精品解析：2024年湖南省娄底市娄星区中考二模数学试题

常德市初中学校教学教研共同体 湖南省初中学业水平模拟考试 数学 温馨提示： 1.满分为120分，作业时量为120分钟. 2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上. 3.请你在答题卡上作答，答在本卷上无效. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. “一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86400秒，将86400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知代数式的值是3，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 6. 按图中的程序进行计算，如果输入的数是 ，那么输出的数为（ ） A. B. 50 C. D. 250 7. 如图，在 中，点为弦中点，连接，点 是上任意一点，若，则 的大小为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在 中，，用直尺和圆规作图，交于点，根据作图痕迹，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 9. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ） 月用水量吨 户数 A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是 10. 如图，已知菱形 的边长为6，点 是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，将数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是______． 13. 定义一种新运算：，如，则的结果为______． 14. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为______； 15. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高 为________． 16. 反比例函数的图象如图所示，点 是该函数图象上一点，垂直于 轴，垂足是点 ，如果，则 的值为______． 17. 如图，在平行四边形 中，已知 ，，平分 交边于点，则等于__． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_____． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简：，再从0，1，，中选取一个合适的数代入求值． 21. 如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形 ，、、三点共线， ，延长交于点． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长度． 22. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保．绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元 （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元? （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大? 23. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为 （小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 24. 如图，在中， ，为 的直径，与 相交于点D，过点D作 于点E，延长线交 于点F． （1）求证：为 的切线； （2）若 ，，求 的长． 25. 有一张矩形纸片，其中 ，，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原． （1）当点P与点A重合时， °，当点E与点A重合时， °； （2）如图1，若点P为的中点，求的长； （3）如图2，若点P落在矩形的外部，点F与点C重合，点E在上，与 交于点M，当时，请求出的长． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求 的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使 为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德市初中学校教学教研共同体 湖南省初中学业水平模拟考试 数学 温馨提示： 1.满分为120分，作业时量为120分钟. 2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上. 3.请你在答题卡上作答，答在本卷上无效. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. “一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86400秒，将86400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中， 为整数． 【详解】解：86400用科学记数法表示为． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和同底数幂乘法性质以及积的乘方，熟练掌握乘法公式的特征是解题关键．根据平方差公式、同底数幂乘法以及积的乘方逐个计算即可解答． 【详解】解：A．，故选项A错误，不合题意； B．，故选项B错误，不符合题意； C．，故选项C正确，合题意； D．，故选项D错误，不合题意． 故选：C 4. 已知代数式的值是3，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代数式的值是3，即，所以，即可得解． 【详解】解：因为，所以， 原式=， 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式运算的整体代入，灵活掌握整体思想是解题的关键． 5. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积 小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积 小正方形的面积， ∴． 故选：D 6. 按图中的程序进行计算，如果输入的数是 ，那么输出的数为（ ） A. B. 50 C. D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】把代入程序流程图进行计算即可． 【详解】解：， ， ∴输出的数为， 故选：A． 【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算、绝对值等知识点，看懂程序流程图是解题的关键． 7. 如图，在 中，点 为弦中点，连接，点 是上任意一点，若，则 的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，连接，在优弧上取点E，连接，，先求出 ，从而求出，最后利用等腰三角形三线合一性质求解即可．添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键． 【详解】解：连接，在优弧上取点E，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵，点 为弦中点， ∴， 故选B． 8. 如图，在 中，，用直尺和圆规作图， 交于点，根据作图痕迹，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，勾股定理； 由作图知，平分，求得 ，，故 ， 不符合题意；连接，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理得到，求得，得到：：：，故 不符合题意；根据勾股定理得到，求得：：，即可求解． 【详解】解：由作图知，平分， ，，故A，B不符合题意； 连接， ， ， ，， ， ， ，， ：：：，故D不符合题意； ， ， ， ：：，故C符合题意； 故选：C． 9. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ） 月用水量吨 户数 A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可，熟练掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是解题的关键． 【详解】 、这组数据的平均数为（吨），故此选项不符合题意； 、根据，中位数应为第，的平均数 （吨），故此选项不符合题意； 、方差是，故此选项符合题意； 、这组数据出现次数最多的是吨，共出现次，所以用水量的众数是吨，故此选项不符合题意； 故选：． 10. 如图，已知菱形 的边长为6，点 是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点 作于点，连接 ，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点 作于点，连接 ， 菱形 中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形 的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．先去括号，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，将数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，先根据数轴得被墨迹覆盖的数，再结合进行作答即可． 【详解】解：由数轴得被墨迹覆盖的数， ∵ ∴ 则能被墨迹覆盖的数是， 故答案为： 13. 定义一种新运算：，如，则的结果为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查新运算，根据新运算代入求值即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：7． 14. