2024年北京市各区中考二模数学试题汇编：代数综合

202405初三数学 代数综合 北京各区二模试题分类整理 2024.05北京市各区二模初三数学试题汇编： 代数综合 一、增减性（函数值大小关系）→对称轴（参数取值范围） 1.（2024年西城二模26 ） 2.（2024年海淀二模26） 26．在平面直角坐标系中，抛物线（）的对称轴为，点，，在抛物线上． （1）当时，直接写出与的大小关系； （2）若对于，都有，求的取值范围． 3.（2024年顺义二模26） 二、对称轴（动对称轴）→增减性（函数值大小比较） →其他参数取值范围（关系） 4.（2024年东城二模26） 26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 5.（2024年石景山二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． （1）若，求的值； （2）若点在抛物线上，对于，都有，求的取值范围． 6.（2024年丰台二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，已知，，是抛物线上的三个点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求证：； （3）若对于，，都有，求的取值范围． 三、对称轴（动对称轴）→增减性（函数值大小比较） 7.（2024朝阳二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a≠0）的对称轴为直线x=t． （1）①t =_____（用含a的式子表示）； ②当t=1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； （2）已知点（3，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，若a>0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 8.（2024年燕山二模26） 26．在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1) 若3a＋2b＝0，求t的值； (2) 已知点(－1，)，(2，)，(3，)在该抛物线上．若a＞c＞0，且3a＋2b＋c＝0，比较，，的大小，并说明理由． 9.（2024年大兴二模26） 26．在平面直角坐标系中，点和 在抛物线上，设抛物线的对称轴为. （1）若，，求的值； （2）已知点在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 10.（2024年房山二模26） 26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若时，求的值； （2）已知点，，在抛物线上．若，比较，，的 大小，并说明理由． 11.（2024年昌平二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，是抛物线上任意两点，其中x1＜x2. （1） 若抛物线经过点（4，c）， ①求抛物线的对称轴； ②当x1+x2＞4时，比较y1，y2的大小，并说明理由； （2） 设抛物线的对称轴为直线x=t，若存在实数m，当t≤m时，x1=m，x2=m+1，都有≥2，直接写出a的取值范围. 四、与线段交点个数→参数取值范围 12.（2024年门头沟二模26） 26.在平面直角坐标系中，抛物线的经过点，将点向左平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上. （1）求抛物线的对称轴； （2）点的纵坐标为时，求的值； （3）已知点，.若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$202405初三数学 代数综合 北京各区二模试题分类整理 2024.05北京市各区二模初三数学试题汇编： 代数综合答案及解析 一、增减性（函数值大小关系）→对称轴（参数取值范围） 1.（2024年西城二模26 ） 2.（2024年海淀二模26） 26．在平面直角坐标系中，抛物线（）的对称轴为，点，，在抛物线上． （1）当时，直接写出与的大小关系； （2）若对于，都有，求的取值范围． 26.解：（1） ＜； （2）∵， 抛物线的对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. ① 当时，. 点关于抛物线对称轴的对称点为， 此时点均在抛物线对称轴左侧. ∵对于，都有， ∴ 解得 . ② 当时， 取，此时为最小值，与矛盾，不符合题意. ③ 当时，. 点关于抛物线对称轴的对称点为， 此时点均在抛物线对称轴右侧. ∵对于，都有， ∴ 解得 . ④ 当时，，，不符合题意. ⑤ 当时，. 点关于抛物线对称轴的对称点为， 此时点在抛物线对称轴右侧. ∵， ∴，不符合题意. 综上所述，的取值范围是或. 3.（2024年顺义二模26） 26．解：（1）∵当m=2时，2m=4，3-m=1, ． ∴抛物线经过（4，y1）和（1，y2）， ∴抛物线对称轴为．……………………………………………1分 ∴ …………………………………………………………………2分 （2）依题意，点，在抛物线上． ∵ ∴. ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，都有. 若时，. 当时，都有. ∴时，都有. ∴， ∵，∴ ∴当时，对于都有. 当时，，不合题意，舍去. 当时，，不合题意，舍去. 综上所述，b的取值范围是.……………………………………………6分 二、对称轴（动对称轴）→增减性（函数值大小比较） →其他参数取值范围（关系） 4.（2024年东城二模26） 26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 26. 解：（1）∵， ∴该抛物线的顶点坐标为（m, -4）. ------------------------------------------------2分 (2)由（1）可知，抛物线的对称轴为直线. ∵ ∴抛物线的开口向上. ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，-------3分 设，，, 1 当时，. ,不符合题意，舍去； 2 当时，. ,不符合题意，舍去； 3 当时，. 设点关于对称轴的对称点为，则. （i）当时，. ,不符合题意，舍去； （ii）当时，. ,符合题意； 当时，. 设点关于对称轴的对称点为，则，. ∴ ∴,不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是 ---------------------------------------6分 5.（2024年石景山二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． （1）若，求的值； （2）若点在抛物线上，对于，都有，求的取值范围． 26．解：（1）由题意，抛物线的对称轴为． ∵点在抛物线上，且， ∴． ∴． ………………………… 2分 （2）∵点，在抛物线上， ∴，，． ∵， ∴． 即． ． ∵， ∴． ∴． ． ∴． ∴． ∵， ∴． 即． ． ∵， ∴． ∴． ． ∴． ∴． 综上所述，的取值范围是． ………………………… 6分 6.（2024年丰台二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，已知，，是抛物线上的三个点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求证：； （3）若对于，，都有，求的取值范围． 26．解：（1）∵二次函数解析式为y=ax2-2ax-2（a＞0）， ∴抛物线的对称轴． 1分 （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴． ∵点A，B′在对称轴左侧，a＞0，且， 根据二次函数性质，x<1时，y随x的增大而减小， ∴． ∵， ∴，． ∴当x=-1时，y=0． 把（-1，0）代入函数解析式得3a-2=0． 3分 （3）∵抛物线的对称轴，， ∴点在对称轴右侧． (ⅰ)当点C在对称轴右侧时， ∵时，， 根据二次函数性质，x>1时，y随x的增大而增大， ∴m≥3． (ⅱ)当点C在对称轴左侧时， 设点C关于对称轴的对称点为， ∵， ∵-1=1-m，-1=1-（m+1）， ∴． 根据二次函数性质，x>1时，y随x的增大而增大， ∴-m +1≥3，则m≤-2． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，m≤-2或m≥3． 6分 三、对称轴（动对称轴）→增减性（函数值大小比较） 7.（2024朝阳二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a≠0）的对称轴为直线x=t． （1）①t =_____（用含a的式子表示）； ②当t=1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； （2）已知点（3，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，若a>0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 26．解：（1）①． 1分 ②∵t=1， ∴a=-1. 2分 ∴抛物线解析式为y=-x2+2x-1. ∴抛物线与x轴的公共点的坐标为（1，0）. 3分 （2）∵a>0， ∴当x≥t时，y随x的增大而增大；当x≤t时，y随x的增大而减小. ∵， ∴. 4分 ∵， ∴y2<y1. 5分 ∵（）关于x=t的对称点为（）， ∴ ∴y1<y3. ∴y2<y1<y3. 6分 8.（2024年燕山二模26） 26．在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1) 若3a＋2b＝0，求t的值； (2) 已知点(－1，)，(2，)，(3，)在该抛物线上．若a＞c＞0，且3a＋2b＋c＝0，比较，，的大小，并说明理由． 26．（本题满分6分） 解：(1) ∵3a＋2b＝0， ∴b＝－， ∴t＝＝， 即t＝． …………………………………………2分 (2) ∵3a＋2b＋c＝0， ∴b＝－， ∴t＝＝＝＋． ∵a＞c＞0， ∴0＜＜， ∴＜t＜1． ∵点(－1，)关于直线的对称点的坐标是(2t＋1，)， ∴＜2t＋1＜3． ∴t＜2＜2t＋1＜3． ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴当x≥t时，y随x增大而增大， ∴＜＜． …………………………………………6分 9.（2024年大兴二模26） 26．在平面直角坐标系中，点和 在抛物线上，设抛物线的对称轴为. （1）若，，求的值； （2）已知点在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 26. 解：（1）把点A（-1，1）和点B（4，6）代入 得， 解得： .......................……………....………1分 ∴. .......................……………....………2分 （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大. .......................……....………3分 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为. ∵，， ∴(-1,m), 在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ∴ . ∴ . ∴点关于对称轴的对称点坐标为. ...................……4分 ∵， ∴. ∴. ......................……....………5分 ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧. 设点关于对称轴的对称点坐标， ∴ . ∴ . ∴点关于对称轴的对称点坐标为. ∴. ∴. ∴. ......................……......................……....………6分 10.（2024年房山二模26） 26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若时，求的值； （2）已知点，，在抛物线上．若，比较，，的 大小，并说明理由． 26.解：（1）∵点和点在抛物线上，且， ∴. ∴. .………….2分 （2）解：. 理由如下： .……..……….3分 由题意，抛物线过点，. ∴，. ∵，， ∴. ∴或 ∴，即. ……….………..……….4分 设点关于抛物线的对称轴的对称点为. ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上. 由，得. ∴. ………….………..……….5分 当时，随的增大而减小. ∵点，，在抛物线上， 且， ∴. ……..……….6分 11.（2024年昌平二模26） 26．在平面直角坐标系xOy中，是抛物线上任意两点，其中x1＜x2. （1） 若抛物线经过点（4，c）， ①求抛物线的对称轴； ②当x1+x2＞4时，比较y1，y2的大小，并说明理由； （2） 设抛物线的对称轴为直线x=t，若存在实数m，当t≤m时，x1=m，x2=m+1，都有≥2，直接写出a的取值范围. 26.解：（1）①抛物线与y轴的交点为（0，c），且抛物线经过点（4，c） ∵（0，c）与（4，c）关于对称轴对称 ∴对称轴 …………………………………2分 ② ……………3分 ∵对称轴 ∴ ∴抛物线为 把M，N代入抛物线 得：， ∴ ∵且 ∴， ∵ ∴ ∴ …………………5分 （2） ………………………………6分 四、与线段交点个数→参数取值范围 12.（2024年门头沟二模26） 26．26.在平面直角坐标系中，抛物线的经过点，将点向左平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上. （1）求抛物线的对称轴； （2）点的纵坐标为时，求的值； （3）已知点，.若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围. 解：（1）点是坐标是 点点在抛物线上 ， 对称轴 ………………2分 （2）=,即 ……………3分 （3）①时，则，由图象可知点在对称轴右侧，抛物线上方，点在对称轴左侧，抛物线下方，此时线段与抛物线恰有一个公共点； ………………………………4分 ②时，由图象可知点在对称轴右侧，抛物线下方，点在对称轴左侧，抛物线上方时，线段与抛物线恰有一个公共点，此时 ，即 ……………5分 综上所述，当且时，线段与抛物线恰有一个公共点.…………6分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$