景山二模27）在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接，. （1）如图1，若是等边三角形，则 ； （2）如图2，延长交的延长线于点，连接交于点，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 图1 图2 2.（202405房山二模27）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），连接，点 关于直线的对称点是点，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点. （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明. 二、以三角形为背景的几何综合题 （一）三角形+旋转+轴对称 3.（202405西城二模27） 4.（202405丰台二模27）如图，等边△ABC中，过点A在AB的右侧作射线AP，设∠BAP=α（60°<α<90°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，CE，且BE，CE分别交射线AP于点D，F．    （1）依题意补全图形； （2）求∠AFE的大小； （3）用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明． 5.（202405门头沟二模27） 27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45º,CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC， BC上，且∠CEF=∠BAC，EF， CD交于点N. （1）如图1，当点E与点A重合时，_________； （2）如图2，当点E在AC边上时， ① 依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由. 图1 图2 ∴. …………………………………………………7分 （二）三角形+旋转 6. （202405顺义二模27） 7.（202405昌平二模27）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE. 连接BE，G为BE的中点，连接AG，CD. （1） 如图1，当点D在AC边上时， ①根据题意，补全图1； ②直接写出：=________； （2） 如图2，当点D在△ABC内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由. 27题图2 27题图1 8.（202405燕山二模27）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB的中点，D为线段AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接AE，CM． (1) 如图1，点D在线段AM上，求证：AE＝MD； (2) 如图2，点D在线段BM上，连接DE，取DE的中点F，连接AF并延长交CD的延长线于点G，若∠G＝∠ACE，用等式表示线段AE，AF，FG的数量关系，并证明．图1 图2 9.（202405朝阳二模27）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段AB绕点A逆时针旋转（），得到线段AD，连接DB，DC. （1）依据题意，补全图形； （2）求∠CDB的度数； （3）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明. 10.（202405大兴二模27）在△中，，，是中点，为上一点，连接，为△内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，若，用等式 表示线段与的数量关系，并证明． （二）三角形+轴对称 11.（202405海淀二模27）在中，，，点D在边AC上（不与点，重合），连接，平移线段，使点移到点，得到线段，连接． （1）在图1中补全图形，若，求证：与互余； （2）连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明. 图1 备用图 12.（202405东城二模27）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°．点D是AC边上的动点， ，点C关于直线BD的对称点为E，连接AE． 直线AE与直线BD交于点F． （1）补全图形； （2）求的大小； （3）用等式表示线段FA，FB，FE之间的数量关系，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$202405初三数学 几何综合 北京各区二模试题分类整理 2024.05北京市各区二模初三数学试题汇编： 几何综合答案及解析 1、 以四边形为背景的几何综合题 （一）四边形+轴对称+旋转 1.（202405石景山二模27）在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接，. （1）如图1，若是等边三角形，则 ； （2）如图2，延长交的延长线于点，连接交于点，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 图1 图2 答案：（1）； ………………………… 1分 （2）①解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． 设． 在中，，可得． 在中，，可得． ∴． …………… 3分 ②数量关系：． 证明：过点作交于点，连接，如图2． 在中，，可得． ∴，． ∴． ∵四边形是正方形，图2 ∴，， ． ∴． ∴≌． ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． ………………………… 7分 2.（202405房山二模27）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），连接，点 关于直线的对称点是点，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点. （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明. 答案：27.（1）依题意补全图形，如图. ………….………..……….2分 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，. ∵点，是关于直线对称， ∴，，. ∴. ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∴，即. ………….………..……….4分 （3）. ………….………..……….5分 证明：过点作交延长线于点. ∴. ∵， ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴△≌△. ………….………..……….6分 ∴. 在△中，. ∴. ………….………..……….7分 二、以三角形为背景的几何综合题 （一）三角形+旋转+轴对称 3.（202405西城二模27） 答案： 4.（202405丰台二模27）如图，等边△ABC中，过点A在AB的右侧作射线AP，设∠BAP=α（60°<α<90°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，CE，且BE，CE分别交射线AP于点D，F．    （1）依题意补全图形； （2）求∠AFE的大小； （3）用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明． 答案：27．（1）依题意补全图形． 1分 （2）解：∵点B与点E关于直线AP对称， ∴∠BAD=∠EAD=α，AB=AE． ∵∠CAE=∠BAD＋∠EAD－∠BAC=2α－60°， ∵AB=AC， ∴AC=AE． ∴∠AEC =∠ACE=120°－α． ∴∠AFE =180°－∠AEC－∠EAD = 60°． 3分 （3）猜想：AF=2DF－CF． 4分 证明：连接BF，在AP上截取FG=FC，连接CG． 由（2）可知∠AFE = 60°． ∵CF=FG， ∴△CFG是等边三角形． ∴CF=CG，∠FCG=60°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°． ∴∠BCF =∠ACG． ∴△BCF≌△ACG． ∴BF=AG． ∵点B与点E关于直线AP对称， ∴BF=EF，AF⊥BE． ∵∠DEF=90°－∠DFE=30°， ∴EF=2DF． ∴BF=AG=2DF． ∵AF=AG－FG， ∴AF=2DF－CF． 7分 5.（202405门头沟二模27） 27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45º,CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC， BC上，且∠CEF=∠BAC，EF， CD交于点N. （1）如图1，当点E与点A重合时，_________； （2）如图2，当点E在AC边上时， ① 依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由. 图1 图2 答案：27．（本小题满分7分） 解（1）2； ………………………………………………1分 （2） ①略 ； …………………………………………………2分 ②的值不发生变化. …………………………………………3分 证明： 过点E作EM∥AB交CD，CB分别于点G，M，……………4分 ∴∠CEM=∠BAC=45º，∠EGC=∠ADC，∠EMC=∠B. ∵CD⊥AB于点D， ∴∠EGC=∠ADC=90º，∠CEM=∠ECG=45º. ∴GE=GC. ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB. ∴∠EMC =∠ACB. ∴EM =EC. …………………………………5分 ∵∠CEF=∠BAC， ∴∠CEF=∠CEM. ∴EF⊥CM， 2CF=2MF=CM. ∵∠GEN+∠GMC=∠GCM+∠GMC =90º， ∴∠GEN =∠GCM. ……………………………………………6分 ∴△GEN△GCM. ∴EN=CM=2CF. ∴. …………………………………………………7分 （二）三角形+旋转 6. （202405顺义二模27） 答案： 7.（202405昌平二模27）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE. 连接BE，G为BE的中点，连接AG，CD. （1） 如图1，当点D在AC边上时， ①根据题意，补全图1； ②直接写出：=________； （2） 如图2，当点D在△ABC内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由. 27题图2 27题图1 答案： 27.解（1）①补图 ………………………………………………………………………2分 图1 ②=2； ……………………………………………………………………4分 （2）仍成立. ……………………………………………………………………5分 证明：延长BA使AF=AB，连接EF. ∴A为BF中点图2 ∵G为BE中点 ∴AG为△BEF中位线 ∴EF=2AG ∵线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE， ∴∠DAE=2α，AD=AE. ∵∠B＝∠C＝α， ∴∠CAF=2α，AB=AC ∴∠DAE=∠CAF=2α ∴∠DAC=∠EAF ∵AB=AF，AB=AC， ∴AC=AF ∵AD=AE ∴△ADC≌△AEF ∴CD=EF ∵EF=2AG ∴=2 …………………………………………………………………………7分 8.（202405燕山二模27）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB的中点，D为线段AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接AE，CM． (1) 如图1，点D在线段AM上，求证：AE＝MD； (2) 如图2，点D在线段BM上，连接DE，取DE的中点F，连接AF并延长交CD的延长线于点G，若∠G＝∠ACE，用等式表示线段AE，AF，FG的数量关系，并证明．图1 图2 答案：27．（本题满分7分） (1) 证明：∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°． ∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB． ∵M为AB的中点， ∴AM＝AB， ∴AC＝AM， ∴△ACM为等边三角形， ∴∠ACM＝60°，CA＝CM． ∵∠ECA＝∠ECD－∠ACD＝60°－∠ACD， ∠DCM＝∠ACM－∠ACD＝60°－∠ACD， ∴∠ECA＝∠DCM． 在△CEA和△CDM中， CE＝CD，∠ECA＝∠DCM，CA＝CM， ∴△CEA≌△CDM， ∴AE＝MD． …………………………………………3分 (2) FG＝AE＋AF． …………………………………………4分 证明：如图，在FG上截取FH＝AF，连接DH． 在△EAF和△DHF中， AF＝HF，∠AFE＝∠HFD，EF＝DF， ∴△EAF≌△DHF， ∴AE＝DH，∠EAF＝∠FHD， ∴AE∥DH． ∵△ACM为等边三角形， ∴∠AMC＝∠ACM＝60°， ∴∠CMD＝120°． ∵△CAE≌△CMD， ∴∠CAE＝∠CMD＝120°，∠ACE＝∠MCD， ∴∠CAE＋∠ACM＝180°， ∴AE∥CM， ∴CM∥DH， ∴∠MCD＝∠HDG． 又∵∠G＝∠ACE， ∴∠G＝∠HDG， ∴GH＝DH＝AE， ∴FG＝GH＋FH＝AE＋AF． …………………………………………7分 9.（202405朝阳二模27）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段AB绕点A逆时针旋转（），得到线段AD，连接DB，DC. （1）依据题意，补全图形； （2）求∠CDB的度数； （3）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明. 答案： 27.（1）补全图形，如图所示： ……….1分 （2）解：根据题意，可知AB=AD=AC，∠BAD=α. ∴∠ADB=∠ABD=……………………2分 ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC=90°+α. ∴∠ADC=∠ACD=. ∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=45°………….3分 （3） . 证明：作AF⊥AE，交CD于点F. ∴∠EAF=90°. ∴∠EAB=∠FAC. ∵BE⊥CD，∠BDC=45°， ∴∠DBE=45°. ∴BE=DE=……………………………..…4分 ∵∠BAD=α. ∴∠ABE==∠ACD， ∴△ABE≌△ACF. …………………………5分 ∴AE=AF，BE=CF， ∴EF=AE. …………………………………6分 ∴CD=DE+EF+CF=BD+AE. ………7分 10.（202405大兴二模27）在△中，，，是中点，为上一点，连接，为△内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，若，用等式 表示线段与的数量关系，并证明． 答案： 27.解：（1）依题意补全图形： ......................……............................1分 （2）证明：连接AE. ∵点D关于直线AP的对称点为E，∠DAP=α， ∴∠EAP=∠DAP=α，AD=AE. ∴∠DAC+∠EAC=2α. ∵∠BAC=2α， ∴∠DAC+∠DAB=2α. ∴∠DAB=∠EAC. ......................…… ……………………2分 ∵AB=AC， ∴△ADB≌△AEC. ∴BD＝EC. ......................…………………………3分 （3）用等式表示线段BD与MN的数量关系是：. .................……4分 证明：连接DN并延长到F，使得NF=ND，连接FC，EF. ∴点N是DF中点. ∵点D关于直线AP的对称点为E，DE与AP交于M， ∴点M是DE中点. ∴MN为△DEF的中位线. ∴. ....................……......................…………………5分 ∵点N是BC中点， ∴NB=NC. ∵∠BND=∠CNF，NF=ND， ∴△BND≌△CNF. ∴CF=BD，∠DBC=∠FCN. 又∵BD=CE， ∴CF= CE. ......................…......................………. …………6分 ∵∠DBC+∠BCE=90°， ∴∠FCN +∠BCE=90°. ∴∠ECF=90°. ∴∠CEF =∠CFE=45°. ∴. ∵BD=CE，， ∴. ∴. ......................……......................……………………7分 （二）三角形+轴对称 11.（202405海淀二模27）在中，，，点D在边AC上（不与点，重合），连接，平移线段，使点移到点，得到线段，连接． （1）在图1中补全图形，若，求证：与互余； （2）连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明. 图1 备用图 答案：27.（1）补全图形如图1： 图1 证明：设，则. ∵， ∴. 由平移可知，BC // DE，. ∴四边形BCED为平行四边形. ∴. ∵BC // DE， ∴. ∴. ∴与互余. （2）与之间的数量关系为. 解：如图2，连接，交于点O，延长至，使，连接. 图2 由（1）可得，四边形BCED为平行四边形. ∴. ∵，， ∴△BOA≌△EOF. ∴，. ∵平分， ∴. ∴. ∴. ∴. ∵， ∴. ∴四边形BCED为菱形. ∴. ∴. ∴在△BCD中，. ∵在△ABC中，. ∴. ∴. 12.（202405东城二模27）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°．点D是AC边上的动点， ，点C关于直线BD的对称点为E，连接AE． 直线AE与直线BD交于点F． （1）补全图形； （2）求的大小； （3）用等式表示线段FA，FB，FE之间的数量关系，并证明． 答案：解 ：补全图形如下，……………………………………………………………1分 （2）如图，连接BE. ∵ ………………………4分 . . .………………………7分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$