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为______； 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得： ， 故答案为：1． 15. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高 为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键，由等腰三角形的性质可知，再利用三角函数的定义可得，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】，， ， 在 中，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 16. 反比例函数的图象如图所示，点 是该函数图象上一点，垂直于 轴，垂足是点 ，如果，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数 的几何意义得到，然后根据函数图象在第二象限，可得到满足条件的 的值． 【详解】解：根据题意得， 则， 而， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 17. 如图，在平行四边形 中，已知 ，，平分 交边于点，则 等于__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题． 由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而平分 ，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则 可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， 又平分 ， ， ， ， 即． 故答案为：2． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键． 连接并延长交 于点 ，连接 ，则，利用勾股定理求解 的长，再解直角三角形可求解． 【详解】解：连接并延长交 于点 ，连接 ， 则， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、实数的性质和特殊角的三角函数值化简，再算加减．本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ． 20. 先化简：，再从0，1，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键； 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可； 【详解】解：原式 当时，原式 21. 如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形 ，、 、 三点共线， ，延长交于点． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长度． 【答案】（1） 和是等腰直角三角形， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）由等腰三角形的性质，证明全等即可； （2）先证明是等腰直角三角形，求出 ，再利用勾股定理求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 设 ， 在 中，， ， ， ． 22. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保．绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元 （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元? （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大? 【答案】（1）100元，170元 （2）购买甲型自行车20辆、乙型自行车10辆才能使得这30台自行车全部卖出后总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是 元，一台乙型自行车的利润是 元，根据“该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司加购 台甲型自行车，则加购台乙型自行车，利用总进价进货单价进货数量，结合总进价不超过21000元，可列出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范围，设加购的这30台自行车全部售出后总利润为元，利用总利润每台甲型自行车的销售利润销售数量（购进数量）每台乙型自行车的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于 的函数关系式． 【小问1详解】 解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是 元，一台乙型自行车的利润是 元， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是100元，一台乙型自行车的利润是170元； 【小问2详解】 设该公司加购 台甲型自行车，则加购台乙型自行车， 根据题意得：， 解得：． 设这30台自行车全部售出后总利润为元，则， 即， ， 随 的增大而减小， 当时，取得最大值，此时（台． 答：该公司加购20台甲型自行车，10台乙型自行车时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 23. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为 （小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： ． （2）20，144°； （3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据D组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以C的百分比求出人数,然后补全条形统计图即可； （2）用A的人数12除以60，再乘以百分比即可得到a值；用乘以百分比得到圆心角的度数； （3）用A加B的人数和与60的比乘以2000即可得到答案； （4）列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样的学生人数为： （人）， 组的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：组所占的百分比为：， ， 圆心角的度数为：． 故答案为：20，144°． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种． 恰好选中甲和乙的概率为． 24. 如图，在中， ，为 的直径，与 相交于点D，过点D作 于点E，延长线交 于点F． （1）求证：为 的切线； （2）若 ，，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出 ，，从而得到 ，推出 ，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作 于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 有一张矩形纸片 ，其中 ，，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原． （1）当点P与点A重合时， °，当点E与点A重合时， °； （2）如图1，若点P为的中点，求的长； （3）如图2，若点P落在矩形 的外部，点F与点C重合，点E在上，与 交于点M，当时，请求出的长． 【答案】（1）90，45 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当点P与点A重合时，是的中垂线，即可解答；当点E与点A重合时，此时； （2）设交于点T，根据勾股定理得出，则，通过证明，得出，进而求出，最后根据，即可求解； （3）连接 ，先证明，设，则，则，则，，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点P与点A重合时，如图1， ∵是的中垂线， ∴， 当点E与点A重合时，如图2， 此时； 故答案为：90，45； 【小问2详解】 解：如图3中，设交于点T， 在 中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图4，连接 ， ∵ ，，， ∴， 设，则，则， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求 的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使 为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为．此时 （3） 为直角三角形时，点M的坐标为：或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求线的解析式，设点的横坐标为 ，再用 的代数式表示 的长度建立二次函数求解即可； （3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 由题意得，解得：． 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过点P作轴于点H，交于点G 当时，，解得或3， ∴ 设直线的解析式为：， 则 解得： ∴ 设点（），则， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ∴， ∴． ∴当时，取得最大值为．此时． 【小问3详解】 在 上存在点M，使 为直角三角形． 抛物线顶点，设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴． 设， ①∵，∴，不可能为直角； ②当 时，则 ∴轴， 则，∴，∴． ③当 时，过点M作轴于点F． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵，∴不合题意，应舍去，∴ ∴ 综上所述， 为直角三角形时，点M的坐标为：或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $